Aurélie 14/05/07
 

concours orthoptie ondes sur une corde ; radioactivité : radium, radon . Nantes 2004

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Propagation d'une déformation le long d'une corde : 

On étudie la propagation d'une déformation le long d'une corde tendue. Un dispositif permet de générer en O, extrémité de la corde, une déformation qui se propage ensuite le long de la corde. On négligera le phénomène de réflexion à l'autre extrémité. La forme de la corde aux instants t1 et t2 est donnée :

  1. Déterminer la vitesse de propagation de la déformation si t2-t1 = 20 ms.
    - L'origine des dates correspond au début du signal en O. Déterminer la date t1. Représenter la corde à la date t3=35 ms.
    - La célérité d'une déformation le long d'une corde est donnée par v = [T/    m]½ avec T: tension (N) et m =5 g/m :masse linéique de la corde. Calculer T.
  2. On génère maintenant en continu au point O une onde sinusoïdale de fréquence f = 200 Hz.
    - Donner précisément l'allure de la corde à un instant donné. On calculera la longueur d'onde     l.
    - On observe la corde à l'aide d'un stroboscope : source de lumière produisant des éclairs de très courte durée mais régulièrement espacés. Le temps entre deux éclairs est Ts= 1/fs. Donner la valeur de la fréquence des éclairs fs pour laquelle on visualise une seule corde immobile.
    - fs =105 Hz. Dans quel sens et à quelle vitesse s'effectue le mouvement apparent de propagation de l'onde le long de la corde.
 Vitesse de propagation de la déformation :

La déformation parcourt d = 80 cm = 0,8 m en t2-t1 = 20 ms = 0,02 s. ( lecture graphe)

v= d / ( t2-t1 ) = 0,8 / 0,02 ; v= 40 m/s.

Date t1 :

A la date t1, la déformation a parcouru 0,8 m ( lecture graphe).

t1 =0,8/40 ; t1 = 20 ms. 

La corde à la date t3=35 ms :

Tension de la corde :

v = [T/m]½ avec T: tension (N) et m =5 10-3 kg m-1 : masse linéique de la corde.

T = v2m = 402*5 10-3 ; T= 8 N.

On génère maintenant en continu au point O une onde sinusoïdale de fréquence f = 200 Hz.
Longueur d'onde l = v/f = 40/200 = 0,2 m

Longueur de la corde : L= 2,4 m.


- On observe la corde à l'aide d'un stroboscope : source de lumière produisant des éclairs de très courte durée mais régulièrement espacés. Le temps entre deux éclairs est Ts= 1/fs.

Valeur de la fréquence des éclairs fs pour laquelle on visualise une seule corde immobile :

200 Hz ou un sous multiple de 200 Hz : 100, 50, 25 Hz.
fs =105 Hz.

période de l'onde sinusoïdale : T = 1/200 = 5 ms

Ts = 1/105 =9,5 ms = 9,5/5 = 1,9 T.

A la date t =1,9 T, le point B se retrouve à la place occupée précédemment par le point C :

Le mouvement apparent est donc en sens contraire du mouvement réel.

La vitesse s'effectue le mouvement apparent de propagation de l'onde le long de la corde est :

B et C sont distants de 0,1 l= 0,02 m

v apparente = 0,02 / 9,510-3 = 2,1 m/s.

Radioactivité :

Les noyaux de radium 22688Ra se désintègrent spontanément en donnant un noyau de radon 22286Rn avec un temps de demi-vie t½.

  1. Ecrire l'équation de désintégration du radium et préciser le type de radioactivité.
  2. Déterminer l'énergie dégagée par cette désintégration en joule et en déduire la vitesse des particules émises lors de cette désintégration ( on négligera l'énergie cinétique du noyau de radon émis ).
  3. Certaines désintégrations s'accompagnent de l'émission d'un rayonnement g de longueur d'onde l = 6,54 10-12 m. Expliquer la présence de ce rayonnement et déterminer pour ces désintégrations la vitesse des particules émises.
  4. Calculer l'énergie de liaison par nucléon en MeV pour un noyau de radium, le noyau de radon et la particule émise. Comparer l'énergie de liaison par nucléon du radium et la moyenne pondérée des énergies de liaisons par nucléon des deux noyaux fils. Justifier la désintégration spontanée du radium.
  5. L'activité d'un gramme de radium est égale à A=3,7 1010 Bq = 1 curie. Déterminer le temps de demi-vie t½ du radium.
  6. Au bout de combien de temps les 3/4 des noyaux de radium ont-ils été désintégrés .

m(22688Ra) = 225,9791 u ; m(22286Rn) = 221,9703 u ; m(42He) = 4,00150 u ; m(neutron) = 1,008665 u ; m(proton) = 1,007276 u ; 1 u = 1,66606 10-27 kg.

c = 3 108 m/s ; h = 6,63 10-34 J s ; e = 1,6 10-19 C ; NA = 6,02 1023 mol-1.

