Aurélie 1/3/06

Satellite géostationnaire, charge d'un condensateur, teneur en alcool d'un apéritif. d'après concours controleur de la concurence et de la répression des fraudes 2003

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Mouvement d’un satellite géostationnaire ( 15 pts).

 

Un satellite de télécommunication, considéré comme ponctuel, a été placé sur orbite autour de la Terre. Afin de faciliter sa recherche, sa position est fixe par rapport au référentiel géocentrique. Il est constamment à la verticale du même point de la Terre. Ce satellite est géostationnaire.

  1. Qu’appelle-t-on référentiel géocentrique ? Quelle est son origine ? Quelles sont les directions de ses axes ?
  2. À quelles conditions le mouvement du satellite doit-il satisfaire ? (trajectoire, sens, période)
  3. Quelle force la Terre exerce-t-elle sur le satellite ? Donner ses caractéristiques (direction, sens, norme)
  4. Le satellite est-il soumis à d’autres forces ?
  5. Appliquer la deuxième loi de Newton au mouvement du satellite.
  6. Dans la base de Frenet, donner les caractéristiques de l’accélération du satellite.
  7. En déduire la nature du mouvement du satellite.
  8. Quelles sont les caractéristiques de la vitesse du satellite dans la base de Frenet ?
  9. En déduire sa période de révolution.
  10. Calculer l’altitude du satellite.

Application numérique : Rayon de la Terre R = 6,37 103 km ; Masse de la Terre M = 6 1024 kg ; Constante de gravitation universelle G = 6,67 10-11 N.m2kg-2

Période de rotation de la Terre T = 8,62 104 s

corrigé
référentiel géocentrique : lié à la terre ; l'origine du repère est le centre de la terre ; les trois axes pointent vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.

Le satellite géostationnaire tourne dans le plan équatorial, dans le même sens que la Terre, avec la même vitesse angulaire que la Terre.

La Terre exerce une force de gravitation attractive sur le satellite, centripète ( dirigée vers le centre de la Terre), valeur F= GMm/(R+h)² ( m : masse du satellite et h : altitude du satellite par rapport au sol)

Le satellite est soumis à la seule force de gravitation exercée par la Terre ; la seconde loi de Newton s'écrit sur l'axe n : ma = GMm/(R+h)²

d'où l'accélération : centripète, valeur a= GM/(R+h)²

L'accélération étant centripète, la valeur de la vitesse est constante pour une altitude donnée : le mouvement est uniforme

période T :

La période est la durée pour pacourir une circonférence de rayon r =R+h à la vitesse v

2pr = vT

4p²r² = v²T² = GMT² / r

T² = r3 4p²/ (GM) d'où r3 = T² GM / (4p²).

application numérique: (distance en mètre)

r3 = (8,62 104)² * 6,67 10-11 * 6 1024 / (4*3,14²) = 7,5 1022 d'où r = 4,22 107 m.

altitude h = r-R= 4,22 107-6,37 106 =3,59 107 m


Charge d’un condensateur. (15 points)

 

  1. De quoi est constitué un condensateur ?
  2. Le condensateur de capacité C est inséré dans un montage contenant un générateur idéal de tension de f.e.m. E, un interrupteur K et un résistor de résistance R. Recopier le schéma ci-dessous et représenter l’intensité i dans le circuit, la tension uC aux bornes du condensateur en convention récepteur et placer les charges sur les armatures du condensateur.
  3. Quelle est l’unité de capacité? Quel est son symbole ?
  4. Quelle relation lie la charge q à l’intensité du courant i ?
  5. Quelle relation lie la charge q à la tension uC ?
  6. En déduire une relation liant l’intensité i à la tension uC.
  7. A la date t = 0 s, on ferme le circuit. Appliquer la loi d’additivité des tensions.
    - En déduire l’équation différentielle à laquelle obéit la tension uC.
    - Posons t = RC. Comment appelle-t-on t ?
    - Vérifier que la solution de l’équation différentielle est de la forme : uC(t) = A+B e-t/t où A et B sont des constantes.
    - Déterminer les constantes A et B. En déduire uC(t).
corrigé
Un condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant ou diélectrique.

la charge q est positive ( armature reliée à la borne positive du générateur.

La capacité notée C s'exprime en farad ( F)

relation liant la charge q à l’intensité du courant i : i = dq/dt

relation liant la charge q à la tension uC : q= CuC

relation liant l’intensité i à la tension uC : i = CduC/dt

UPN=E = UPA+UAN

E = UC +Ri avec i = dq/dt = CdUC/dt = Cu'C.

E = uC +RCu'C

u'C + 1/(RC) uC =E / (RC) avec t = RC , constante de temps exprimée en seconde.

uC(t) = A+B e-t/t ; dériver par rapport au temps : u'C =-B/t e-t/t ;

repport dans l'équation différentielle : -B/t e-t/t + 1 /t (A+B e-t/t)=E //t soit A= E

D'autre part à t=0, le condensateur n'est pas chargé et uC=0 soit A+B=0 ; par suite : B= - E

uC(t) = E(1- e-t/t )

Teneur en alcool d’un apéritif. 

