Aurélie 09/11/06

 

CAPES physique chimie ( d'après concours interne 2002 ) Etude de la conduction électrique des métaux

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  1. Montrer, par des arguments physiques simples, que la résistance d'un fil métallique cylindrique rectiligne homogène de longueur l et de section S est proportionnelle à l /S = l /(pr²).
  2. On pose la relation R= rl /S, r d"signant la résistivité du métal. On réalise une série de mesures de résistance pour de très longs fils cylindriques de fer, de structure homogène, tendus sur des pylônes et de rayons r différents.


    r = 5 mm
    r=2,2 mm
    r=1,5 mm
    r=1 mm
    l =200 km
    250
    1285
    2770
    6250
    l = 150 km
    185
    960
    2080
    4680
    l =100 km
    125
    640
    1390
    3120
    l = 10 km
    12
    65
    140
    310
    Montrer par un ou plusieurs graphiques que les mesures sont en accod avec la relation proposée. Calculer r en précisant l'unité.
  3. On admet que la conduction électrique d'un fil cylindrique peut être décrite de la manière suivante : chaque atome du métal possède un électon libre ; le courant électrique est assimilé au mouvement d'ensemble d'un très grand nombre d'électrons, à une vitesse constante uniforme v.
    - Soit m la masse volumique du métal et M sa masse molaire exprimée dans le système S.I ( kg /mol). Déterminer l'expression littérale de la densité volumique d des électrons libres en m-3.
    - Un courant d'intensité I traverse le fil de section droite S. Pendant la durée infinitésimale dt déterminer successivement la distance dx dont a avancé le flot d'électrons libres, le volume dV occupé par les électrons traversant la surface droite S du cylindre pendant cette durée., le nombre dN d'électrons correspondant, la valeur absolue de la charge |dq| totale, la valeur absolue de l'intensité |I|= |dq|/dt
    En déduire une relation entre I, e, d, S et v.
    - Calculer dans le cas du fer la valeur de d. En déduire celle de v si I/S= 10 A mm-2. Commenter.

 corrigé

Résistance d'un fil métallique cylindrique rectiligne homogène de longueur l et de section S :

La résistance électrique est une mesure de l'opposition que présente un matériau au passage du courant.

Dans un métal, les porteurs de charge sont des électrons libres ; ces derniers se déplacent d'autant plus difficilement qu'ils rencontrent plus d'obstacles ( chocs des électrons libres sur les ions métalliques fixes du réseau cristallin). Les obstacles sont d'autant plus nombreux que le conducteur est plus long et que sa section est plus faible.

Donc R est proportionnelle à l /S = l /(pr²).

pour l =200 km :

S=pr2(m²)
7,85 10-5
1,52 10-5
7,0 10-6
3,1 10-6
1/S( m-2)
1,27 104
6,58 104
1,43 105
3,23 105
R (ohm)
250
1285
2770
6250

R est proportionnelle à 1/S : le coefficient directeur est égal à rl = 1,93 10-2 W m² soit r = 1,93 10-2 / 200 000 = 9,7 10-8 W m.

pour S =7,85 10-5 m ² :

l (m)
2 105
1,5 105
1 105
1 104
R
250
185
125
12

R est proportionnelle à l : le coefficient directeur est égal à r/S = 1,25 10-3 W m-1 soit r = 1,25 10-3 * 7,85 10-5 = 9,8 10-8 W m.

On admet que la conduction électrique d'un fil cylindrique peut être décrite de la manière suivante : chaque atome du métal possède un électon libre ; le courant électrique est assimilé au mouvement d'ensemble d'un très grand nombre d'électrons, à une vitesse constante uniforme v.
Soit m la masse volumique du métal et M sa masse molaire exprimée dans le système S.I ( kg /mol).

Expression littérale de la densité volumique d des électrons libres en m-3 :

masse de 1 m3 de fer : m kg ; masse molaire du fer : M kg/mol

quantité de matière de fer dans 1 m3 : m /M mol

nombre d'atome de fer ( donc nombre d'électrons libres) dans 1 m3 : NAm /M

densité volumique de charge : d = NAm /M avec NA : nombre d'Avogadro
Un courant d'intensité I traverse le fil de section droite S. Pendant la durée infinitésimale dt :

Distance dx dont a avancé le flot d'électrons libres à la vitesse v : dx = vdt

Volume dV occupé par les électrons traversant la surface droite S du cylindre pendant cette durée : dV=Sdx =Svdt

Nombre dN d'électrons correspondant : dN=NAm /M dV = NAm Svdt / M

Valeur absolue de la charge |dq| totale :|dq|=NAm e Svdt / M avec e : charge élémentaire ;

Valeur absolue de l'intensité |I|= |dq|/dt = NAm e Sv / M
Relation entre I, e, d, S et v : |I|= Sved
Calcul dans le cas du fer la valeur de d : m = 7,86 103 kg m-3 ; M= 55,8 10-3 kg/mol

d = NAm /M = 6,02 1023*7,86 103 / 55,8 10-3 = 8,48 1028 m-3.

Calcul de v si I/S= 10 A mm-2 = 107 A m-2 : v = |I|/(Sed) = 107/ ( 1,6 10-19 *8,48 1028 )=7,4 10-4 m/s = 0,74 mm/s.

Cette vitesse moyenne de déplacement d'ensemble des électrons libres est très faible. ( en particulier par rapport des vitesse de ces mêmes électrons animés de mouvements désordonés , en absence de champ électrique).



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