cycle de Rankine

Aurélie 19/12/05

Cycle de Rankine

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cycle thermodynamique d'une machine à vapeur

Le fonctionnement d'une machine à vapeur peut être modélisé par un cycle de Rankine. Un fluide, l'eau subit des transformations dont certaines consistent à réaliser des échanges thermiques avec deux sources de chaleur, chaque source étant à température constante. Ces échanges peuvent provoquer des transitions de phase liquide <--> vapeur.

- vaporisation A--> B à pression constante P₁= 50 bar du fluide dans le bouilleur.

- détente isentropique B--> C de la vapeur juste saturante dans la turbine calorifugée ( lors de cette étape de l'énergie est fournie sous forme de travail à l'extérieur de la machine à vapeur), jusquà P₂<P₁.

- condensation totale C--> M à pression constante P₂ = 0,1 bar dans le condenseur.

- compression isentropique M--> D du liquide juste saturant au départ, de P₂ à P₁, dans la pompe calorifugée.

- échauffement D-->A à pression constante P₁.

Etude du cycle :

Indiquer quelle information donnée dans la description du cycle permet de conclure que la vaporisation est complète en B.
Le diagramme T-s fourni permet de visualiser l'évolution de l'eau au cours du cycle. On peut voir sur ce diagramme la courbe de saturation ( courbe de rosée et courbe d'ébullition se rejoignent au point critique ), qui délimite la zone "état liquide", la zone " état vapeur" et la zone "coexistence liquide vapeur". On remarquera également la continiuté des courbes isobares et isenthalpes sur tout le domaine représenté, avec parfois une ou deux ruptures de pente.
Indiquer sur le diagramme où sont situées les zones " état liquide", "état vapeur" et "coexistence liquide vapeur".
En observant les courbes isobares du diagramme T-s, expliquer pourquoi on peut admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme, bien que les états D et M soient différents.
Dessiner précisément le cycle de Rankine sur le diagramme fourni.

Par lecture graphique, compléter le tableau suivant :

état	A	B	C	M	D
P (bar)	50	50	0,10	0,10	50
T(K)
h( kJ kg^-1)	1324	3018	2075	235	239
s (J K^-1 mol^-1)					14

On rappelle l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent entre une entrée et une sortie de machine sans variation d'énergie cinétique ni variation d'énergie potentielle : Dh=h_sortie-h_entrée= W+Q
( h, W, Q grandeurs massiques ; W : travail utile fourni par la machine)

Calculer l'énergie thermique ( ou quantité de chaleur) Q_DB reçue par 1,00 kg de vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude.
Calculer le travail reçu W_BC dans la turbine calorifugée. Commenter son signe.
Calculer le travail reçu W_MD à la pompe calorifugée.
Calculer l'énergie thermique Q_f reçue par 1,00 kg d'eau lors du transfert thermique avec la source froide.
Calculer le rendement h de ce cycle moteur.

quelques idées

La pression de vapeur saturante est la pression à laquelle un fluide passe de l'état gazeux à l'état liquide (ou l'inverse) à une température donnée.

information donnée dans la description du cycle permettant de conclure que la vaporisation est complète en B : " détente de la vapeur juste saturante dans la turbine calorifugée"

on peut admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme : un liquide est pratiquement incompressible

état A B C M D

P (bar) 50 50 0,10 0,10 50

T(K) 534 534 320 320 325

h( kJ kg^-1) 1324 3018 2075 235 239

s (J K^-1 mol^-1) 60 120 120 14 14

vaporisation A--> B à pression constante : Dh= 3018-1324 = 1694 kJ kg^-1 Q_AB=Dh= h_B-h_A=3018-1324=1694 kJ kg^-1 ;

or Dh=h_sortie-h_entrée= W+Q d'où : W_AB=0 kJ kg^-1.

détente isentropique B--> C : Dh= 2075-3018 = - 943 kJ kg^-1 ; Ds= 0 d'où Q_BC=0 et W_BC=Dh=- 943 kJ kg^-1 .

condensation totale C--> M à pression constante :

Q_CM= Dh= 235-2075 = -1840 kJ kg^-1 ;

or Dh=h_sortie-h_entrée= W+Q d'où : W= 0 kJ kg^-1.

compression isentropique M--> D du liquide : Dh= 239-235 = 4 kJ kg^-1 ; Ds= 0 d'où Q_MD=0 et W_MD=Dh= 4 kJ kg^-1 .

échauffement D-->A à pression constante : Dh= 1324-239 = 1085 kJ kg^-1 ;W_DA voisin de zéro, fluide quasiment incompressible et P= constante.

or Dh=h_sortie-h_entrée= W+Q d'où : Q_DA=1085 kJ kg^-1 .

