A- Une automobile de masse M=1,6 t démarre, sans vitesse initiale sur une route rectiligne horizontale. La phase de démarrage est une phase d'accélération pendant laquelle aucune force ne s'oppose à l'avancement, alors que le moteur exerce une force constante , de valeur F, parallèle au déplacement.

1. Faire le bilan des forces extérieures s'exerçant sur la voiture.
   - En donner une représentation au point G, centre d'inertie de la voiture à un instant quelconque.
2. L'auto parcourt la distance OA=L=700 m et atteint la vitesse v= 126 km/h. A laide du théorème du centre d'inertie, établir la relation entre F et la valeur a de l'accélération.
   - A l'aide du théorème de l'énergie cinétique, établir la relation entre la valeur F de la force et la vitesse v.
   - En déduire une relation entre vitesse et accélération.
   - Calculer la valeur de l'accélération. et en déduire la valeur de la force F.

B- L'auto aborde en A, avec la vitesse v_A= 126 km/h une portion de route rectiligne horizontale AB de longueur l, puis une portion BC circulaire de cente O, de rayon R= 100 m, telle que OC fait avec la verticale un angle q= 60°. Les frottements sont négligeables.

1. L'automobile arrive en B. Calculer v_B.
2. A l'aide du théorème de l'énergie cinétique appliqué au tronçon BC établir la relation liant v_C à v_B, R, g et q.

C- Que devient la trajectoire du centre d'inertie G de la voiture après C ?

1. Déterminer les équations horaires du mouvement dans le repère Cxyz.
2. En déduire l'expression littérale de l'équation de la trajectoire.
3. Préciser la nature de cette trajectoire.
4. Préciser la nature du mouvement sur cette trajectoire.
5. L'auto retombe sur le sol en un point I. Calculer littéralement l'abscisse de I.

Données : g=10 m/s² ; sin 30 = cos60 = 0,5 ; sin 60 = cos 30 = 0,87.

Un palet P₁ de masse m₁ est propulsé le long d'une piste à coussin d'air. La piste comporte une rampe AB de longueur L inclinée d'un angle a sur l'hotizontale, suivie d'un trou T afin de recevoir ce palet. Le palet P₁ est propulsé grâce à un choc avec un palet P₂, de masse m₂ = 4 m₁. Le palet P2 est lui même relié à un ressort R horizontal, de masse négligeable et de constante de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixe en O.

A l'équilibre, la position du centre d'inertie du palet P₂ est notée G₀ telle que OG₀ = l₀.

Tous les frottements sont négligés ; Lors du choc le palet P₂ transmet intégralement son énergie cinétique au palet P₁ ; le ressort exerce une force proportionnelle à sa déformation.

Etude du mouvement du palet P₂ :

Un joueur comprime le ressort : la nouvelle position du centre d'inertie G₂ du palet devient G₁ telle que OG₁ = 0,25 l₀. Puis ce même joueur le lâche à un instant pris comme origine des dates, sans communiquer de vitesse initiale à P₂.

1. Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P₂. L'origine sur l'axe x'x est G₀.
2. L'équation du mouvement de G₂ est : x(t) = A sin (w₀t+f) où x est l'abscisse de G₂ sur l'axe G₀x.
   - Quelle est la nature du mouvement de G₂ ?
   - Préciser la signification physique de A, w₀, f.
   - Etablir l'expression littérale de w₀, de la période T₀.
   - Déterminer les valeurs des constantes A et f.
   - En déduire littéralement puis numériquement l'équation horaire x(t)
3. Donner l'expression littérale de la vitesse v(t) de G₂.
   - A quel instant t₀, le centre d'inertie G₂ du palet passe-t-il en G₀ ?
   - Déterminer la valeur de la vitesse lors du passage en G₀.
4. Exprimer l'énergie mécanique du système ressort et palet à un instant t quelconque.
   - Que vaut cette énergie à l'instant t₀ ?
   - En déduire la vitesse v₀ du palet à l'instant t₀. Cette valeur est-elle en accord avec celle trouvée en 3 ?

