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Fonction de transfert, diagramme de Bode concours ITPE 2007 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptés à vos centres d’intérêts. |
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Déterminer la fonction de transfert T(w) = Us/Ue. admittance complexe de R et C en parallèle : Y = 1/R + jCw. impédance complexe : Z =1/Y =1/(1/R+jCw) = R/(1+jRCw). impédance complexe de l'ensemble : Z1 = R+1/(jCw) + Z .
Us/Ue=Z / Z1
1 -(RCw)2+3jRCw Multiplier numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée : 1 -(RCw)2 -3jRCw Le dénominateur s'écrit : D= [1 -(RCw)2]2 + 9(RCw)2 = 1+7(RCw)2 +(RCw)4. Le numérateur s'écrit : N=jR2Cw [1 -(RCw)2 -3jRCw]= 3(RCw)2+ [1 -(RCw)2] jRCw. Etablir à partir de T(w), l'équation différentielle reliant us(t) à ue(t). La multiplication par jw est associée à la dérivée première par rapport au temps. La multiplication par(jw)2 = -w2 est associée à la dérivée seconde par rapport au temps. N= -3R2C2 (-w2 ) + [1 -(RCw)2] R C jw. us(t) =1/D [ -3R2C2 ue"(t) + (1 -(RCw)2) RC ue'(t) ] tan j
= [1
-(RCw)2]
R C w /
[3(RCw)2] tan
j
=[1
-(RCw)2]
/
(3RCw).
N = 3(RCw)2+ [1 -(RCw)2] jRCw. norme de N : N2 = 9(RCw)4 +[1 -(RCw)2]2 (RCw)2 N2 = 9(RCw)4 +[1 -2(RCw)2+(RCw)4] (RCw)2 N2 = 9(RCw)4 +(RCw)2 -2(RCw)4+(RCw)6 N2 = (RCw)2 [1 +7(RCw)2+(RCw)4 ] N= RCw[1 +7(RCw)2+(RCw)4 ]½. Or D = 1+7(RCw)2 +(RCw)4. T= N/D = RCw [1 +7(RCw)2+(RCw)4 ]-½.
Déterminer le maximum Tmax de T et la fréquence f0 correspondante. Dériver T par rapport à w : On pose x = RCw T = x [1 +7x 2+x4 ]-½. x= ; x' = 1 v = [1 +7x 2+x4 ]-½ ; v'=-0,5 [14x+4x3 ][1 +7x 2+x4 ]-3/2. T ' = [1 +7x 2+x4 ]-½ -0,5x [14x+4x3 ][1 +7x 2+x4 ]-3/2. T ' = [1 +7x 2+x4 ] -3/2 {[1 +7x 2+x4 ] -0,5x [14x+4x3 ] } T ' = 0 si : 1 +7x 2+x4=7x 2+2x4 x4 = 1 ; x = x0 = 1 ; RCw0 = 1 ; w0 =1/(RC). Or w0 =2pf0 ; f0 = 1/(2pRC). T max = [1 +7+1 ]-½ = 1/3. Il s'agit bien d'un maximum car lorsque x tend vers zéro ou l'infini, T tend vers zéro.
Calculer les fréquences de coupure et la largeur de la bande passante. Les fréquences de coupures ( à 3 dB) sont telles que : T = Tmax / 2½ ou T2 = ½ T2max = 1/18. soit T2= x2 [1 +7x 2+x4 ]-1 = 1/18 18x2 = 1 +7x 2+x4 ; 1-11x 2+x4=0 Changement de variable : X= x2 ; 1-11X + X2=0 D =121-4 = 117 ; D½ =10,816 X1 = (11-10,816) /2 = 0,0916 ; X2 = (11+10,816) /2 = 10,908. x1 =3,30 ; x2 =0,30. f1 = 3,30 f0 ; f2 = 0,30 f0 ; Df =f1- f2 = 3 f0. Tracer le diagramme de Bode en gain, en phase. T = [1/x2 +7+ x2 ]-½. Il faut représenter la fonction : g(dB) = 20 log T = -10 log (1/x2 +7+x2)
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