CAPES physique chimie ( d'après concours interne 2002 ) Réalisation d'un générateur idéal de tension

Aurélie 09/11/06

Diverses méthodes de mesure d'une résistance

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Etude d'une pile électrochimique :

On relève les valeurs de U_PN et celle de I :

U_PN(V) 4,52 4,45 4,39 4,32 4,26 4,15 3,41 1,27

I(mA) 0,00 50,0 100 150 200 250 300 350

Quelle est l'utilité du bouton poussoir ?
Montrer que lorsque l'intensité délivrée par le générateur est inférieure à une valeur maximale que l'on précisera, la pile peut être considérée comme un dipôle linéaire. Déterminer l'équation de sa caractéristique dans ce domaine, donner les valeurs numériques de sa force électromotrice E et de sa résistance interne r.
La pile précédente est insérée dans le montage ci-après : ( l'A.O est supposé idéal )
Montrer que l'on réalise ainsi entre S et M un générateur idéal de tension dont on précisera la valeur de la dorce électromotrice E.
Dans toute la suite, ce générateur idéal sera représenté par le symbole :

Mesure de la résistance R d'un conducteur ohmique par une méthode électrocinétique :

Dans le circuit ci-dessous, C est un condensateur initialement déchargé de capacité C, K est un conducteur ohmique calibré de haute précision, de résistance K= 220 W. On branche aux bornes du condensateur un oscilloscope à mémoire qui déclenche l'aquisition des mesures à la fermeture de l'interrupteur, c'est à dire à la date t=0.

On obtient l'oscillogramme 1.

On ouvre ensuite le circuit, on décharge le condensateur, on remplace le conducteur ohmique K par le conducteur ohmique R, on ferme à nouveau l'interrupteur et on obtient l'oscilloframme 2.

Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c aux bornes du condensateur, que ce soit avec R ou avec K.
Déduire de l'équation précédente l'expression littérale de la fonction u_c(t) ; t=0 correspond à la date de fermeture de l'interrupteur.
On appelle t la constante de temps du circuit. Donner son expression. Comment peut-on lire la valeur de t sur le graphique.
Déduire des oscillogrammes les valeurs de C et de R.

Mesure de la résistance R d'un conducteur ohmique par recherche du régime critique :

C'= 2,2 mF; L= 0,40 H ; r= 20 W.

On réalise d'abord la charge du condensateur C' à l'aide du générateur idéal SM en plaçant l'interrupteur en position 1. Le condensateur étant chargé on bascule l'interrupteur en position 2. Un ordinateur permet de suivre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur.

Lorsqu'on ferme le circuit de décharge du condensateur, si la résistance K est suffisamment faible, on observe des oscillations d'un type particulier. Donner leur nom et tracer l'allure de la courbe donnant les évolutions de la tension u_c aux bornes du condensateur en fonction du temps.
Décrire brièvement les transferts d'énergie mis en jeu dans le circuit.
Si la valeur de K est forte, on se trouve en régime apériodique. Il existe une valeur de la résistance K pour laquelle l'évolution de la tension aux bornes du condensateur est dite "critique", à la frontière des deux régimes évoqués précédemment. Décrire comment l'utilisation de l'outil informatique permet une détermination précise du régime critique.
Le régime critique est obtenu pour K= 189 W. L'étude théorique prévoit qu'il est obtenu lorsque la résistance totale du circuit vaut : R_totale = 2(L/C')^½. Vérifier l'homogénéité de cette expression et calculer la valeur de R.

Détermination de la résistance R d'un conducteur ohmique par une méthode calorimétrique :

On dispose d'un calorimètre dont l'ensemble cuve et accessoires a une capacité thermique C_th=120 J K^-1. On verse dans le calorimètre un volume d'eau tiède de valeur V= 100,0 mL, et après quelques minutes, on mesure la température q_i=17,0°C. On pèse un bloc de glace ( m_g= 88,7 g) pris à la température q_g=-20,0°C et on le plonge dans l'eau contenue dans le calorimètre.

