Aurélie 11/09/09

 

De  la Terre  à la Lune : gravitation, datation par le potassium 40 ;  bac S  France  septembre 2009

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.


.
.


Le 16 juillet 1969 à 14 h 32 (heure française), la fusée géante américaine Saturn V  décolle de Cap Kennedy (Etats-Unis) avec à son sommet le vaisseau spatial "Apollo XI" et son équipage composé de Neil Armstrong, Edwin Aldrin et Michael Collins. Le 21 juillet 1969 à 3 h 56, Armstrong est le premier homme à fouler le sol lunaire suivi quelques minutes plus tard par Aldrin. Les deux astronautes resteront en tout 22 heures sur la Lune, dont environ 2 heures à l'extérieur du module d’exploration lunaire LEM.

Données :

Masse de la Terre MT = 5,98 x 10 24 kg

Rayon de la Terre RT = 6,37 x 10 3 km

Masse de la Lune ML = 7,35 x 10 22 kg

Constante de gravitation universelle G = 6,67 x1011 m3.s – 2.kg – 1 .

Champ de pesanteur terrestre au niveau du sol g = 9,8 m.s – 2

Masse totale de la fusée au décollage : M = 2,9 x 10 3 tonnes

 
Tous les astres sont considérés comme des corps à répartition de masse à symétrie sphérique.

On se propose d’étudier d’une manière simplifiée quelques unes des phases du voyage conduisant de la Terre à la Lune  ainsi que certaines expériences scientifiques liées à la mission Apollo.

Ascension de la fusée Saturn V

Le premier étage (S-IC) fonctionne pendant 180 secondes, il contient environ 2 tonnes de carburant et d’oxygène liquide permettant de propulser l’ensemble à une altitude de 68 km. L'intensité de la force de poussée F des réacteurs est de l’ordre de 3,3 x 10 7 N.

L’étude du lancement de la fusée peut se faire en appliquant la seconde loi de Newton dans certaines conditions qu’on se propose de préciser à partir de son énoncé ci-dessous :

« Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse m constante est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie ».

Quel référentiel supposé galiléen peut-on choisir pour étudier la phase du début du lancement ?
On peut utiliser un référentiel terrestre ou le référentiel géocentrique au début du lancement.

Faire un inventaire des forces extérieures appliquées à la fusée en tenant compte de l’interaction de l’air avec la fusée. Les représenter au centre d’inertie de la fusée sur un schéma sans souci d’échelle (le décollage est supposé vertical).
 



Le poids P, la poussée des moteurs F, les forces de frottements f sur les couches d'air, la poussée d'Archimède  FA due  à l'air.


Pourquoi ne peut-on pas appliquer la seconde loi de Newton, telle qu’elle est énoncée, à la fusée lors de son ascension ?
Les moteurs consomment du carburant et du comburant ( dioxygène liquide ) au décollage : la masse de la fusée  n'est pas constante.

Quelle hypothèse peut-on, cependant, poser pour appliquer cette loi au tout début du lancement ?
Sur une durée aussi petite que possible, la masse de la fusée est  à peu près constante.

En ne considérant que le poids et la poussée, montrer que la valeur de l’accélération de la fusée à l’instant initial du lancement vaut 1,6 m.s-2.

On écrit la seconde loi de Newton sur un axe orienté vers le haut : F-P = M a.
F-Mg=Ma ; a = F / M -g  ;
M = 2,9 x 10 3 tonnes =2,9 106 kg.
a = 3,3 x 10 7 / 2,9 106 -9,8 =1,579 ~1,6 m s-2.

Mise en orbite autour de la Terre du système {S-IVB + Apollo XI}

A 68 km d’altitude, les réservoirs vides du premier étage sont largués et les cinq moteurs du deuxième étage sont allumés pendant 360 s. Après largage du deuxième étage, l’unique moteur du troisième étage est mis en fonction pendant 180 s permettant la satellisation sur une orbite circulaire d’attente à l’altitude h = 185 km.

Dans la suite, on note {fusée} le système formé du troisième étage et du vaisseau Apollo XI.

On étudie le mouvement du système {fusée}, de centre d’inertie G et de masse m, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On ne tiendra compte que de l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le système {fusée}.

 

Donner l’expression vectorielle de la force exercée par la Terre sur le système {fusée} en utilisant le vecteur unitaire  défini sur la figure. Reproduire la figure sur la copie et représenter cette force (sans souci d'échelle).
 