On distille E0 = 20,00 mL de cet apéritif additionné de 100 mL d’eau. Le distillat est recueilli dans une fiole jaugée de U = 250,0 mL. Lorsqu’on a 60 mL de distillat qui contient alors tout l’éthanol de la boisson alcoolisée, on complète avec de l’eau jusqu’au trait de jauge : soit S la solution obtenue.

  1. Annoter le schéma cidessous et indiquer le sens de passage de l’eau.
  2. On prélève E1 = 10,00 mL de la solution S, on ajoute E2 = 20,00 mL d’une solution de dichromate de potassium et 10 mL d’acide sulfurique à 2 mol.L-1. On bouche le vase à réaction et on laisse évoluer le mélange pendant 20 minutes. C’est l’essai (E). D’autre part, on réalise un témoin (T) en remplaçant les 10,00 mL de la solution S préparée par E3 = 10,00 mL d’eau désionisée. L’essai (E) et le témoin (T) sont dosés par une solution fraîchement préparée de sel de Mohr obtenue en pesant 20,980 g de sel de Mohr et en le dissolvant dans une fiole jaugée de 100,0 mL. Il a fallu verser VE = 8,65 mL pour l’essai (E) et VT = 23,00 mL pour le témoin (T). On introduit les ions dichromates en quantité connue mais en excès. L’éthanol s’oxyde alors en acide éthanoïque. Écrire les demi-équations électroniques d’oxydoréduction qui interviennent lors de la préparation de l’essai (E).
  3. Écrire les demi-équations électroniques d’oxydoréduction qui interviennent lors du dosage du témoin (T).
  4. Indiquer le rôle de l’acide sulfurique.
  5. Calculer la concentration C en ions fer (II) de la solution de sel de Mohr préparée.
  6. Exprimer littéralement et calculer le nombre de moles de dichromate de potassium utilisés dans l’essai (E) et le témoin (T).
  7. Exprimer littéralement et calculer le nombre de moles de dichromate de potassium excédentaires lors de la préparation de l’essai (E).
  8. En déduire le nombre de moles d’éthanol dans la prise d’essai E1.
  9. La définition légale dit : « le titre alcoométrique volumique d’une boisson alcoolisée est égal au volume éthanol pur exprimé en mL contenu dans 100 mL de boisson alcoolisée, les volumes étant mesurés à 20°C ». Déterminer le titre alcoométrique de l’apéritif analysé avec une précision de 2 %.
  10. On peut doser le témoin par une méthode instrumentale : on suit l’évolution de la ddp entre deux électrodes convenablement choisies en fonction du volume de solution d’ions Fe2+ versé. Quels sont les électrodes à utiliser et préciser leur rôle ?
    - Donner l’expression littérale du potentiel pris par l’électrode de mesure.

DONNÉES

M du sel de Mohr = 392,16 g.mol -1 ; M de l’éthanol = 46,0 g.mol -1 ; Masse volumique de l’éthanol à 20°C = 789 kg.m-3

Potentiels redox des couples CH3COOH / C2H5OH = 0.05 V ; Cr2O72- / Cr3+ = 1,36 V ; Fe3+ / Fe2+ = 0,77 V

E(électrode au calomel à KCl saturé) / (électrode standard à hydrogène) = 0,245 V

corrigé

préparation de l’essai (E) :

3 fois { C2H5OH +H2O = CH3COOH + 4H+ + 4e- } oxydation alcool

2 fois { Cr2O72- + 14H+ + 6e- = 2Cr3+ + 7 H2O } réduction de l'ion dichromate

3C2H5OH + 2Cr2O72- +16H+= 3CH3COOH + 4Cr3+ + 11 H2O (1)

dosage du témoin (T) :

6 fois { Fe2+ = Fe3+ +e- } oxydation de l'ion fer II

Cr2O72- + 14H+ + 6e- = 2Cr3+ + 7 H2O

Cr2O72- +6Fe2+ +14H+ = 6Fe3++ 2Cr3+ + 7 H2O (2)

rôle de l’acide sulfurique : les ions oxonium H3O+ noté H+ ci-dessus, sont l'un des réactifs

concentration C en ions fer (II) de la solution de sel de Mohr préparée :

n(mol) = m (g)/ Mg/mol) = 20,98 / 392,16 = 5,35 10-2 mol

C(mol/L) = n(mol) / V (L) = 5,35 10-2 /0,1 = 0,535 mol/L.