Décrire briévement le calorimètre.
Montrer qu'à l'équilibre thermique la température à l'intérieur du calorimètre vaut q_éq=0,0°C. Calculer la masse m' d'eau et la masse m'_g de glace dans le calorimètre à l'équilibre thermique.
On plonge ensuite le conducteur ohmique R dans le liquide et on réalise le circuit suivant :
A la date t=0, on ferme le circuit et on mesure I= 294 mA. A la date t= 7 min 11s, on constate la disparition totale de la glace. En précisant les hypothèses faîtes pour le bilan énergétique, déterminer la valeur de R.
Parmi les méthodes proposées, quelle est la plus précise ? Donner dans celle-ci une estimation numérique de l'incertitude relative sur la valeur de R.

Données : c_eau = 4180 J kg^-1 K^-1 ; c_glace =2100 J kg^-1 K^-1 ; L_fusion = 335 10³ J kg^-1.

corrigé

utilité du bouton poussoir :

Il permet de fermer le circuit pendant une durée très courte, suffisamment longue pour effectuer chaque lecture de la tension et de l'intensité ; entre deux mesures la pile de débite pas ; ainsi la pile ne se déchargera pas trop durant la durée de toutes les mesures.

Lorsque l'intensité délivrée par le générateur est inférieure àI=0,25 A, la pile peut être considérée comme un dipôle linéaire.

E=4,52 V et r = 1,5 W ; équation de sa caractéristique : U_PN=E-rI = 4,52 - 1,5 I.

Le montage avec l'A.O idéal est un montage suiveur : la tension d'entrée est égale à la tension de sortie U_PN=U_SM ;

or l'intensité des courants dans les entrées E⁺ et E^- de l'A.O sont pratiquement nulles ( impédance d'entrée très grande) : en conséquence U_PN=E=4,52 V =U_SM

Equation différentielle vérifiée par la tension u_c aux bornes du condensateur, que ce soit avec R ou avec K :

additivité des tensions : u_c + Ri = E

or i = dq/dt = q' et q=Cu_cd'où i= C u'_c

par suite : u_c + Ri = E s'écrit : u_c + RC u'_c= E ; on pose t = RC, constante de temps du dipôle RC.

u_c + t u'_c= E. (1)

Expression littérale de la fonction u_c(t) ; t=0 correspond à la date de fermeture de l'interrupteur :

solution particulière de (1) : u_c=E ( condensateur chargé)

solution générale de u_c + t u'_c= 0 : u_c(t) = A exp(-t/t).

solution générale de (1) : u_c(t) = A exp(-t/t) + E

On détermine la constante A à partir de la condition initiale : à t=0, le condensateur n'est pas chargé, soit u_c(t) =0.

u_c(0) =0= A exp(0) + E = A+E soit A=-E

u_c(t) = E(1- exp(-t/t) ).

Lecture de la valeur de t sur le graphique :

à t=t, u_c(t) = E(1- exp(-1) ) = 0,63 E = 0,63*4,52 = 2,85 V

Valeurs de C et de R :
KC=0,015 ; 220 C=0,015 soit C= 6,8 10^-5 F.

RC=0,042 soit R= 42 K/15 = 42*220/15 = 616 W.

( la détermination des deux constantes de temps n'est pas très précise)

Transferts d'énergie mis en jeu dans le circuit : ( régime apériodique)

échange permanent d'énergie entre bobine et condensateur ; au cours de ces échanges, une partie de l'énergie est dissipée par effet joule dans les conducteurs ohmiques.

Si la valeur de K est forte, on se trouve en régime apériodique. Il existe une valeur de la résistance K pour laquelle l'évolution de la tension aux bornes du condensateur est dite "critique", à la frontière des deux régimes évoqués précédemment. L'utilisation de l'outil informatique permet de mémoriser les courbes obtenues en faisant varier lentement K et de repèrer le passage au régime critique ( voir évolution des courbes ci-dessus)

Le régime critique est obtenu pour K= 189 W. L'étude théorique prévoit qu'il est obtenu lorsque la résistance totale du circuit vaut : R_totale = 2(L/C')^½.

