Aurélie 05//06

Haut-parleur : oscillateur mécanique ; d'après concours kiné AP-HP 2006

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

. .

.
.


Haut parleur ( 12 pts)

Aide aux calculs : 6,24 = 2p ; p² = 10 = 3,2² ; 1,9 = 0,11 ; 438*14,7=6440 ; 438/14,7=29,8 ; 14,7/438 = 3,36 10-2.

A- Modélisation de l'ensemble {dôme, ressort}

Un mobile autoporteur de masse m, de centre d'inertie G ( modélisant le dôme) est relié aux extrémités A et A' de deux ressorts identiques ( raideur k, longueur à vide l0). Les ressorts modèlisent le "spider, qui permet de maintenir le dôme au centre. Les extrémités B et B' de ces ressorts sont fixes. L'étude est faîte dans le référentiel terrestre galiléen. Les ressorts travaillent toujours en extension et sont à spires non jointives.

Le système initialement au repos, est écarté de sa position d'équiliobre en déplaçant G le long de l'axe des ressorts. O correspond à la position de G à l'équilibre. Les frottements sont négligeables dans cette première partie.
Etude dynamique :

  1. En effectuant un schéma des forces appliquées au mobile ( un schéma soigné sera fait), établir l'équation différentielle vérifiée par l'élongation x(t).
  2. Mettre l'équation sous la forme x"+w²x=0. Donner l'expression de w.
  3. Montrer que x(t) = Xm cos ( 2pt/T0+F) est solution de l'équation différentielle et en déduire l'expression de T0 en fonction de k et m.

Etude expérimentale :

On pèse le mobile : m= 62,4 g, puis on réalise l'expérience sur une table à numériser. Cette table permet l'enregistrement des positions succssives de G et de connaître les valeurs de l'élongation x(t), dans un repère lié à la table. Un logiciel de traitement des données permet d'afficher diverse représentations graphiques et de réaliser leur modélisation.

  1. On affiche la représentation graphique des couples de points (t,x), la modélisation est une fonction sinusoïdale. Déterminer graphiquement la période T0 et l'amplitude. En déduire une valeur approchée de la constante de raideur k des ressorts.

     

  2. On affiche la représentation graphique des couples de points (x, x"), modélisée par une droite affine. Montrer que cette représentation est en accord avec l'équation différentielle.

    - Que représente le coefficient directeur de la droite. Déterminer sa valeur et donner une valeur approchée de la raideur k.

Etude énergétique :

  1. Etablir l'expression de l'énergie mécanique E du système (ressort, mobile) en fonction de x et x' et des caractéristiques du système. ( on prendra comme état de référence l'état d'équilibre)
  2. Montrer que la conservation de l'énergie permet d'écrire l'équation (x'/w)²+x²=C où C est une constante que l'on exprimera en fonction de E et k
  3. Etablir l'expression de C en fonction de l'amplitude Xm et déterminer sa valeur à partir des résultats expérimentaux.
  4. A partir de l'expression de E, retrouver l'équation différentielle.
  5. Pour traduire la conservation de l'énergie on peut utiliser les représentations graphiques des couples (t,E) ou (x²,(x'/w)²). Trois représentations graphiques sont proposées.

    - Indiquer les deux représentations retenues en justifiant.
    - Donner l'allure des courbes qui donneraient les représentations graphiques des énergies potentielle, cinétique, mécanique en fonction de l'élongation x.

Un dispositif placé sur le mobile permet d'introduire des frottements :

En utilisant deux valeurs consécutives de l'amplitude, donner un ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur en une période.

 

B- Modélisation du haut parleur :

Etude de la force magnétique : la bobine, dont les spires sont représentées en coupe peut se déplacer sur le noyau central de l'aimant : parcourue par un courant électrique, elle est soumise à une force magnétique Fm de direction parallèle à l'axe x'x.

