Le sismographe se compose d'une masse M relié a un ressort de raideur K de longueur au repos l₀. L'extremité du ressort est attaché en un point fixe du référentiel R_l du laboratoire que l'on suppose galiléen. On repère le mouvement du centre de masse M du bloc par son élongation x(t) mesurée a partir de la position d'équilibre de l'ensemble ressort + masse.

1. Schéma les forces en présence :
   

   poids : vertical, vers le bas, appliqué au centre d'inertie, valeur : mg tension du ressort : verticale, dirigée vers la position d'équilibre, appliquée au point de fixation masse ressort, valeur proportionnelle à la déformation du ressort.

2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique ( 2ème loi de Newton) pour établir l'équation du mouvement :
   écrire cette loi sur un axe vertical dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort :
   

   à l'équilibre : mg = k(Léq-L0)

   écarté de sa position d'équilibre le ressort oscille : L= Léq +x mg-k(L-l0)= m d²x/dt² mg-k( Léq +x-l0)= m d²x/dt² mg-k( Léq -l0) - kx =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0) m d²x/dt² + k x=0 (1)

3. Pulsation w₀ ( rad s^-1) :
   w₀ = [k/m]^½ d'où l'écriture de (1) : d²x/dt² + w²₀ x = 0 ou x" +w²₀ x =0. (1)
4. La solution de cette équation peut se mettre sous la forme x(t)=A cos(Bt) ou A et B sont des constantes positives non nulles :
   Calcul de B pour que x(t)=AcosBt soit solution de l'équation différentielle.
   dériver deux fois par rapport au temps :
   x' = AB (-sin (Bt) ; x" = -AB²cos(Bt)
   repport dans (2) : -AB²cos(Bt) + w²₀A cos(Bt) =0 ; B=w₀

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   On éloigne la masse de sa position d'equilibre d'une quantité d, on a donc à t=0, x(0)=d ;
   à partir de cette condition initiale,on détermine la constante A en fonction des données du problème.
   x(t=0)=A cos(0) = d soit A=d.
   
   Le mouvement de la masse est un mouvement rectiligne sinusoïdal, sans amortissement.

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5. On considere que le mouvement est amorti par un frottement visqueux de coefficient f. On précise alors que la force de frottement visqueux est proportionelle à la vitesse.
   

   écrire cette loi sur un axe vertical dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort : L= Léq +x mg-k(L-l0)-2lv= m d²x/dt² mg-k( Léq +x-l0)-k'v= m d²x/dt² mg-k( Léq -l0) - kx -k'v =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0) m d²x/dt² +k'v + k x=0 avec v = dx/dt = x' m d²x/dt² +k'x' + k x=0 (3)

   (3 ) peut s'écrire : d²x/dt² +k'/ m x' + k/ m x=0
   or w²₀ = k/m ; on pose 2l= k'/m ;
   d'où : d²x/dt² +2l x' + w²₀ x=0 (4)
   Dimension de l :
   
   d²x/dt² a la dimension d'une accélération (m/s²) ou bien : [d²x/dt²]= L T^-2.
   chaque terme de la somme de l'équation (4) a donc la dimension d'une accélération
   de plus x' ou dx/dt a la diension d'une vitesse ( m/s) soit [x']=L T^-1.
   [2lx'] = L T^-2 ; [x']=L T^-1 ; d'où [l] = T^-1 ( inverse d'un temps)

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6. En fonction du signe du discriminant D les solutions de cette équation sont :
   x" +2l x' + w²₀ x=0
   équation caractéristique associée : r²+2lr+ w²₀ =0
   D=4(l²- w²₀ )
   si D <0 : pulsation w² = w₀² -l²
   solution : x = B exp( -lt) sin (wt+j), régime pseudopériodique ( amortissement faible)
   si D =0 : r = -l ; solution : x = (At+B )exp( -lt) ; régime critique.
   si D >0 : r₁ = -l+ w ; r₂ = -l- w ;
   solution : x = C₁ exp( r₁ t) + C₂ exp( r₂ t) ; régime apériodique.

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7. Vérifions que x(t) est solution de l'équation différentielle : ( si D>0)
   dériver par rapport au temps x'(t) = C₁ r₁exp( r₁ t) + C₂ r₂ exp( r₂ t)
   dérivée seconde : x"= C₁ r²₁exp( r₁ t) + C₂ r²₂ exp( r₂ t)
   repport dans x" +2l x' + w²₀ x=0
   C₁ r²₁exp( r₁ t) + C₂ r²₂ exp( r₂ t)+2l[C₁ r₁exp( r₁ t) + C₂ r₂ exp( r₂ t)]+ w²₀[C₁ exp( r₁ t) + C₂ exp( r₂ t)]=0
   [ r²₁+2lr₁ + w²₀ ]C₁exp( r₁ t) + [ r²₂+2lr₂ + w²₀ ]C₂exp( r₂ t) =0 (5)
   Or [ r²₁+2lr₁ + w²₀ ] = [ r²₂+2lr₂ + w²₀ ] =0
   (5) est donc bien vérifiée quel que soit t : x = C₁ exp( r₁ t) + C₂ exp( r₂ t) est bien solution de (4)
   

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