Homogénéité de cette expression :

énergie stockée par une bobine inductive : E=½LI² soit L = 2E/I²

L'inductance est une énergie divisée par une intensité au carré : joule ampère ^-2.

énergie stockée par le condensateur : E=½C'U² soit C'= 2E/ U²

la capacité est une énergie divisée par une tension au carré : joule volt^-2.

par suite L/C' a la dimension de : volt² ampère ^-2 et (L/C')^½ a la dimension d'une résistance soit volt ampère ^-1

Calcul de la valeur de R :

R_totale = 2(L/C')^½ = 2(0,4 / 2,2 10^-6)^½ = 853 W.

R_totale =R+K+r ; R= R_totale -K-r = 853-186-20 = 644 W.

calorimètre :

vase adiabatique ( pratiquement pas d'échange avec le milieu extérieur)

paroi interne brillante (en verre) limitant le rayonnement

vide entre les doubles parois : pas de convection

parois externe isolante : pas de conduction

A l'équilibre thermique la température à l'intérieur du calorimètre vaut q_éq=0,0°C :

hypothèse : toute la glace glace fond à 0°C et la température finale est 0°C.

énergie gagnée par la glace pour se réchauffer de -20 °C à 0°C sans fondre :

Q₁ = m_g c_glace(0-q_g)= m_g c_glaceq_g=88,7 10^-3*2100*20 = 3725 J

énergie gagnée par la glace pour fondre à °C : Q₂ = m_gL_fusion =88,7*335 = 29714 J

Q₁ + Q₂ = 3725 + 29714 = 33439 J

Energie cédée par les corps chauds, eau ( 100 g = 0,1 kg) et calorimètre :

Q₃= (0,1c_eau+C_th)(0-q_i) = (0,1*4180+120)*(-17) = - 9146 J

Or |Q₃| < Q₁ + Q₂ donc toute la glace ne peut fondre ; cette hypothèse est fausse.

Le mélange final contient de l'eau et de la glace : sa température est 0°C.

hypothèse : une masse m_1g de glace fond à 0°C.

3725 J sont nécessaire pour réchauffer 88,7 g de glace de -20 à 0°C ; il reste donc : 9146-3725 = 5421 J pour faire fondre une masse m_1g de glace à 0°C

5421 = m_1gL_fusion ; m_1g= 5421 / 335 10³ = 16,2 g.

dans le calorimètre à l'équilibre thermique : masse d'eau m'= 100+16,2 = 116,2 g ; masse de glace m'_g = 88,7-16,2 = 72,5 g.

On plonge ensuite le conducteur ohmique R dans le liquide et on réalise le circuit suivant :

A la date t=0, on ferme le circuit et on mesure I= 294 mA. A la date t= 7 min 11s, on constate la disparition totale de la glace.

hypothèses faîtes pour le bilan énergétique : vase adiabatique, capacité thermique massique du métal constituant la résistance R, négligeable.

Energie nécessaire pour faire fondre une masse m'_g = 72,5 g de glace à 0 C : Q₄ = m'_gL_fusion =72,5*335 = 24287 J

Energie fournie par effet joule : Q= RI²t avec I= 0,294 A et t = 421 s.

Q₄ =Q soit R= m'_gL_fusion /(I²t) = 24287/(0,294²*431) = 652 W.

Cette dernière méthode est sans doute la plus précise.

Pour la première, les constantes de temps sont peu précises ; pour la seconde r et K sont peu précises.

Estimation numérique de l'incertitude relative sur la valeur de R :

log R= log m'_g + log L_fusion - 2 log I-log t

d'où DR/R= Dm'_g/m'_g + 2DI/I + Dt/t = 0,1/75,2 + 2/294 + 1/431 voisin de 10^-2 ( 1%)

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