Etude du mouvement du palet P₁ : le choc entre les palets a lieu lorsque le centre d'inertie G₂ du palet P₂ passe en G₀.

1. Calculer la vitesse v₁ acquise par du le centre d'inertie G₁ du palet P₁ au moment du choc.
2. En déduire la vitesse v_A du centre d'inertie G₁ du palet P₁ au passage en A.
3. On prévoit que le palet P₁ aborde la rampe avec la vitesse v₂ = 3,6 m/s. Vérifier que cette valeur est en accord avec les hypothèses formulées au départ.
4. Calculer la vitesse v_B au passage au sommet de la rampe, sachant que B est situé à une hauteur h_B= 25 cm au dessus du plan horizontal passant par A.
5. Quelle doit être la longueur L de la rampe.
6. Déterminer l'équation de la trajectoire du centre d'inertie G₁ du palet P₁au delà de B, dans le repère O'xz.
7. Déterminer l'expression littérale, puis numérique, de la vitesse du palet P₁ retombant sur le sol.
8. A quelle distance du point O' faut-il percer le trou.

m₁ = 50 g ; m₂ = 200 g ; k = 20 N/m ; l₀ = 24 cm ; g= 10 m/s² ; a= 30°.

aide au calcul : p²=10 ; sin 30 = 0,5 ; cos 30 = 0,87 ; tan30 = 0,58 ; 3,6²= 13 ; 1,4²=2 ; 18²= 324 ; 8*0,87 = 7

On associe en série un générateur basse fréquence (GBF), un résistor (R= 10 kW) , un condensateur de capacité C= 10mF et un interrupteur. Le GBF délivre une tension u, rectangulaire telle que : u(t)=U₀ =10 V sur l'intervalle [0 ; ½T] et u(t) = 0 sur l'intervalle [½T, T]

1. Représenter u(t) sur l'intervalle [0, 2T].
2. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur et la tension u(t) prend la valeur U₀. Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t).
   - Faire un schéma en indiquant le sens du courant et les différentes tensions.
   -On donne comme solution de l'équation différentielle : u_c= A(1-exp(-at)). Déterminer littéralement et numériquement A et a.
   - Que représentent physiquement A et a.
   - En déduire l'expression de u_C(t).
   - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
   - Donner l'allure de la courbe u_c(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
   - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
   - Que vaut cette énergie en fin de charge ( ½T>> RC)
   - A quel instant t₁ la charge maximale est-elle atteinte au millième près ?
3. A l'instant t=½T, la tension u(t) passe de U₀ à 0. On réalise un changement de repère temporel : on appelle t' la nouvelle variable pour laquelle l'instant initial t'=0 correspond à t=½T.
   - Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension u_C(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).
   - Faire le schéma du montage en faisant apparaître l'intensité et les différentes tensions.
   - On donne comme solution de l'équation différentielle : u_c= Bexp(-bt). Déterminer littéralement et numériquement B et b.
   - Que représentent physiquement b. Quel rapport avec a ?
   - En déduire la valeur de B puis l'expression de u_C(t').
   - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
   - Donner l'allure de la courbe u_c(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
   - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
   - Que vaut cette énergie en fin de décharge ( ½T>> RC)
   - A quel instant t'₂ la charge vaut-elle 37% de la charge maximale ?
   
   Données : ln 10 = 2,3 ; e¹ = 100/37

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corrigé

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u(t) sur l'intervalle [0, 2T]

équation différentielle caractérisant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t)

u_PB= U₀ ; u_PB= u_PA+ u_AB avec i = dq_A/dt = Cdu_AB/dt .