Cette bobine est, en outre accrochée en A à un ressort à spires non jointives de coefficient de raideur k= 438 N/m, dont l'autre extrémité B est fixe. Lorsque la bobine est parcourue par un courant I, le ressort s'allonge et une règle graduée permet de mesurer l'allongement x du ressort Un logiciel d'aquisition donne les résultats suivants :

  1. Etablir, à l'équilibre du ressort, la relation numérique entre la valeur Fm de la force magnétique et l'allongement du ressort.
  2. En utilisant les résultats expérimentaux, établir la relation numérique liant Fm et l'intensité du courant I.

Le haut parleur en fonctionnement : on utilise l'ensemble aimant-bobine pour construire un haut-parleur.

On utilisera les notations suivantes :

x: déplacement du centre d'inertie G par rapport à la position d'équilibre.

M : masse de l'équipage mobile ( M= 6,6 10-3 kg)

Fe : force élastique résultant de l'action des deux ressorts, qui a pour direction l'axe x'x et pour valeur algébrique Fe = -kx avec k= 438 N/m

f : force de frottement fluide exercée par l'air f= fx= -rdx/dt avec r= 0,52 kg s-1.

Fm : force magnétique créee par le courant dans la bobine, lors du fonctionnement du haut parleur.

L'intensité variable du courant est de la forme i(t) = Imax sin ( 2pft)

  1. Comment pouvez vous qualifier le type d'oscillations que subit la membrane du haut-parleur ?
  2. Etablir l'équation différentielle : 6,6 10-3 x" + 0,52 x'+438x= 6,44 Imax sin ( 2pft)
  3. Un système enregistreur permet de visualiser les déplacements du point G pour deux fréquences du courant 41 Hz et 33 Hz. On obtient les courbes suivantes. Commenter.
  4. Pour différentes valeurs de la fréquence, on mesure l'amplitude des oscillations, puis on trace la courbe donnant l'amplitude en fonction de la fréquence du courant.

    - Comment nomme-t-on ce type de courbe ?
    - Comment appelle-t-on la fréquence f0 correspondant au maximum ?
    - Tracer sur le même graphe l'allure des courbes si les frottements sont diminués( C1) , si les frottements sont augmentés ( C2).

corrigé
A position d'équilibre, origine de l'axe :

longueur de R1 : l1+x = l0+L+x ; allongement : L+x

longueur de R2 : l2-x = l0+ L-x ; allongement : L-x

la seconde loi de Newton s'écrit en projection sur l'axe Ax : -T1 + T2 = mx"

-k(L+x) + k(L-x)=mx"

2kx=mx" soit x" + 2k/m x=0 ; on pose w²= 2k/m ; w = 2pf soit f = 1/(2p)[2k/m]½ ; T0= 1/f = 2p[2k/m]-½

solution de l'équation différentielle : x(t) = Xm cos ( 2pt/T0+F) ; x'(t) = -Xm 2p/T0sin ( 2pt/T0+F) ; x"(t) = -Xm(2p/T0)² cos ( 2pt/T0+F)

repport dans l'équation différentielle :

-Xm(2p/T0)² cos ( 2pt/T0+F) +2k/m Xm cos ( 2pt/T0+F) =0

vérifiée quel que soit t si : (2p/T0)² = 2k/m soit T0= 1/f = 2p[m/(2k)]½

Détermination graphique de la période T0 et l'amplitude :

4 périodes correspondent à 0,3 s d'où T0 = 0,075 s. Amplitude : 30 mm = 0,03 m

valeur approchée de la constante de raideur k :

k= ½(2p/T0)² m = 0,5*4 p ² *6,24 10-2 / (7,5 10-2)² = 2 p ²*624/ 7,5² = 222 N/m.

représentation graphique des couples de points (x, x") :

équation différentielle : x" + w² x=0 soit x" = - w² x, droite de coefficient directeur - w².

w² = 200 103 / 29 = 2 105/29 =6896 ; or w² = 2k/m soit k = 0,5 *0,0624*2 105/29 = 6240/29 = 215 N/m.

