Aurélie 23 23/05/07
 

concours d'entrée médecine lentilles, oscillateur élastique, . Casablanca 2006. durée 30 min.

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Les distances algébriques sont écrites en gras et en bleu

Données : g= 10 m/s² ; 10½ = 3,16 ; ln2 = 0,69.


On considère O le centre optique d'une lentille sphérique mince dans l'air, AB un objet et A'B' son image tels que : OA= +3 cm ; OA' = + 4 cm.

Donner la nature de l'objet.

OA étant positif, l'objet se trouve à droite de la lentille ( au delà de la sortie du système optique) : objet virtuel.

Calculer la distance focale de la lentille.

Ecrire la formule de conjugaison avec OA= +0,03 m ; OA' = + 0,04 m.

1/OF' = 1/ OA - 1/ OA = 1/0,04-1/0,03 = (0,03-0,04) / (0,03*0,04) = -1/0,12 ; OF' =-0,12 m.

Calculer la puissance ( vergence) de la lentille.

C=1/OF' =-1/0,12 = -8,3 dioptries.

La lentille est constituée de 2 portions de sphère de rayons R1=R2=R.

Calculer R ( indice n=1,5).

 

S1S2 étant faible devant R : C= C1+C2 = 2(1-n)/ R.

R= 2(1-n)/C avcec 1/C=-0,12 ;

R= 2(1-1,5)*(-0,12) ; R= 0,12 m.


On accole une deuxième lentille à la première, l'image A"B" se forme à l'infini.

Calculer la distance focale de la seconde lentille.

L'image A'B' joue le rôle d'objet pour la seconde lentille :

Ecrire la formule de conjugaison pour la seconde lentille avec 1/OA"=0.( image à l'infini )

1/OF'2 = -1/OA'= -1/0,04 ; OF'2 = -0,04 m.

Quelle est la nature de la seconde lentille ?

OF'2 <0 , la seconde lentille est divergente.

Calculer la distance focale de l'ensemble des deux lentilles.

Les vergences des lentilles accolées s'ajoutent

C= -8,3 + (-1/0,04 ) =-33,3 dioptries.

Distance focale de l'ensemble : 1/(-33,3) = -0,03 m.

 



Un corps de masse m= 100 g est accroché à un ressort à spires non jointives de constante de raideur k= 100 N/m, de masse néglogeable et de longueur à l'équilibre L0= 20 cm.

On comprime le ressort à une longueur L1= 12 cm. A l'instant t=0, on relâche le ressort sans vitesse initiale.

Calculer l'énergie cinétique du corps m.

L'énergie cinétique initiale est nulle.

Calculer l'énergie potentielle du ressort.

½k(L0-L1)2 = 0,5*100 ( 0,2-0,12)2 =0,32 J.

Calculer la vitesse lorsqu'il passe par O.

En O, position d'équilibre, l'énergie mécanique est sous forme cinétique :

½mv2 = 0,32 ; v2 = 2*0,32 / m = 0,64 / 0,1 = 6,4 = 2,5 m/s.
Calculer la période d'oscillation du ressort.

T= 2p (m/k)½ =2p (10-3)½ =0,20 s.

Donner l'équation horaire du mouvement.

x(t) = (L0-L1) cos ( 2pt/T + j) ; (L0-L1) =0,08 m ; 2p/T = (103)½ =31,6 rad/s.

A t=0, x(0) = -0,08 m d'où : -0,08 = 0,08 cos j ; cos j =-1 ; j = p.

x(t) = 0,08 cos ( 31,6 t + p)


 Le corps se déplace sans frottement sur un rail constitué par une portion de droite AB et une portion de cercle BC de rayon r=40 cm. A un instant donné lors de son passage par le point O le corps est libéré, et s'arrête au point M.

Calculer l'angle q.

En O, l'énergie mécanique du corps est sous forme cinétique et vaut 0,32 J.

En M l'énergie mécanique est sous forme d'énergie potentielle de pesanteur.

On choisit comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le point B ; l'altitude du point M est alors : r(1-cos q).

L'énergie potentielle de pesanteur en M vaut : mgr(1-cos q) =0,1*10*0,4 (1-cos q) = 0,4 (1-cos q).

L'énergie mécanique se conserve : 0,32=0,4(1-cos q) ;

1-cos q = 0,8 ; cos q =0,2 ; q = 78°.

Calculer la réaction du rail en M.

N= 0,1*10 *cos78 = 0,2 N.


Le même ressort avec le corps est placé sur un plan incliné ( a=30°). La masse glisse sans frottement.

Calculer l'élongation du ressort.

T= mg sin a = 0,1*10*0,5 = 0,5 N

de plus T= k (L-L0 ) ; L-L0= T/k = 0,5/100 = 0,005 m ; L-L0= 5 mm.

On tire la masse m de sa position d'équilibre d'une distance xm= 4 cm, puis on la libère sans vitesse initiale. On considère l'instant t=0 lors du premier passage par la position d'équilibre.

Calculer la période d'oscillation du ressort.

T= 2p (m/k)½ =2p (10-3)½ =0,20 s.

Donner l'équation horaire du mouvement.

x(t) = xm cos ( 2pt/T + j) ; xm =0,04 m ; 2p/T = (103)½ =31,6 rad/s.

A t=0, x(0) = 0 d'où : 0 = 0,04 cos j ; cos j =0 ; jp.

x(t) = 0,04 cos ( 31,6 t + ½p)



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