Aurélie 07/06/07
 

bac S Liban 2007 : filtre pour enceinte, dipoles RC et LC

  d'après http://www.cpf.edu.lb/sphysique/

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Sans calculatrice, 4 points.

Une enceinte pour chaîne hi-fi est composée de plusieurs hauts parleurs : le plus petit les sons les plus aigus et le plus gros émet les sons les plus graves. Il est donc nécessaire de ne pas les alimenter de la même manière, ce qui est réalisé à l'aide d'un montage électrique de condensateurs et de bobines et appelé filtre.

Condensateurs et bobines sont des composants incontournables en électricité. Nous allons voir comment déterminer leurs caractéristiques à partir du montage ci-dessous comprenant :

Un générateur de tension constante continue E = 12 V ; une résistance R = 100 W ; un interrupteur K à trois points ; un condensateur de capacité C ; une bobine d'inductance L et de résistance r

Aide au calcul : 0,37 x 12 ˜ 4,4 ; 0,63 x 12 ˜ 7,6 ; p = 3,14 ˜ 3 ; p 2 ˜ 10

I. Charge du condensateur

Le condensateur étant déchargé, on place à t = 0, l'interrupteur K en position 1. Un système d'acquisition permet d'enregistrer les graphes des tensions E et uC en fonction du temps. On obtient les courbes :

 

  1. Indiquer sur le schéma du montage fourni, les branchements du système d'acquisition (analogue à un oscilloscope à mémoire) pour visualiser, sur la voie A, la tension E aux bornes du générateur et, sur la voie B, la tension uC aux bornes du condensateur.
  2. L'expression en fonction du temps de la tension uC aux bornes du condensateur est : uC = U.[1 - exp(-t/t )] où U et t sont des constantes non nulles.
    - Déterminer graphiquement U.
    - Que représente t pour la charge d'un condensateur ? Nommer t.
    - Déterminer graphiquement la valeur de t. La méthode utilisée doit être visible sur les courbes I.
  3. Evolution de uC
    - Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur lors de sa charge.
    - Montrer que uC = U.[1 - exp(-t/t )] est bien une solution de cette équation différentielle et exprimer U et t en fonction des grandeurs caractéristiques du montage.
    - Vérifier la dimension de t par une analyse dimensionnelle.
 

 

La constante de temps est noté t ; t = RC. Au bout d'une durée égale à 5t, le condensateur est pratiquement chargé.

 Evolution de uC :

Equation différentielle régissant l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur lors de sa charge :

Additivité des tensions : E = uc+Ri

Or i= dq/dt et q= Cuc d'où i = C duc/dt.

E= uc + RC duc/dt. (1)
Montrons que uC = U.[1 - exp(-t/t )] est bien une solution de cette équation différentielle :

dériver uc par rapport au temps duc/dt = U/texp(-t/t )

repport dans (1) : E= U.[1 - exp(-t/t )] +RC U/t exp(-t/t )

E= U+U ( -1+RC 1/t ) exp(-t/t )

Cette égalité est vérifiée quel que soit le temps si U= E et si t =RC.

Dimension de t par une analyse dimensionnelle.

R : résistance soit tension divisée par intensité

C capacité soit charge divisée par une tension ; or une charge est une intensité fois un temps d'où C : intensité * temps / tension

Par suite RC a la dimension d'un temps.

 

II. Décharge du condensateur dans une bobine

Le condensateur étant chargé, on bascule l'interrupteur en position 2 ; cet instant sera pris comme nouvelle origine des dates.

De la même façon on enregistre l'évolution de la tension uC aux bornes du condensateur et on obtient la courbe suivante. On prendra C = 10 µF.

  1. Quelle est la nature du phénomène observé ?
  2. Temps caractéristique
    - Nommer le temps caractéristique du phénomène observé puis le déterminer. La méthode utilisée doit être visible sur la courbe.
    - Donner l'expression de ce temps en fonction des éléments du montage.
  3. En déduire la valeur de l'inductance de la bobine.
  4. Comment voit-on que la bobine possède une résistance non nulle ?
  5. Sous quelle(s) forme(s) est stockée l'énergie totale du dipôle (L,C) à la date t = 2,0 ms ? Calculer sa valeur.
 La décharge du condensateur dans la bobine est pseudo-périodique. L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur diminue.

Pseudo-période voisine de la période propre du dipole LC

T = 2p(LC)½.

T2 = 4p2 LC ; L = T2 /( 4p2 C) avec C= 10-5 F.

L= 4 10-6 / (4*10*10-5) =0,010 H.

L'amortissement est la preuve que la bobine possède une résistance non nulle.

A la date t = 2,0 ms , la tension aux bornes du condensateur passe par une valeur maximale voisine de 8 V ; l'intensité du courant est en conséquence nulle. Le condensateur stocke l'énergie du dipole (LC) sous forme d'énergie électrique.

½Cuc2 = 0,5 * 10-5 * 82 = 3,2 10-4 J.
 
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