Aide technique laboratoire ( d'après concours 2004 Paris) chute verticale ; optique ; webcam

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Chute libre verticale d'une bille dans l'air filmée avec une webcam :

Données : mair = 1,3 kg m-3 ; masse de la bille m=5,0 10-2 kg ; rayon de la bille : r = 1,1 10-2 m ; g= 9,81 N/kg ; méthanol = 7,9 102 kg m-3 .

Par définition un corps est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids. On néglige donc les forces de frottements de l'air sur la bille d'acier et la poussée d'Archimède exercée par l'air sur la bille.

  1. Sachant que la poussée d'Archimède, notée PA est égale au poids du fluide ( ici l'air) déplacé par le solide dans lequel il est immergé, montrer qu'il est légitime de négliger la poussée par rapport au poids de la bille en chute libre.
  2. Recherche de la position de la webcam par rapport à la scène filmée :
    Sur la notice de la webcam, il est écrit que la focale de l'objectif ( lentille convergente) est de 6,0 mm. Que signifie cette indication ?
    - Comment distinguer simplement une lentille divergente d'une lentille convergente ?
    On filme un objet BC de 2,0 m de haut perpendiculairement à l'axe optique de la webcam et placé symétriquement par rapport à cet axe. On suppose que cet objet est très éloigné ( à l'infini) de l'objectif.

    - Où l'image B'C' se forme t-elle ?
    On effectue la mise au point en réglant l'objectif de la webcam de façon à ce que l'image B'C' se forme sur le capteur CCD de la webcam. Le capteur CCD peut être assimilé à un carré de 3,0 mm de côté.
    - Calculer la distance D séparant l'objet BC de l'objectif afin que son image se forme entierement sur le capteur CCD.
    Les webcams disponibles sur le marché se distinguent par des focales différentes.
    - Avec une webcam de focale 4,8 mm, recalculer D' entre l'objet BC et l'objectif afin que son image se forme entierement sur le capteur CCD. Conclure.
    - Quel est l'avantage majeur de posséder une webcam de grande distance focale ?

  3. Réglage de la durée d'observation :
    Un des premiers réglages de la webcam est celui de sa durée d'obturation, c'est à dire la durée d'exposition de la cellule CCD de la webcam à la lumière. Le fait de régler la durée d'obturation permet d'éviter les flous et d'obtenir une scène filmée nette ; ce qui est essentiel pour effectuer un pointé rigoureux du centre d'inertie de la bille. On règle la durée d'obturation à 1/50 s.
    - La vitesse v du centre d'inertie d'un solide au cours de la chute libre est donnée par v=[2gh]½ où h représente la longueur de chute. Calculer v si h = 2,0 m.
    - La traînée de la bille est la longueur de la trace laissée par celle-ci sur le clip. Quelle est alors la longueur de la traînée après 2,0 m de chute ?
    - Même calcul si la durée d'obturation est réglée à 1/100 s. Quel réglage choisir ?
    - Que peut-on dire de la luminosité de la scène filmée lorsqu'on diminue la durée d'exposition ? Quel moyen simple peut-on mettre en oeuvre pour remédier à cet inconvénient ?
  4. Réglage de la durée d'acquisition : la durée de la chute de la bille peut être calculée à l'aide de la relation Dt = [2h/g]½ avec h représentant la hauteur de chute. Calculer la durée minimale d'acquisition lors de cette chute s'effectuant sur h= 2,0 m.
  5. Réglage du "frame rate", nombre d'images filmées par seconde : l'étude de la chute libre nécessite une durée entre deux images consécutives de 40 ms. Quelle dit être la valeur du "frame rate" lors de cette étude ?
  6. Etude de la perte d'images : tous les paramètres du logiciel d'acquisition sont correctement réglés. Lors du traitement du clip image par image, on constate que certaines images ont été supprimées. Cela est dû à une faiblesse du port USB de l'ordinateur auquel est relié la webcam qui ne peut transférer vers l'ordinateur que 1,5 Mo/s. Le format numérique maximal de l'image est égal à 640*480 ( image constituée de 640 pixels sur 480 pixels). Pour chaque pixel, la couleur est codée sur 1,5 octet. Calculer le "poids" en octet de cet image.
    - Connaissant la valeur du "frame rate", calculer le débit, noté d, en Mo/s ( 1,00 Mo = 1,05 106 octets) de l'information circulant par le port USB. Comparer ce débit au débit maximal toléré par le port USB de l'ordinateur.
 corrigé
Poids : P= mg =0,05 *9,81 =0,49 N

poussée : PA = V g mair avec V= 4/3pr3 =4/3*3,14*(1,1 10-2)3 =5,57 10-6 m3.

PA = V g mair =5,57 10-6*9,81*1,3 =7,1 10-5 N, valeur très inférieure au poids.

