Oscillations électriques libres Capes 2000

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Lorsque le commutateur K est en position 1, le condensateur se charge sous la tension E délivrée par un générateur de tension constante.

Le condensateur une fois chargé, on bascule à l'instant t=0 le commutateur en position 2.

Equation différentielle vérifiée par la tension v(t) aux bornes du condensateur :

additivité des tensions : v(t) = R i(t) + Ldi(t) /dt

De plus i(t) = - dq(t) / dt avec q(t) = C v(t)

d'où i(t) = -C dv(t)/dt ; di(t)/dt = -C d²v(t)/dt².

Par suite v(t) = -R C dv(t)/dt - LC d²v(t)/dt².

  d²v(t)/dt²+ R/Ldv(t)/dt +1/(LC) v(t) = 0.

En posant or w₀ = (LC)^-½ et Q₀ = 1/R [L/C]^½ soit w₀ /Q₀ =R/L.

v"(t) +w₀ /Q₀ v'(t) +w₀² v(t) =0. (1)

Conditions initiales de décharge du condensateur :

L'énergie stockée par le condensateur et en conséquence la tension aux bornes du condensateur sont continues.

v(0^-) = v(0⁺) = E.

L'énergie stockée par la bobine et en conséquence l'intensité du courant sont continues.

i(0^-) = i(0⁺) = 0.

Afin d'avoir une forme réduite de l'équation différentielle, on introduit la grandeur t = t/(LC)^½ et le degré d'amortissement a = ½R (C/L)^½.

dt/dt = 1/(LC)^½ = w₀ ; dv(t) / dt = dv(t)/dt * dt/dt = w₀ dv(t)/dt ; d²v(t)/dt² = w₀² d²v(t)/dt²

a = ½R (C/L)^½ = 1/(2Q₀ ) ; 1/Q₀ =2 a.

L'équation différentielle (1) s'écrit alors :

w₀² d²v(t)/dt² + 2a w₀² dv(t)/dt + w₀² v(t) =0

Diviser chaque termes par w₀² , grandeur non nulle :

d²v(t)/dt² + 2a dv(t)/dt + v(t) =0 (2)

L'équation caractéristique associée à (2) s'écrit :

r² + 2a r = 1 =0 ; discriminant réduit D' =a²-1

Si a>1 , régime apériodique

Si a<1 , régime pseudopériodique.

Pour L= 0,04 H et C= 22 nF calculons cette valeur R_critique.

Or a = ½R (C/L)^½ d'où 1 =½R_critique (C/L)^½ ; R_critique = 2(LC)^½ ;

R_critique = 2 (0,04 / 22 10^-9)^½ =2,7 10³ W.