Equation de désintégration du radium :

22688Ra --->22286Rn + 42He type de radioactivité : a.

Energie dégagée par cette désintégration :

Dm = m(42He) + m(22286Rn) - m(22688Ra)

Dm = 4,00150 +221,9703-225,9791 = -0,0073 u = -0,0073*1,66606 10-27 =-1,216 10-29 kg.

DE = Dm c2 =-1,216 10-29 *9 1016 =-1,09 10-12 J.

Vitesse des particules a émises lors de cette désintégration :

½m(42He)v2 = |DE| ; v = [2|DE| /m(42He)]½ = [2*1,09 10-12/(4,0015*1,666 10-27) ]½ =1,81 107 m/s.

Certaines désintégrations s'accompagnent de l'émission d'un rayonnement g de longueur d'onde l = 6,54 10-12 m.

Le noyau fils se trouve dans un état excité : le retour à l'état fondamental de moindre énergie s'accompagne de l'émission d'un photon g.

Energie du photon g : E= hc/l.

E = 6,63 10-34*3 108/6,54 10-12 = 3,04 10-14 J

Energie cinétique du noyau d'hélium : 1,09 10-12 - 3,04 10-14 = 1,06 10-12 J

Vitesse des particules a émises lors de cette désintégration :

½m(42He)v2 = |DE| ; v = [2|DE| /m(42He)]½ = [2*1,06 10-12/(4,0015*1,666 10-27) ]½ =1,78 107 m/s.

Energie de liaison par nucléon en MeV pour un noyau de radium : 88 protons et 226-88 = 138 neutrons.

Dm = 88m(proton) + 138 m(neutron) -m(22688Ra)

Dm = 88*1,007276+138*1,008665-225,9791 =1,8569 u = 1,8569*1,666 10-27 = 3,09 10-27 kg

El = Dm c2 = 3,09 10-27 * 9 1016 = 2,784 10-10 J = 2,784 10-10/ 1,60 10-13 = 1740 MeV.

El /A = 1740 / 226 = 7,70 MeV/nucléons.

Energie de liaison par nucléon en MeV pour un noyau de radon : 86 protons et 222-86 = 136 neutrons.

Dm = 86m(proton) + 136 m(neutron) -m(22286Rn)

Dm = 86*1,007276+136*1,008665-221,9703 =1,8338 u = 1,8338*1,666 10-27 = 3,055 10-27 kg

El = Dm c2 = 3,055 10-27 * 9 1016 = 2,75 10-10 J = 2,784 10-10/ 1,60 10-13 = 1718 MeV.

El /A = 1718 / 222 = 7,74 MeV/nucléons.

Cette valeur est supérieure à celle du noyau de radium : le noyau fils est plus stable que le noyau initial ; la désintégration du radium est spontanée.

Energie de liaison par nucléon en MeV pour un noyau d'hélium : 2 protons et 2 neutrons.

Dm =2 m(proton) + 2 m(neutron) -m(42He)

Dm = 2*1,007276+2*1,008665-4,0015 =0,034 u = 0,034*1,666 10-27 = 5,06 10-29 kg

El = Dm c2 = 5,06 10-29 * 9 1016 = 4,55 10-12 J = 2,784 10-10/ 1,60 10-13 = 28,5 MeV.

El /A = 28,5/4 = 7,1 MeV/nucléons.

L'activité d'un gramme de radium est égale à A=3,7 1010 Bq = 1 curie.

Temps de demi-vie t½ du radium :

nombre de noyau de radium : N= 10-3 / m(22688Ra) = 10-3 / (225,9791*1,66606 10-27 ) = 2,656 1021 noyaux.

constante radioactive l = A/N = 3,7 1010 / 2,656 1021 =1,393 10-11 s-1.

t½ = ln2 / l =ln2 / 1,393 10-11 = 4,97 1010 s = 1,57 103 ans.

Au bout de t½,50 % des noyaux de radium se sont désintégrés.

Au bout de 2t½,75 % des noyaux de radium se sont désintégrés.

  
 

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