La distance focale f' = 6,0 10-3 m est l'inverse de la vergence v = 1/f '= 1/(6 10-3) = 1,7 102 dioptries.

Une lentille convergente a les bords minces ; une lentille divergente à les bords plus épais que le centre : c'est un moyen simple de les distinguer.

Si l'objet BC est à l'infini, alors l'image B'C' se forme dans le plan focal image de la lentille ( objectif).

distance D : D/f' = BC/B'C' soit D = f' BC/B'C' = 6 *2 / 3 = 4,0 m.

distance D' : D' = f' BC/B'C' = 4,8 *2 / 3 = 3,2 m. ( l'objet doit être plus proche de la webcam )

Une webcam de grande distance focale permet d'obtenir une image complète d'un objet d'assez grande dimension et suffisamment éloigné.

v=[2gh]½ = v=[2*9,81*2]½ = 6,3 m/s. ( 6,264)

Longueur de la traînée après 2,0 m de chute : v/50 = 6,264/50 = 0,13 m = 13 cm.

et pour 1/100 s : v/100 = 6,3 cm

La traînée étant plus courte, il faut choisir ce réglage.

La luminosité de la scène filmée est flus faible lorsqu'on diminue la durée d'exposition : pour y remédier, éclairer la scène filmée avec une lampe halogène.

Durée minimale d'acquisition lors de cette chute s'effectuant sur h= 2,0 m :

Dt = [2h/g]½ = [2*2/9,81]½ = 0,64 s.

Valeur du "frame rate" lors de cette étude :

durée d'acquistion d'une image : 0,01 s ; durée entre deux images consécutives : 0,04 s

nombre d'images par seconde : 1/(0,01+0,04) = 20 images /secondes.

"poids" en octet de cet image :

nombre de pixels : 640*480 =3,072 105.

3,072 105*1,5 = 4,6 105 octets.

débit : "poids "de 20 images = 4,6 105 *20 = 9,2 106 octets

d = 9,2 106 / 1,05 106 = 8,8 Mo/s.

Le transfert maximmum via le port USB est 1,5 Mo/s, valeur 6 fois plus faible que le débit : il va donc manquer des images.
Chute verticale d'une bille dans l'éthanol :

Données : mair = 1,3 kg m-3 ; masse de la bille m=5,0 10-2 kg ; rayon de la bille : r = 1,1 10-2 m ; g= 9,81 N/kg ; méthanol = 7,9 102 kg m-3 .

On désire étudier la chute de la bille d'acier dans une éprouvette d'une hauteur de 50,0 cm contenant de l'éthanol.

  1. Montrer qu'il n'est plus possible de négliger la poussée d'Archimède par rapport au poids de cette bille. De même la force de frottement du fluide n'est plus néligée ( cette force est notée f ).
    L'étude du mouvement du centre d'inertie de la bille montre que celui-ci est dans un premier temps rectiligne accéléré puis rectiligne uniforme. Dans la seconde partie de ce mouvement, le centre d'inertie de la bille a une vitesse limite, notée vlim, dont on se propose de déterminer la valeur dans la partie qui suit.
  2. Définir les notions de mouvements rectiligne accéléré et rectiligne uniforme d'un point.
    L'application de la deuxième loi de Newton au centre d'inertie de la bille aboutit à l'équation suivante :( les vecteurs sont écrits en gras et en bleu)
    ma = P + PA + f.
    a : accélération du centre d'inertie de la bille ; P : poids de la bille ; PA : poussée d'Archimède ; f : force de frottement.
  3. Que devient cette équation lorsque le mouvement devient rectiligne uniforme ?
  4. Représenter les forces exercées sur la bille sur un schéma sachant que f = - k v avec k = 0,29 N m-1 s.
  5. En projetant l'équation précédente selon un axe vertical descendant, déterminer la vitesse limite du centre d'inertie de la bille.
 corrigé
Poids : P= mg =0,05 *9,81 =0,49 N

poussée : PA = V g méthanol avec V= 4/3pr3 =4/3*3,14*(1,1 10-2)3 =5,57 10-6 m3.

PA = V g méthanol =5,57 10-6*9,81*790 = 4,3 10-2 N, valeur voisine de 1/10 du poids, donc non négligeable.

mouvement rectiligne accéléré : la trajectoire est une droite ; la vitesse augmente.

mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire est une droite ; la valeur de la vitesse est constante.

cette équation s'écrit, lorsque le mouvement devient rectiligne uniforme : 0 = P + PA + f.

Forces exercées sur la bille :

Vitesse limite du centre d'inertie de la bille : 0 = P -PA -kvlim.

vlim =( P -PA ) / k = (0,49-0,043) / 0,29 = 1,5 m/s.


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