Un pendule simple est constitué d'une boule de masse M et d'un fil inextensible de masse négligeable devant M. Ce fil a pour longueur L. On note g l'intensité de la gravitation du lieu de la manipulation et a l'angle décrit par le fil et la verticale passant par la position d'équilibre du pendule.

1. Dans le cas des faibles amplitudes, donner l'expression littérale de la période T₀ de ce pendule puis la calculer.
2. Exprimer en fonction de M, L, g et V (la vitesse du mobile à une position quelconque) les énergies cinétique et potentielle du système. Le niveau de référence choisi étant celui de la position d'équilibre du pendule.
3. L'amplitude des oscillation étant a _f, exprimer en fonction des données puis calculer V' du mobile à son passage à la verticale ( on suppose dans cette question qu'il n'y a pas de perte d'énergie).
4. Exprimer à cette même position la tension du fil et la calculer.
5. En supposant aucune perte d'énergie dans le cas des faibles amplitudes, retrouver l'équation différentielle vérifiée par a .
6. En réalité l'amortissement est tel que l'angle a passe de a _i en une durée D t. Quelle serait la variation de température d'une masse m d'eau qui recevrait toute l'énergie ainsi dissipée.
7. Exprimer en fonction des données la puissance d'un réchaud électrique fournissant la même énergie dans les mêmes conditions puis la calculer.
8. Considérant une même variation d'amplitude au cours de l'amortissement et supposant le dispositif réalisable, proposer deux façons de modifier le pendule pour réduire de 1°C la variation de température de l'eau.

Données : M=30 kg ; L=4m ; g=10 m/s² ; a _f = 41,4° ; a _i = 10° ; D t =1 min ; m=10g ; capacité thermique de l'eau c = 4,18 kJ kg^-1 K^-1. g= 10 m/s².