En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du centre d’inertie du système {fusée}. En supposant que le mouvement du système {fusée} est circulaire dans le référentiel géocentrique, montrer que le vecteur accélération est centripète. En déduire que le mouvement est uniforme.


Le vecteur accélération est  colinéaire   au vecteur unitaire et de sens contraire ; le vecteur accélération étant  dirigé vers le centre de la Terre est centripète.

La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.

Calculer  la valeur de la vitesse du centre d’inertie G du système {fusée}.

RT+h =6,37 x 10 3 +185 km =6,555 106 m
 v =[6,67 10-11 *5,98 x 10 24 / 6,555 106]½=7,80 103 m/s = 7,80 km/s ~ 7,8 km/s.




 

 


Quelques expériences associées à la mission Apollo

 

Lors de la mission Apollo XI et des suivantes, du matériel scientifique a été déployé à la surface de la Lune afin de l’étudier. Des échantillons de roche lunaire ont également été ramenés sur Terre.

De nombreuses méthodes de datation reposent sur la décroissance radioactive de certains radioéléments. Un radioélément est adapté à cette mesure si son temps de demi-vie est de l’ordre de grandeur de l’âge à déterminer.

Parmi les radioéléments ci-dessous, indiquer en justifiant celui qui pourrait être utilisé pour mesurer l’âge de la Lune.

 
isotope radioactif
ordre de grandeur du temps de demi-vie
iode 131
une dizaine de jours
plutonium 238
une centaine d'années
potassium 40
un milliard d'années
La demi-vie de l'élément radioactif doit être du même ordre de grandeur que l'aêge de la Lune ( 4,5 109 ans). Parmi les trois isotpes cités, seul le potassium 40 convient.

Pour déterminer l'âge des roches lunaires ramenées sur Terre par les astronautes, les physiciens ont mesuré expérimentalement les quantités relatives d'argon 40 gazeux et de potassium 40 solide emprisonnés dans la roche lunaire.

Le potassium 4019K est un isotope radioactif. Il se désintègre en produisant de l’argon 4018Ar.
Écrire l’équation de désintégration nucléaire d’un noyau de potassium 40.
4019K ---> 4018Ar + 01e.

  Donner l’expression du nombre NK(t) de noyaux radioactifs de potassium 40 présents dans l’échantillon de roche lunaire à la date t en fonction du nombre initial NK(0) de ces noyaux.
La loi de décroissance radioactive s'écrit : NK(t) = NK(0) exp (-lt) ;
l : constante radioactive du potassium 40.




 




Donner la définition du temps de demi-vie d’un échantillon radioactif.
Durée au bout de laquelle l'activité initiale  a diminué de moitié ; durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.

 Établir la relation liant  la constante de désintégration radioactive l et le temps de demi-vie. Montrer que l= 5,50 x 10 – 10 an – 1   pour le potassium 40 sachant que t1/2 = 1,26 x 10 9 ans.

 NK(t) = NK(0) exp (-lt)
NK(t½)  = 0,5 NK(0)
0,5 NK(0) = NK(0) exp (-lt½)
0,5 =
exp (-lt½) ; ln 0,5 = -ln2 = -lt½lt½ = ln 2.
l = ln2 / 1,26 109 = 5,50 10-10 an-1.

 Un échantillon de 1,0 g de roche lunaire analysé à la date t contient NAr(t) = 2,3 x10 17 noyaux d'argon 40 et NK(t) = 2,4 x10 16 noyaux de potassium 40. En admettant que le potassium 40 ne subit que la désintégration précédente et que la roche lunaire ne contenait pas d’argon 40 au moment de sa formation, on montre que : NK(0) = NK(t) + NAr(t).

Évaluer l’âge de cette roche lunaire.
NK(0) / NK(t) = exp(lt)
ln (NK(0) / NK(t) ) = lt
t =
ln (NK(0) / NK(t) )  / l ;

NK(0) = NK(t) + NAr(t) =  2,4 x10 16 +2,3 x10 17=2,54 1017.
NK(0) / NK(t) =2,54 1017 / 2,4 x10 16= 10,58

ln (NK(0) / NK(t) ) = ln 10,58 =2,359
t = 2,359 / 5,50 10-10 =4,3 109 ans.






 


retour -menu