U₀ = Ri +u_AB soit U₀ =RC du_C/dt +u_C (1)

u_c= A(1-exp(-at))

dériver l'expression de u_C par rapport au temps : du_C/dt = Aa exp(-at).

repport dans (1) : U₀ = RCAa exp(-at)+A(1-exp(-at))

U₀ = A(RCa -1)exp(-at) +A égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence A= U₀ et a =1/(RC) = 1/(10⁴*10^-5) = 10 s

A : amplitude de la tenion u_C (V) ; a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde^-1 ) du dipôle RC.

u_C(t) = U₀(1-exp(-t/(RC)))= 10 ( 1-exp(-10t))

la solution trouvée satisfait aux conditions initiales en effet :

u_C(0) = 10(1-exp(0)) = 0 ( condensateur non chagé)

allure de la courbe u_c(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½Cu_C².
cette énergie en fin de charge vaut : ½CU²₀ = 0,5 10^-5*100 = 5 10^-4 J.
instant t₁ où la charge maximale est atteinte au millième près : u_C(t₁) = 0,999 U₀ ; 0,999 = 1-exp(-10t₁) ; 10^-3 = exp(-10t₁)

ln(10^-3) = -10 t₁ ; t₁ = -0,1 ln(10^-3) =0,69 s.

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équation différentielle caractérisant la tension u_C(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).

u_C(t') = Ri avec i = -dq/dt et q= Cu_C soit i = -Cdu_C/dt

u_C(t')+RCdu_C/dt =0 (1)

solution de l'équation différentielle : u_c= Bexp(-bt). Valeurs de B et b :

dériver l'expression de u_C par rapport au temps : du_C/dt = -Bb exp(-bt).

repport dans (1) : B exp(-bt) -Bb RC exp(-bt) =0 égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence b =1/(RC) = 1/(10⁴*10^-5) = 10 s
b=a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde^-1 ) du dipôle RC.
valeur de B et l'expression de u_C(t') :

à l'instant t'=0 u_c(0) = U₀ = 10 V d'où B = 10 V et u_c= 10 exp(-10t). La solution trouvée satisfait aux conditions initiales
allure de la courbe u_c(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC :

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½Cu_C².
cette énergie est nulle en fin de décharge ( ½T>> RC)
instant t'₂ où la charge vaut 37% de la charge maximale :

u_C(t'₂) = 0,37 *10 = 10 exp(-10t'₂) ; 0,37 = exp(-10t'₂) ; -10t'₂ = ln 0,37 = -1 soit t'₂ = 0,1 s.

A- Définir un acide fort au sens de Brönsted

1. Ecrire l'équation de la réaction entre un monoacide fort AH et l'eau.
2. Le pH d'une solution aqueuse S d'un monoacide fort AH est égal à 2,7. Calculer sa concentration.

B- On dispose d'une solution S₁ d'un monoacide A₁H de concentration c₁ et de pH₁= 2,4. A partir de S₁ on prépare une solution aqueuse S'₁ de concentration c'₁ = c₁/10. Le pH de S'₁ a pour valeur 2,9. En déduire si A₁H est un acide fort ou faible. Justifier.
- Ecrire l'équation de la réaction entre A₁H et l'eau

C- Définir la constante d'acidité d'un couple acido basique AH/A^-.
- Calculer la constante d'acidité K_a du couple A₁H/A₁^- sachant que la solution S₁ de pH =2,4 a une concentration c₁ = 0,10 mol/L. Vérifier que le pK_a de ce couple vaut 3,8.

D- A un volume v₁ = 50 mL de solution S₁, on ajoute un volume d'une solution aqueuse S₂ d'hydroxyde de sodium de concentration c₂ = 0,10 mol/L. Quel volume v₂ de la solution S₂ faut-il ajouter pour obtenir l'équivalence acido basique. Justifier la valeur du pH à l'équivalence.

- Quel volume v'₂ de la solution S₂ faut-il ajouter pour obtenir un mélange de pH=3,8 ? Comment s'appelle une telle solution ?

Plus de 50 % de la production mondiale de zinc est obtenu par électrolyse d'une solution de sulfate de zinc, acidifiée à l'acide sulfurique. Les ions sulfates ne participent pas aux réactions électrochimiques.. On observe un dépôt métallique sur une électrode et un dégagement gazeux sur l'autre.

