Aurélie 06/04/09
 

 

Circuit LC : énergie, équation différentielle concours kiné Assas 2009.

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On a chargé un condensateur de capacité C= 1,0 µF sous une tension constante U0 = 10 V et on le branche aux bornes d'une bobine pure d'inductance L= 10 mH.

Donner les expressions littérales des énergies électrostatique El(t) et électromagnétique Em(t) stockées dans les dipôles à l'instant t.

El(t)=½C uc2 = ½q2/(2C) ; Em(t) = ½L i2.


Donner les expressions littérales de la charge maximale Qmax du condensateur et de l'intensité maximale Imax du courant circulant dans le circuit.

Qmax = CU0.

Il y a échange d'énergie entre condensateur et bobine de telle sorte que :

½Q2max / C=½LI2max ; I2max= Q2max / (LC)= C/L U20

Imax=( C/L)½ U0.

A l'instant t=0, date du début de l'acquisition des données, l'énergie électrostatique est égale à l'énergie électromagnétique.

A cet instant la charge de l'armature A du condensateur est positive et l'intensité est négative.

Donner les expressions littérales de la charge initiale q0 et de l'intensité initiale I0 en fonction de Qmax et Imax.

½q20 / C=½LI20 et ½q20 / C+½LI20 =½Q2max / C = ½LI2max ;

½q20 / C+½q20 / C =½Q2max / C ; 2 q20 =Q2max d'où q0 = Qmax / 2½.

De même : ½LI20 +½LI20 = ½LI2max ; I20 = ½I2max ; I0 = -Imax / 2½.





A partir d'arguments énergétiques, trouver l'éqution différentielle vérifiée par q(t).

A la date t, l'énergie est répartie entre condensateur et bobine.

½q2/C + ½Li2 = Constante (1)

avec de plus i = -dq/dt = - q' en tenant compte du sens positif choisi pour l'intensité

et i' = -q" = -d2q/dt2.

Dériver (1) par rapport au temps : q q'/ C + L i i' = 0

soit q q' /C + L (-q') (-q") = 0

soit en divisant par q' : q/C +L q" = 0 ou encore q" + 1/(LC) q = 0.




 


La solution de cette équation différentielle est du type q(t) = A cos ( 2pt/T0 +j) avec T0 = 2p(LC)½.

Donner l'expression littérale de i(t).

i(t) = -q'(t) = A2p/T0sin ( 2pt/T0 +j)

Donner les valeur de A et j.

A t = 0, I0 = -Imax / 2½ et i(0) = A2p/T0sin ( j)

-Imax / 2½ = A2p/T0sin ( j)

D'une part : A est une amplitude, grandeur positive : A = ImaxT0 / (2p)

A = Imax(LC)½ ; or Imax=( C/L)½ U0

A = C U0 = 10-6*10 = 1,0 10-6 C.

d'autre part : sin ( j) = -1/ 2½ soit j = -p/4.

2p /T0 = (LC) =(10-6*10-2) = 104 rad/s.

q(t) = 1,0 10-6 cos(104 t -p/4).

Tracer le graphe de q(t).





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