nombre de moles de dichromate de potassium utilisés dans l’essai (E) et le témoin (T):

d'après les coefficients de l'équation (2) : n( Fe2+ ) = 6 n(dichromate)

n(dichromate) = 6 E2 C2 avec C2 : concentration en ion dichromate

n( Fe2+ ) = CVE ( pour l'essai) et n( Fe2+ ) = CVT ( pour le témoin)

essai : 6 n(dichromate) = CVE ; n(dichromate) = CVE /6 = 0,535*8,65 10-3 /6 = 7,71 10-4 mol de dichromate en excès

témoin : n(dichromate) = CVT /6 = 0,535*23 10-3 /6 = 2,05 10-3 mol

nombre de moles de dichromate de potassium ayant réagi lors de la préparation de l’essai (E) :

CVT /6 -CVE /6 =(2,05-0,771) 10-3 = 1,279 10-3 mol

nombre de moles d’éthanol dans la prise d’essai E1 :

d'après les coefficients de l'équation (1) : n( alcool ) = 1,5 n(dichromate ayant réagi)= 1,5*1,279 10-3 = 1,918 10-3 mol

titre alcoométrique de l’apéritif analysé :

masse d'alcool dans 10 mL de S : m(g) = n(mol) * M(alcool) (g/mol) = 1,918 10-3 *46 =8,83 10-2 g

volume d'alcool : m(g) / masse volumique (g/mL) = 8,83 10-2 /0,789 = 0,112 mL dans 10 mL de la prise

donc 25*1,12=2,8 mL d'alcool pur dans 250 mL de S ou encore dans 20 mL d'apéritif

soit 2,8*5 = 14 mL d'alcool pur dans 100 mL d'apéritif. ( 14°)

les électrodes à utiliser :

une électrode de référence (électrode au calomel à KCl saturé) et une électode de mesure ( graphite ou platine ) plongeant dans la solution.

avant l'équivalence, les ions dichromate sont en excès, le couple Cr2O72- / Cr3+ fixe le potentiel de l'électrode de mesure :

Cr2O72- + 14H+ + 6e- = 2Cr3+ + 7 H2O

E= 1,36 + 0,01 log ([Cr2O72-][H+]14/[Cr3+]2)

après l'équivalence, les ions fer II sont en excès, le couple Fe3+ / Fe2+ fixe le potentiel de l'électrode de mesure :

E = 0,77 + 0,06 log ([Fe3+]/[Fe2+])

L’alcool étudié, l’éthanol, est un alcool primaire.
  1. Donner la définition d’un alcool primaire et écrire la formule semi-développée de l’éthanol.
  2. Il existe aussi des alcools secondaires et tertiaires. Quelle est la différence de structure existant entre les trois classes d’alcool ?
    - Donner les isomères de l’alcool de formule brute C4H10O en précisant pour chacun d’eux le nom et la classe. Citer des tests qualitatifs permettant de les différencier en indiquant clairement les réactifs utilisés et les résultats observés.
corrigé
éthanol : CH3-CH2OH

alcool primaire : l'atome porteur du groupe OH est relié à un seul carbone - CH2OH

alcool secondaire : l'atome porteur du groupe OH est relié à deux atomes de carbone > CHOH

alcool tertiaire : l'atome porteur du groupe OH est relié à 3 atomes de carbone

CH3-CH2-CH2-CH2OH butan-1-ol alcool primaire

peut s'oxyder en aldehyde ( butanal H3C-CH2-CH2-CHO) puis en acide butanoïque H3C-CH2-CH2-COOH

CH3-CH(CH3)-CH2OH 2-méthylpropan-1-ol alcool primaire

peut s'oxyder en aldehyde ( 2-méthylpropanal CH3-CH(CH3)-CHO )

puis en acide 2-méthylpropanoïque H3C-CH(CH3)-COOH

CH3-CH(OH)-CH2-CH3 butan-2-ol alcool secondaire

peut s'oxyder en cétone butanone CH3-CO-CH2-CH3

test positif avec la DNPH,( solide jaune) et négatif avec Fehling.

CH3-C(CH3)2-OH 2,2diméthylpropan-2-ol alcool tertiaire, pas d'oxydation ménagée.( noté B) 

Test commun aux aldéhydes et aux cétones.

Les composés carbonylés (aldéhydes et cétones) se caractérisent à l'aide de la 2,4-dinitrophénylhydrazine (DNPH) avec laquelle ils donnent un précipité jaune-orangé de 2,4-dinitrophénylhydrazone.

Tests spécifiques des aldéhydes.

Liqueur de Fehling: Le chauffage modéré d'un mélange contenant de la liqueur de Fehling et un aldéhyde conduit à un précipité rouge brique (constitué d'oxyde de cuivre (I) Cu2O).

Réactif de Tollens (solution de nitrate d'argent ammoniacal): Le chauffage modéré (50°C à 60°C au bain marie) d'un mélange de réactif de Tollens et d''aldéhyde dans une verrerie très propre conduit à la formation d'un miroir d'argent sur les parois de la verrerie.

Réactif de Schiff (fuschine décolorée par le dioxyde de soufre): A froid et en milieu non basique, en présence d'un aldéhyde le réactif de Schiff prend une teinte rose- violacée.


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