Aurélie 2/05/07
 

Concours kiné Limoges : mouvement d'un skieur ; datation au carbone 14 2007

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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.


skieur ( 3 pts)

On assimile le skieur à un point matériel et la trajectoire est dans un plan vertical.

Le skieur aborde avec une vitesse quasi-nulle la piste AB constituée par un quart de cercle de rayon r. La piste est verglassée et les frottements sont négligeables. Il perd le contact avec la piste en M.

  1. Etablir la vitesse vM du skieur en M en fonction de b, r et g.
  2. Déterminer numériquement cos b ( ce qui donne b = 48°).
  3. Calculer vM.
    r= 3,6 m ; g = 10 m/s² ; (2/3)½ = 0,8 ; (3/2)½ = 1,2.
Datation au carbone 14 ( 3 pts)

Données : carbone 12 126C ; carbone 13 136C ; azote 14 147N ; ln2 = 0,6 ; ln3=1,0

 

  1. Le bombardement des noyaux d'azote dans la haute atmosphère par les neutrons aboutit à la réaction nucléaire dont l'équation est la suivante :
    147N +10n = AZY1 + 11H (1)

    Enoncer les deux lois de conservation permettant d'écrire l'équation (1).
    - Quel est l'élément associé à Y1 ? Justifier.

  2. La désintégration du noyau de carbone 14 conduit à l'émission d'un électron de symbole 0-1e et d'un noyau AZY2.
    - Ecrire l'équation de la réaction nucléaire correspondante. De quel type de radioactivité s'agit-il ? Identifier Y2.
  3. Le temps de demi-vie du carbone 14 noté t½ est de l'ordre de 6000 ans.
    - Donner la définition du temps de demi-vie.
    - Exprimer la constante radioactive
    l en fonction de t½. Quelle est l'unité de l ?
  4. A la fin du XXème siècle, les vestiges d'une fresque peinte furent découverte à Thèbes, anciennement Louxor, capitale d'Egypte. Une datation au carbone 14 est réalisée sur un échantillon de cette fresque. L'activité de cet échantillon est de 10,0 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Or l'activité pour 1 g de carbone participant au cycle du dioxyde de carbone atmosphérique est estimée à 15,0 désintégrations par minute. Déterminer l'année approximative de la réalisation de la fresque.
 




skieur :

Le skieur est soumis à son poids et à l'action du support :

 

En M, le skieur perd le contact avec le plan ( R=0) d'où : v2M = r g cos b

vM = [r g cosb]½.

Théorème de l'énergie cinétique entre A et M :

Travail moteur ( descente) du poids : mg r(1-cos b )

R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

½m v2M -0 = mg r(1-cos b )

or v2M = r g cos b d'où : ½m r g cos b= mg r(1-cos b )

1,5 cosb = 1 ; cos b = 1/1,5 ; cos b =2/3.

Valeur de la vitesse en M :

r= 3,6 m ; g = 10 m/s² ; (2/3)½ = 0,8 ; (3/2)½ = 1,2.

vM = [3,6*10 *2/3]½ = 6*0,8 ; vM =4,8 m/s.


 Datation au carbone 14 :

Données : carbone 12 126C ; carbone 13 136C ; azote 14 147N ; ln2 = 0,6 ; ln3=1,0

Le bombardement des noyaux d'azote dans la haute atmosphère par les neutrons aboutit à la réaction nucléaire dont l'équation est la suivante :

147N +10n = AZY1 + 11H (1)

Lois de conservation permettant d'écrire l'équation:

Conservation de la charge : 7+0 = Z+1 d'où Z= 6 et Y1 est l'élément carbone.

conservation du nombre de nucléons : 14+1=A+1 d'où A=14

AZY1 est identifié à 146C

La désintégration du noyau de carbone 14 conduit à l'émission d'un électron de symbole 0-1e et d'un noyau AZY2.
Equation de la réaction nucléaire correspondante :

146C --> 0-1e + AZY2 ; radioactivité de type b-.

Conservation de la charge : 6 = Z-1 d'où Z= 7 et Y2 est l'élément azote.

conservation du nombre de nucléons : 14=A

AZY7 est identifié à 147N

Le temps de demi-vie du carbone 14 noté t½ est de l'ordre de 6000 ans.
Définition du temps de demi-vie :

Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.
l t½ = ln2 ; l s'exprime en s-1 ou an-1 ( inverse d'un temps).

A la fin du XXème siècle, les vestiges d'une fresque peinte furent découverte à Thèbes, anciennement Louxor, capitale d'Egypte. Une datation au carbone 14 est réalisée sur un échantillon de cette fresque. L'activité de cet échantillon est de 10,0 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Or l'activité pour 1 g de carbone participant au cycle du dioxyde de carbone atmosphérique est estimée à 15,0 désintégrations par minute.

Année approximative de la réalisation de la fresque :

A(t) = A0 exp(-lt) ; ln (A0/ A(t) ) = lt = ln2 t/t½.

On pose t/t½ = n ; ln (A0/ A(t) ) = n ln2 = ln 2n.

A0/ A(t) = 2n ; 15/10 = 2n ; ln 1,5 = n ln2 ; n= ln1,5/ ln2

n = ln(3/2) / ln2 = (ln3-ln2)/ln2 = (1-0,6) / 0,6 = 4/6 = 2/3.

t = n t½ = 2/3*6000 = 4000 ans.


 

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