expression de l'énergie mécanique E :

énergie potentielle élastique : ½(2k)x² ; énergie cinétique : ½mv²=½mx'² ; énergie mécanique : E= ½(2k)x² + ½mx'²

conservation de l'énergie : E= ½(2k)x² + ½mx'² ; x² + m/(2k) x'² =E/k ; (x'/w)²+x²=E/k = C

expression de C en fonction de l'amplitude Xm : si x=Xm l'énergie mécanique est entièrement sous forme d'énergie potentielle élastique

E= ½(2k) Xm² d'où C= Xm² = 9 10-4 m².

A partir de l'expression de E, retrouver l'équation différentielle : E= ½(2k)x² + ½mx'² ;

dériver par rapport au temps : 0 =2k x x' + mx' x" ; 2kx+mx"=0 ; x"+2k/m x=0

représentations graphiques des couples (t,E) ou (x²,(x'/w)²) :

le second graphique correspond à E=f(t) = constante ( droite horizontale).

le premier graphique correspond à (x'/w)² = C-x² ; (x'/w)² =f(x²) fonction affine décroissante.
Allure des courbes qui donneraient les représentations graphiques des énergies potentielle, cinétique, mécanique en fonction de l'élongation x :

Epe(x)= ½(2k) x²
E(x)= ½(2k) x² + ½mv² = k Xm²= constante

d'où Ec(x) = E(x)-Epe(x)=k( Xmax²-x²)

(1) énergie potentielle ; (2) énergie cinétique ; (3) énergie mécanique.

ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur en une période :

en 4 périodes, l'amplitude passe de 3 cm à 0,5 cm

l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude : DE est proportionnelle à (3²-0,5²)= 8,75 soit 8,75/9*100 = 97%

soit 97/4 = 24% à chaque période.

relation numérique entre la valeur Fm de la force magnétique et l'allongement du ressort :

à l'équilibre du ressort, la force magnétique et la tension du ressort se neutralisent : ces deux forces ont même valeur ;

Fm=kx , x étant l'allongement du ressort.

relation numérique liant Fm et l'intensité du courant I :

d'après le graphe 5, l'allongement x et l'intensité I sont proportionnels : x= 14,7 10-3 I ( x en m et I en A)

d'où Fm = 14,710-3 kI = 14,710-3*438 I = 6,44 I.

type d'oscillations que subit la membrane du haut-parleur : oscillations forcées.

équation différentielle :

L'équipage mobile est soumis à : son poids, opposé à l'action du support ( guide) à la position d'équilibre ;

- la force élastique résultant de l'action des deux ressorts, qui a pour direction l'axe x'x et pour valeur algébrique Fe = -438x

- la force de frottement fluide exercée par l'air f= fx= -r dx/dt = - 0,52 x'

- la force magnétique créee par le courant dans la bobine, lors du fonctionnement du haut parleur Fm = 6,44 Imax sin ( 2pft)

Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe horizontal : Mx" = -438x - 0,52 x'+6,44 Imax sin ( 2pft)

d'où : 6,6 10-3 x" + 0,52 x'+438x= 6,44 Imax sin ( 2pft)

commentaires sur les courbes graphe 6 :

f=f0= 41 Hz correspond à la fréquence propre de l'oscillateur ( d'après le graphe 7). L'amplitude est de l'ordre de 20 mm ; lorsque la fréquence de l'excitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur, on observe un phénomène de résonance. Pour les autres fréquences de l'excitateur ( f= 33 Hz par exemple) , on observera une amplitude plus faible.

La fréquence f0 correspondant au maximum est la fréquence propre du résonateur.
l'allure des courbes si les frottements sont diminués( C1) : amplitude plus grande à la résonance.

- si les frottements sont augmentés ( C2) : amplitude plus faible à la résonance, voir plus de résponance du tout.

retour -menu