La comète Shoemaker-Levy est passer en juillet 92 suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter en morceaux. Le but est de comprendre l'origine de cette fragmentation et d'estimer l'ordre de grandeur de la taille des morceaux issus de cette fragmentation. Le référentiel choisi est Jupiterocentrique, supposé galiléen.

masse de Jupiter : M_J= 1,91 10²⁷ kg ; rayon Jupiter : R_J= 71400 km ; masse volumique de Jupiter : m_J. G= 6,67 10^-11 S.I.

volume d'une sphère : 4/3 pr³ ; si e est petit devant 1 1/(1+e)² = 1-2e.

1. On cherche d'abord à déterminer la distance en dessous de laquelle la comète, s'approchan de Jupiter se séparerait en plusieurs morceaux. On fait les hypothèses suivantes :
   - le centre d'inertie G_C de la comçte de masse volumique m_C a un mouvement circulaire uniforme autour de Jupiter de période T.
   _ La comète est constituée de deux sphères identiques de masse m et de rayon r; homogènes et disposées comme indiqué sur la figure. Ces sphères sont liées entre elles par leur attraction gravitationnelle mutuelle. Les centres des sphères sont toujours alignés avec le centre de Jupiter.

   * On considère dans un premier temps le système constitué par l'ensemble de la comète. On suppose que tout se passe comme si la masse de la comète était concentrée au point G_C. Donner l'expression de la vitesse angulaire du point GC en fonction de G, M_J et d. On conservera cette expression dans la suite du problème. Cela signifie que le centre de chaque sphère constituant la comète a la même vitesse angulaire que le point G_C.
   * On suppose que les sphères se touchant , elles exercent l'une sur l'autre une force de contact, perpendiculaire à la surface de contact. Chaque sphère est donc soumise à l'attraction de Jupiter, à l'attraction gravitationnelle de l'autre sphère et à cette force de contact de norme R. En appliquant la relation de la dynamique à l'une des sphères, écrire une équation où interviennet les frandeurs suivantes : F, m, r, d, M_J et R.
   * Lorsque le contact entre les sphères est rompu l'une des forces disparaît. Laquelle ? En utilisant l'approximation rappelée ci-dessus, montrer que ce contact est rompu si d devient inférieur à d_lim appelé limite de Roche..
   * Exprimer d_lim en fonction de M_J, m et r puis en fonction de m_J , m_C , R_J. Calculer d_lim si m_C= 1000 kg m^-3.
   * Monter que la force gravitationnelle entre les sphères vaut alors f = 3GmM_jr/d³_lim.

2. Les observations ont montrer que la fragmentation de la comète s'était produite lorsque celle-ci était arrivée à une distance d₀ = 1,5 R_J de Jupiter. On peut émettre l'hypothèse qu'en plus des forces citées plus haut les deux sphères sont liées par des forces de cohésion F_C de courte portée.
   * Exprimer F_C/f en fonction de dl_im et d₀. On pose F_C/f= a. Calculer a.
   * Cette force de cohésion dépend de la surface des sphères et donc du carré de leur rayon. On admet que f_C= kr² avec k = 10⁴ S.I. Après avoir exprimé f en fonction de F, r, m_C et en utilisant la relation précédente, calculer r.

Inductance d'une bobine :

 

Le montage comporte monté en série : un générateur faisant circuler un courant variable i(t) ente P et Q, une bobine d'inductance L et de résistance r, deux conducteurs ohmiques de résistance R= 100 ohms et un rhéostat de résistance variable R₀. L'oscilloscope utilisé comporte une touche ADD permettant, lorsqu'elle est actionnée, d'observer sur l'écran la tension notée U_ADD, somme des tensions reçues sur les voie A et B : U_ADD = U_PM + U_QM.

1. Etablir les expressions de U_PM et U_QM en fonction de i et di/dt.
2. En déduire l'expression de U_ADD en fonction de i et di/dt.
3. La touche ADD étant actionnée, montrer qu'il existe une valeur de R₀ pour laquelle la courbe observée sur l'écran est la représentation de la fonction Ldi/dt.
4. La condition précédente étant réalisée, on mesure R₀ = 9 ohms. Les figures ci-dessous représentent respectivement U_QM(t) et U_ADD(t). sensibilité 1V/div et 0,2 ms/div. En l'absence de tensions sur les deux voies, les traces horizontales sont au centre de l'écran.

   - Justifier sans calul la forme de U_ADD(t) à partir de U_QM(t).
   - Calculer la période et la fréquence du courant que fait circuler le générateur.
   - Déterminer, en justifiant les calculs, la valeur de L.

pendule simple :

 On considère un pendule simple de longueur L= 1m et de masse m=100 g. Il est écarté de sa position d'équilibre d'un angle q=30°. g =9,81 m/s².

1. Faire l'inventaire des force au point A. Les représenter.
2. La masse m est lachée de la position A sans vitesse initiale. Au cours du mouvement elle subit une force de frottement, colinéaire à la vitesse mais de sens contraire et de norme constante. Le fil reste tendu. Exprimer la vitesse au point B, milieu de AO'.
3. A quelle condition sur la force de frottement la vitesse en B est-elle nulle ?
   La force de frottement est en réalité très faible et peut être négligée devant les autres forces appliquées au pendule.
4. Quelle est alors la vitesse au point B ? Donner son expression en fonction de g, L et q puis sa valeur numérique.
5. Donner l'expression de la tension exercée par le fil au point B. Faire l'application numérique.
6. L'expérience est reconduite mais en passant au point B, la corde casse. Les forces de frottements sont négligeables..
   - Donner les équations horaires du mouvement ultérieur de la masse m, en utilisant le repère (O', x, y)
   - déterminer l'équation cartésienne du mouvement de la masse m
   - Le sol est situé à d ) 1 m au dessous de O'. Donner les coordonées du point d'impact I de la masse sur le sol.
   - Déterminer la valeur de la vitesse au point I et les composantes de cette vitesse dans le repère (O', x, y)
   - Quel angle a fait le vecteur vitesse avec l'horizontale.