Un ressort R à spires non jointives, de masse négligeable, est enfilé sur une tige horizontale OX. Ce système est fixé en O à un support vertical OY solidaire d'un moteur, comme l'indique la figure 1. L'une des extrémité du ressort est fixée en O, l'autre à un solide S de masse m = 20 g qui peut coullisser sans frottement sur la tige.

La longueur initiale du ressort est L₀ = 25 cm. Le coefficient de raideur est égal à k=20 N/m. La mise en rotation du système autour de l'axe OY entraîne un allongement du ressort de 5 cm.

1. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire de rotation w supposée constante du système ?
2. La tige OX est inclinée d'un angle a =30° à partir de l'horizontale vers le bas, puis verrouillée en O sur OY dans cette position. Le système est animé du même mouvement de rotation, à la vitesse angulaire constante w.(figure 2)
   - Exprimer l'allongement D x du ressort en fonction de m, w, k, g, L₀ et a.
   - Faire l'application numérique ( g = 9,8 m/s²)
3. La tige OX est de nouveau horizontale, on fixe au solide S n ressort R' identique au précédent. Son extrémité libre est liée à un solide S' de masse m= 20 g qui peut coulliser sans frottement sur la tige ( figure 3). Le système est entraîné avec une vitesse angulaire w = 12 rad/s.
   - Quelle est la valeur de la longueur R du ressort R ?
   - Quelle est la valeur de la longueur L' du ressort R' ?
   - Quelle est la valeur de la tension T du ressort R ?
   - Quelle est la valeur de la tension T' du ressort R' ?

 

corrigé

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La masse S est soumise à son poids, à l'action du support perpendiculaire au support ( et opposée au poids) et à la tension proportionnelle à l'allongement du ressort.

Suivant l'axe n de la base de Frenet , la somme vectorielle des forces s'écrit : T= k(L-L₀) = mw² L

soit w ² = k(L-L₀) / ( mL)

L = 0,3 m ; L-L₀ = 0,05 m ; k= 20 N/m et m = 0,02 kg.

w ² = 20 * 0,05 / (0,02*0,3) = 166,66 soit w = 12,9 rad /s.

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projection de la somme vectorielle des forces suivant perpendiculaire à l'axe n :

mg cos a =R

projection de cette somme suivant l'axe n :

-R sin a + T cos a = m w² L cos a.

- mg cos a sin a + T cos a = m w² L cos a.

- mg sin a + k Dx = m w² (L₀ + Dx )

Dx [k -m w² ] = m[w² L₀ +g sin a ]

Dx =(L-L₀) = m [w² L₀ +g sin a ] / [k -m w² ]

Dx = 0,02 [166,66 *0,25 + 9,8 sin 30] / 20-0,02*166,66] = 5,6 10^-2 m = 5,6 cm.

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appliquer la 2^ème loi de Newton au solide S : poids et action du support sont opposés

k(L-L₀) - k(L'-L₀) = m w² L

k (L- L') = mw² L soit L-L' = mw² / k L

mw² / k = 0,02 * 12² / 20 =0,144

L-L' = 0,144 L soit L' = 0,856 L.

appliquer la 2^ème loi de Newton au solide S' : poids et action du support sont opposés

k(L'-L₀) = m w² (L + L') remplacer L' par 0,856 L

k( 0,856 L -L₀) = 1,856 m w² L

( 0,856 L -L₀) = 1,856 mw² / k L = 1,856*0,144 L = 0,267 L

(0,856 -0,267 ) L=L₀. soit L = 42,46 cm.

d'où L' = 0,856*42,46 = 36,34 cm.

T = k(L-L₀) = 20(42,46-25) = 3,48 N.

T' = k(L'-L₀) = 20(36,34-25) = 2,27 N.

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