Aurélie 06 /02
analogies entre oscillateurs

oxydation éthanol ( concours kiné EFOM 02)


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On se propose d'étudier les analogies entre un oscillateur électrique et un oscillateur mécanique. On considère les deux dispositifs suivants :

- D'une part un circuit électrique comprenant, une bobine d'inductance L, de résistance nulle, un condensateur de capacité C et un interrupteur.

- D'autre part un pendule élastique horizontal comprenant : un solide de masse m glissant sans frottement le long d'un axe horizontal Ox ; un ressort à spires non jointives de constante de raideur k dont l'une des extrémités est attaché au solide de masse m et dont l'autre extrémité est fixée rigidement à un support fixe.

Les conditions initiales sont les suivantes :

- La charge portée par l'armature A du condensateur est qA(0)= - qB(0) = Q0 positive. L'interrupteur est ouvert et on le ferme à t=0. L'intensité du courant à cet instant est i0=0.

- Le mobile est initialement au repos et dans une position d'élongation maximale x0 positive. On le lâche à t=0 avec une vitesse initiale v0=0.

A Etude du comportement temporel des deux modèles d'oscillateurs :

  1. Etablir l'équation différentielle régissant le comportement temporel de la charge q(t) du condensateur. En utilisant les conditions initiales, en déduire l'expression de q(t).
  2. Etablir l'équation différentielle régissant le comportement temporel de l'élongation x(t) du ressort. En utilisant les conditions initiales, en déduire l'expression de x(t)
  3. Donner l'expression de la période T0 de ces deux oscillateurs.

B Etude énergétique des deux oscillateurs :

  1. On étudie dans un premier temps l'énergie du dipôle LC :
    - On appelle EC(t) l'énergie stockée dans le condensateur. Donner l'expression de EC(t) et tracer son graphe.
    - On appelle EL(t) l'énergie stockée dans la bobine. Donner l'expression de EL(t) et tracer son graphe.
    - Que peut-on dire de la somme EC(t) + EL(t). A quelle condition, donnée dans l'énoncé, cette propriété est-elle vraie ?
  2. On étudie à présent l'énergie du pendule mécanique :
    - On appelle EP(t) l'énergie potentielle élastique. Donner l'expression de EP(t) et tracer son graphe.
    - On appelle Ecin(t) l'énergie cinétique. Donner l'expression de Ecin(t) et tracer son graphe.
    - Que peut-on dire de la somme EP(t) + Ecin(t). A quelle condition, donnée dans l'énoncé, cette propriété est-elle vraie?

C Introduction d'une dissipation d'énergie :

  1. Que devient l'équation différentielle régissant le comportement de q(t) si la résistance r de la bobine n'est plus négligeable ?
  2. De même écrire l'équation différentielle vérifiée par le mobile si les frottements mécaniques ne sont plus négligeables. On considère que les frottements sont visqueux : la force de frottement f est proportionnelle à la vitesse ( vecteur frottements et vecteur vitesse colinéaires de sens contraire).

D Pour conclure cette étude des analogies entre un oscillateur mécanique et un oscillateur électrique, on se propose de chercher la grandeur électrique correspondant à chaque grandeur mécanique. En utilisant tout ce qui précède compléter le tableau suivant :

grandeur mécanique
x
v
m
k
EP
Ecin
f
grandeur électrique

données : cos² x = (1+cos (2x)) / 2 et sin² x = (1-cos(2x)) / 2

 


corrigé
tension aux bornes du condensateur : uAB= qA / C

tension aux bornes de la bobine ( r négligeable) : uBA= L di / dt= L i'

relation entre intensité et charge : i = dqA/dt = qA' soit i' = qA''

uAB+uBA= 0 soit qA / C +L i' = 0

qA / C +L qA'' =0 ou qA'' + 1/ (LC) qA =0 avec w²=1/ (LC)

solution de cette équation différentielle : qA= A cos (wt+j)

à l'instant initial , la charge est égale à Q0 >0 soit Q0 = A cos j

cos j = 1 soit j =0 et A = Q0 soit qA= Q0 cos (wt).

période T0 = 2p/w = 2p racine carrée (LC)


le système étudié est la masse fixée au ressort : celle ci est soumise à son poids, l'action du support et à la tension du ressort.

poids et action du support se neutralisent.

d'où -kx = mx" soit mx" + kx = 0 soit x" + k/ m x =0 avec w²= k/m

solution de cette équation différentielle : x= A cos (wt+j)

à l'instant initial, l'abscisse est égale à x0 >0 soit x0 = A cos j

cos j = 1 soit j =0 et A = x0 soit x= x0 cos (wt).

période T0 = 2p/w = 2p racine carrée (m/k)


énergie stockée dans le condensateur : EC= ½ CU² =½Q² / C

énergie stockée dans la bobine : EL= ½Li²

EC+EL = constante dans la mesure où la résistance du dipole est nulle.

énergie potentielle élastique : EP= ½ kx²

énergie cinétique : Ecin= ½mv²

Ep+Ecin = constante dans la mesure où les frottements sont nuls.


si la résistance de la bobine n'est pas négligeable : uBA= L di / dt + r i = L i' + r i

uAB+uBA= 0 soit qA / C +L i' +r i = 0

qA / C +L qA'' + r qA' =0 ou qA'' + r/L qA' 1/ (LC) qA =0

si les frottements ne sont plus négligeable : -kx -lv = mx" soit mx" +lv + kx = 0

avec v = x' soit mx" + l x' + kx = 0 ou x" + l /m x' + k/m x = 0.

grandeur mécanique
x
v
m
k
EP
Ecin
f
grandeur électrique
q
i
L
1/C
EC
EL
r i


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