I- Etude de la transformation :

1. Quelles sont les réactions susceptibles de se produire sur chaque électrodes sachant que s'est le solvant qui est oxydé en O₂ ? Zn²⁺(aq)/Zn ; H⁺(aq) / H₂(g) ; O₂(g) / H₂O(l)
2. Schématiser l'électrolyseur, en précisant le nom de chaque électrode, leur polarité et le déplacement des espèces chargées.
3. En justifiant le choix des couples, vérifier que l'équation globale de cette électrolyse est : Zn²⁺(aq)/ + H₂O(l) = Zn + ½O₂(g) + 2 H⁺(aq)
4. S'agit-il d'une transformation spontanée ou forcée ? Pourquoi ? Quelle vérification théorique proposeriez-vous ?
5. Etablir le tableau d'avancement correspondant à l'électrolyse.

II- Exploitation : l'électrolyse a lieu sous 3,5 V. L'intensité du courant peut atteindre 80 kA. Après 48 H de fonctionnement, le dépôt de zinc est suffisamment épais. Il est alors séparé et fondu en lingots.

1. Quelle est la relation entre l'avancement x et la quantité d'électricité transportée ?
2. Quelle est l'ordre de grandeur de la masse de zinc produite en 2 jours par une cellule ?
3. En fait on obtient une quantité de zinc inférieure à celle attendue. Pourquoi ?
4. Le rendement de la réaction qui produit le dioxygène est de 80% et le volume molaire est 24 L/mol. Donner la relation entre l'avancement x et le volume V de dioxygène récupéré. Quel est l'ordre de grandeur de V ?
   Données : M( Zn) = 65 g/mol ; masse volumique du zinc r= 7 g/cm³. 1 F = 96000 C

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corrigé

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les réactions susceptibles de se produire sur chaque électrodes :

à la cathode négative, réduction : Zn²⁺ (aq) + 2e^- = Zn(s) majoritaire mais aussi 2H⁺ (aq) + 2e^- = H₂(g)

à l'anode positive, oxydation : H₂O (l)= ½O₂ (g)+ 2H⁺ (aq) + 2e^-.

d'où l'équation globale de cette électrolyse : Zn²⁺(aq) + H₂O(l) = Zn + ½O₂(g) + 2 H⁺(aq)

L'électrolyse est une transformation forcée qui nécessite un apport d'énergie électrique.

vérification théorique : comparer le quotient initial et la constante d'équilibre .

	avancement (mol)	Zn2+(aq)	+ H2O(l)	= Zn	+ ½O2(g)	+ 2 H+(aq)
initial	0	n0	solvant en large excès	0	0	en large excès
en cours	x	n0- x		x	½x
fin	xmax	n0- xmax		xmax	½xmax

relation entre l'avancement x et la quantité d'électricité transportée :

Zn²⁺ (aq) + 2e^- = Zn(s) d'où : la quantité de matière d'électrons n( e^-) est égale à 2 fois la quantité de matière de zinc. n( e^-) = 2x

Quantité de matière d'électricité Q= 96000 n(e^-) =96000*2 x = 1,92 10⁵ x

ordre de grandeur de la masse de zinc produite en 2 jours par une cellule :

de plus Q= I t = 8 10⁴ * 2*24*3600 = 1,38 10¹⁰ C

d'où x = 1,38 10¹⁰ / 1,92 10⁵ = 7,2 10⁴ mol

masse de zinc (g)= masse molaire (g/mol) * Qté de matière (mol) = 65* 7,2 10⁴ =4,68 10⁶ g = 4,68 t.

on obtient une quantité de zinc inférieure à celle attendue : les ion H⁺ se réduisent également à la cathode.

relation entre l'avancement x et le volume V de dioxygène récupéré :

quantité de matière de O₂ (mol) = volume (L) / volume molaire (L/mol) = V/24 = ½ x soit V= 12 x

ordre de grandeur de V : 12*7,2 10⁴ = 8,6 10⁵ L = 8,6 10² m³.

en tenant compte du rendement : 8,6 10²*0,8 = 688 m³.