Aurélie 03/04/07
 

Concours Kiné : de l'inclinaison pour un ressort 2007 ( Ceerrf)

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Question 3 : 14 pts/40 sans calculatrice


Soit un ressort à spires non jointives, de raideur k et de longueur au repos L0, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O s'un plan incliné et à un point M de masse m. Le plan incliné fait un angle a par rapport à l'horizontale. On pose x = abscisse de M ; il n'y a pas de frottement de glissement sur le plan.

  1. Sans justification écrire l'équation différentielle pour le mouvement d'un oscillateur élastique horizontal, libre, non amorti, en fonction de m, k et x.
  2. La masse m est en équilibre :
    - Indiquer les forces qui agissent sur M. Faire un schéma.
    - Donner l'expression de ces forces dans le repère (O, x, y).
    - Déterminer l'expression de l'abscisse xeq du point M.
  3. A partir de la position d'équilibre, le ressort est étiré de D>0 et relâché sans vitesse initiale.
    - Etablir l'équation différentielle du mouvement de M en fonction de x, k, m et xeq.
    - Pour retrouver l'équation différentielle type de la question 1, on change de repère par une translation judicieuse et on note X l'abscisse de M dans ce nouveau repère. Ecrire la relation entre X et x.
    - En déduire l'équation différentielle du mouvement de M en fonction de X, k et m.
    - Déterminer X(t) en fonction de D, k et m. On choisira pour cela la solution habituelle ( fonction cosinus) en fonction de la période propre T0 de l'oscillateur.
    - En déduire x(t) en fonction de D, k, m, g, L0 et
    a.
  4. Sous la forme d'un tableau, donner les expressions ou valeurs de v(t) aux dates 0,25 T0 , ½T0, 0,75 T0 et T0.
 




Equation différentielle pour le mouvement d'un oscillateur élastique horizontal, libre, non amorti, en fonction de m, k et x.

x"+k/mx=0 (1)

La masse m est en équilibre sous l'action du poids ( valeur mg) de la tension du ressort et de l'action du plan.


Expression de ces forces dans le repère (O, x, y):

poids ( mgsina ; - mg cosa) ; action du plan ( 0 ; N= mg cosa ) ; tension ( -k(x-L0) ; 0)

Expression de l'abscisse xeq du point M :

à l'équilibre sin a = T/P = k(xéq-L0)/mg ; xéq = L0+mgsina / k.

A partir de la position d'équilibre, le ressort est étiré de D>0 et relâché sans vitesse initiale.
Equation différentielle du mouvement de M en fonction de x, k, m et xeq :

Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe des abscisses : mgsina -k(x-L0) = mx".

mgsina -k(x-xéq+xéq-L0) = mx".

mgsina -k(x-xéq)-k(xéq-L0) = mx". Or mgsina =k(xéq-L0)

d'où mx"+k(xéq-L0) =0 ; x"+k/ m (x-xéq) =0.

Pour retrouver l'équation différentielle type de la question 1, on change de repère par une translation judicieuse et on note X l'abscisse de M dans ce nouveau repère. L'origine du nouveau repère est la position d'équilibre. La relation entre X et x est X= x-xéq.
Equation différentielle du mouvement de M en fonction de X, k et m :

remarque X"=x" ; X" + k/mX=0.

solution de cette équation : X(t) = D cos ( 2pt/T0).

x(t) = X(t) + xéq = D cos ( 2pt/T0) + L0+mgsina / k.

Expressions ou valeurs de v(t) aux dates 0,25 T0 , ½T0, 0,75 T0 et T0.

v(t) = dX/dt = -D2p/T0 sin ( 2pt/T0).
dates
0,25 T0
½T0
0,75 T0
T0
v(t)
-D2p/T0
0
D2p/T0
0


 

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