Pendule : aspect énergétique ; vitesse ; accélération bac S 2002 Amérique du sud

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Ce pendule est constitué du mobile à coussin d'air de masse m=0,236 kg, adapté à la table, suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible et de masse négligeable devant celle du mobile. L'autre extrémité du fil est accrochée en un point fixe O.

Ce pendule est assimilé à un pendule simple de longueur L=OG= OG₀=0,41 m.

On enregistre les positions du centre d'inertie G du mobile toutes les 30 ms. On note t= 30 ms.

G₂G₃=1,6 cm ; G₃G₄=1,7 cm ; G₄G₅=1,8 cm ; G₅G₆= 1,8 cm.

Valeurs v₃ et v₅ des vecteurs vitesses aux points G₃ et G₅ :

v₃ = (G₂G₃+G₃G₄)/ (2t) = (16+17)/ (2*30) = 33/60 = 0,55 m/s.

v₅ = (G₄G₅+G₅G₆)/ (2t)=(18+18)/ (2*30) = 36 /60 = 0,60 m/s.

Représentation de ces vecteurs ( 1 cm <--> 0,1 m/s):

Les vecteurs vitesses sont portés par la tangente la trajectoire au point considéré ; le sens est celui du mouvement.

Valeur a₄ du vecteur accélération du centre d'inertie au point G₄ :

Mesurer Dv₄ : 1,1 cm ; tenir compte de l'échelle : Dv₄ = 0,11 m/s

a₄ = Dv₄ /(2t) =0,11/(60 10^-3) = 1,8 m s^-2.

Expression de l'énergie cinétique du pendule simple :

E_c = ½mv² ; m: masse (kg) ; v: vitesse (m/s) ; E_c ( J).

Expression de l'énergie potentielle de pesanteur du pendule simple :

La position d'équilibre G₀ est choisie comme origine.

E_pp = mgz = m g L(1-cos a) avec L =OAen mètre

Expression de l'énergie mécanique du pendule :

E_m = E_pp + E_c = m g L(1-cos a) + ½mv² .

Valeur de la vitesse maximale du pendule :

Le graphe indique que l'énergie mécanique est égale à 0,042 J

Au passage à la position d'équilibre G0, l'énergie mécanique est sous forme cinétique : ( vitesse maximale)

0,042 = ½mv²_max ; v_max = (2*0,042/m)^½ = (0,084/0,236)^½ ; v_max = 0,60 m/s.

Hauteur maximale atteinte par le pendule :

L'énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur.

0,042 = mg z_max ; z_max = 0,042/(mg) = 0,042/ (0,236*9,8) ; z_max = 0,018 m.

Abscisse angulaire maximale a du pendule :

0,018 = L(1-cos a_max)

1-cos a_max= 0,018/L ; cos a_max=1-0,018/L

cos a_max=1-0,018/ 0,41 =0,956 ; a_max= 17 °.

Faire l'analyse dimensionnelle des quatre formules suivantes. En déduire la période T₀.

 T₀ = 2p mg/L ; T₀ = 2p (g/L )^½ ; T₀ = 2p (L/g ) ; T₀ = 2p (L/g )^½.

2p : sans dimension ; L est une longueur ; g est une accélération soit une longueur / temps².

[L/g ] = T² ;  [ (L/g )^½] = T.

T₀ = 2p (L/g )^½.

Dans la réalité, au cours du temps, du fait des frottements, les oscillations sont légèrement amorties.

L'énergie mécanique diminue : une partie de celle-ci est dissipée sous forme de chaleur.