Transitoires
thermiques et électriques
Mines 2002.
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Transitoire
électrique :
Un dipôle comporte entre ses bornes un
résistor de résistance R et un condensateur de
capacité C placés en série.
On le place aux bornes d'un générateur de
force électromotrice E et de résistance
interne Rg en série avec un interrupteur K
.
Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur
déchargé. Soit, uC la tension aux
bornes du condensateur. A l'instant t=0, on ferme
l'interrupteur, K .
Determiner,
sans calcul et en le justifiant
uC(0+),
i(0+).
Continuité
de la tension aux bornes du condensateur ou
conservation de l'énergie : juste
après la fermeture de K, le condensateur
n'a pas encore eu le temps de se charger :
uC(0+)
= uC(0) =
0.
Additivité
des tensions : E = uC(0+)
+
(R+Rg)i(0+).
uC(0+)
=0 d'où
:
i(0+) =
E/R.
Etablir
l'équation différentielle à
laquelle obéit uC(t) . Additivité
des tensions : E = uC(t) +
(R+Rg) i(t).
Or q(t) = C uC(t) et i(t) = dq(t)/dt
d'où : i(t) = CduC(t) /dt.
E = uC(t) + (R+Rg) C
duC(t) /dt ;
duC(t)
/dt + 1/((R+Rg)C) uC(t)
=+E/((R+Rg)C). u'C+1/t
uC
=E/t
(1)
Déterminer
la constante de temps t
du circuit, et donner son interpretation
physique. t
=(R+Rg)C.
Au bout d'une durée supérieure
à 5 t,
le régime permanent est atteint :
condensateur chargé.
Etablir
l'expression de
uC(t).
Solution générale de
l'équation différentielle sans
second membre
u'C+1/t
uC=0
uC=A exp(-t/t)
avec A une constante
Solution particulière de (1),
régime permanent : uC(t) =
E.
Solution générale de (1) :
uC=A exp(-t/t)
+E
On détermine A grâce aux conditions
initiales uC(0)=0 soit : 0=A +E ;
A=E. uC=E(1-
exp(-t/t).
Déterminer
l'expression de t1 pour que
uC=0,9E.
uC(t1) = 0,9 E = E
(1-exp(-t1/t))
; 0,9 = 1-exp(-t1/t)
; exp(-t1/t)
= 0,1.
-t1/t
= ln 0,1 ;
t1=
t
ln
10.
Dans l'étude expérimentale du circuit RC, on
observe l'oscillogramme ci-dessous en utilisant un
générateur délivrant des signaux
créneaux.
Les sensibilités sont : 1V/carreau vertical ; 0,1
ms/carreau horizontal . On néglige les
caractéristiques de l'oscilloscope.
Identifier les
courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre
choix.
D'après les branchements de l'oscilloscope, on
visualise voie A, la tension aux bornes du
générateur et voie B la tension aux bornes
du condensateur.
Or uC(t) est une fonction exponentielle
croissante de 0 à E :
(1) correspond
à uC(t).
De plus on constate la continuité de la courbe
(1).
Doit-on être
sur le couplage alternatif AC ou le couplage continu
DC ? DC : on
travaille avec un générateur de tension
continue.
Preciser
l'expression de la tension au point P. Sachant
que R =100 W,
déterminer Rg .
Tension aux bornes du générateur
à t=0+.
Le condensateur est déchargé
: uC(0+)=0 et
i(0+) = E/(R+Rg).
Tension aux bornes du générateur : E
- Rgi(0+) =E[ 1-
Rg/(R+Rg)]
VP=E
R / (R+Rg).
VP= 2/3 E ( lecture graphe) ;
2/3(R+Rg) = R ; Rg = 0,5 R =
50
W.
En déduire la
valeur de C et E.
1V/carreau vertical :
E = 6 V.
Durée de la charge du condensateur : ~ 8 carreaux
soit 0,8 ms
5 t ~ 8 10-4 s ;
t ~ 1,6 10-4
s.
t = (R+Rg) C ; C ~
1,6 10-4 /150 =
1,1 10-6
F.
Estimer une
majoration de la fréquence du signal carré
utilisé.
Pour observer la charge complète il faut que la
période du signal carré soit
supérieure à 5 t
soit 8 10-4 s.
fréquence inférieure à 1/8
10-4 soit f <1250 Hz.
Pour observer une charge et décharge
complètes : f
< 625 Hz.
Comment pourrait-on
observer l'intensité ?
La tension uR aux bornes d'un conducteur
ohmique et l'intensité qui le traverse sont
proportionnelles : l'image de uR est l'image de
l'intensité au facteur R près.
Permutter R et C : on observe alors voie B, l'image de
l'intensité.
Transitoire
thermique.
On donne : m= 200 g ; c= 4,18 J K-1
g-1 ; G = 50 J/K;
On rappelle que T(K)=T(°C)+273,15.
Dans un calorimètre de capacite thermique
G à la température
extérieure, Text , on verse une masse m
d'eau à la température extérieure,
Text et on plonge une résistance
chauffante de valeur R , alimentée sous une tension
continue U. On considèrera comme système
{eau-calorimètre}
On note T la température, t le temps et c la
capacité thermique massique de l'eau.
On admet de plus que les fuites thermiques peuvent se
traduire par une puissance de perte pext=k
(T-Text).
A quelle variation
de fonction d'état s'identifie
dQ
?
A une pression constante, d Q
correspond à la fonction d'état
enthalpie
dH.
Faire un bilan d'énergie pendant
un intervalle de temps dt.
Montrer quedT/dt
+T/t
=TM/t.
Energie gagnée par l'eau et le calorimètre
: d Q = (mc+G)
dT
Energie perdue vers l'extérieur : pext
dt=k (T-Text)dt
Energie fournie par la résistance chauffante R :
UIdt = U2dt/R.
Bilan : U2/R dt = (mc+G)
dT +k (T-Text)dt
Quelle est
l'interprétation physique de
TM ?
Température en régime permanent : la
puissance Joule compense, à chaque instant, la
puissance perdue vers l'extérieur.
On coupe le chauffage. On négligera la
capacité thermique de la résistance
chauffante.
Refaire un bilan
d'énergie pendant un intervalle de temps dt. En
déduire T(t) .
On notera T0=T , la température
à l'instant t=0.
Energie cédée par l'eau et le
calorimètre : d Q = -
(mc+G) dT
Energie perdue vers l'extérieur : pext
dt=k (T-Text)dt
Bilan : -(mc+G) dT = k
(T-Text)dt
dT/ dt + kT / (mc+G) =
kText/ (mc+G).
dT/dt +
T/t
= Text/ t.
(2)
Solution générale de
l'équation différentielle sans second membre
T'+T/t=0
T=A exp(-t/t)
avec A une constante
Solution particulière de (2), régime permanent
: T = Text.
Solution générale de (2) :
T=Aexp(-t/t)
+Text.
On détermine A grâce
aux conditions initiales soit : T0=A
+Text ; A=T0-Text.
T=(T0-Text)exp(-t/t)
+Text ;
T=Text(1-exp(-t/t)
)+T0exp(-t/t).
On enregistre grâce à une interface la
température T(t) au cours du
refroidissement.
Déterminer
sur l'enregistrement
t et
Text. En
déduire k.
k = (mc+G)/t
= (200*4,18+50)/120 =7,38
W K-1.
En déduire, littéralement puis
numériquement entre les instants initial et final
:
la variation
d'entropie pour le
calorimètre
DScalorimètre.