énergie thermique Q_DB reçue par 1,00 kg de vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude :

Q_DB = Q_DA +Q_AB = 1085+1694 = 2779 kJ kg^-1.

travail reçu W_BC dans la turbine calorifugée : - 943 kJ kg^-1 .

travail reçu W_MD à la pompe calorifugée : 4 kJ kg^-1

énergie thermique Q_f reçue par 1,00 kg d'eau lors du transfert thermique avec la source froide : -1840 kJ kg^-1

rendement h de ce cycle moteur : travail disponible / énergie reçue de la source chaude

|somme des travaux | :|-943+4|= 939 kJ kg^-1

énergie reçue de la source chaude 2779 kJ kg^-1 ; rendement h = 939/2779*100 = 34%.

Cycle de Rankine

Le fluide utilisé est de l'eau qui décrit le cycle suivant :

A--> B : échauffement isobare de l’eau de 30 °C à 295 °C à P₁ = 80 bars dans le générateur de vapeur.

B--> C : vaporisation à 295 °C dans le générateur de vapeur.

C--> D : détente isentropique de la vapeur saturante en entrée turbine de P₁ = 80 bars à P₂ = 0,042 bar.

D--> E : fin de condensation à P₂ = 0,042 bar.

E--> A : compression isentropique du liquide dans la pompe.

En régime permanent ( pertes de charges, pertes thermiques, variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle de pesanteur négligeables), étudier les transformations suivantes :

Calculer le travail massique de compreesion lors de la compression isentrope du liquide E-->A ainsi que l'élévation de la température de l'eau.Rappel : DT= T_E V/C_PaDP avec : a = 3,5 10^-4 K^-1, coefficient de dilatation isobare de l'eau ; c_P = 4,18 10³kJ kg^-1 K^-1.

Quelle est l'énergie thermique cédée au fluide dans le générateur de vapeur ? c_eau = 4,18 kJ kg^-1 K^-1.

pression (bar	entropie massique kJ kg^-1 K^-1		enthalpie massique kJ kg^-1
pression (bar	liquide saturant	vapeur saturante	liquide saturant	vapeur saturante
80	3,208	5,744	1317,2	2758
0,042	0,437	8,452	125,71	2556

Quel est le travail de détente dans la turbine ?
Quelle est la quantité de chaleur échangée au condenseur ?
Calculer le rendement.

corrigé

travail massique de compreesion lors de la compression isentrope du liquide E-->A :

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or transformation isentrope ( adiabatique réversible) , donc dq =0.

de plus dh = Tds+VdP s'écrit dans ce cas : dh=dW=VdP

l'eau étant peu compressible V est pratiquement constant. Intégrer :

V= 1L= 10^-3 m³ ; W_AE= 10^-3*(80-0,042 )10⁵= 8 kJ kg^-1.

élévation de la température de l'eau :DT= T_E V/C_PaDP avec : a = 3,5 10^-4 K^-1; T_E= 273+30 = 303 K; c_P = 4,18 10³kJ kg^-1 K^-1; V= 10^-3 m³ ; DP = 8 10⁶ Pa.

DT= 303*10^-3 / (4,18 10³) *3,5 10^-4 * 8 10⁶ =0,2 K.

énergie thermique cédée au fluide dans le générateur de vapeur :

Chaleur reçue lors de l’échauffement isobare de l’eau (A-->B) : pression constante 80 bar.

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or il n'y a pas de parties mobiles dans le générateur de vapeur, donc dW =0.

dh= dQ= C_eau dT soir si Ceau ne dépend pas de la température : Q_AB= C_eau (T_B-T_A) = 4,18 (295-30)=1108 kJ kg^-1.

enthalpie de vaporisation de l’eau B-->C : Q_BC= L_vap T_B=h_C-h_B= 2758-1317= 1441 kJ kg^-1.

total : 1108+1441 = 2549 kJ kg^-1.

travail de détente dans la turbine C--> D :

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or transformation isentrope ( adiabatique réversible) , donc dq =0.

Dh= h_D-h_C .

Calcul de h_D : au point D

L’entropie est une grandeur extensive : s_D= x s_vap +(1-x) s_liq avec s_vap entropie massique de la vapeur saturante et s_liq entropie massique du liquide de saturation à la pression de 0,042 bar )

d'où x =( s_D- s_liq ) / ( s_vap -s_liq) = LD/VL

Or la détente CD étant isentrope s_D = s_vap à la pression d’entrée turbine (80 bar)

x = (5,744-0,437) /(8,452-0,437)=0,662.

L'enthalpie est une grandeur extensive :

h_D= x h_vap +(1-x) h_liq = 0,662*2556+(1-0,662)*125,71 =1735 kJ kg^-1.

Dh= h_D-h_C = 1735-2758 = -1024 kJ kg^-1.

Transfert thermique au condenseur D-->E

pression constante 80 bar.

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or il n'y a pas de parties mobiles dans le condensaur, donc dW =0.

dh= dQ; Dh= h_E-h_D =125,7-1735 = -1610 kJ kg^-1.

Calcul du rendement h:

rendement = rapport entre l’énergie utile ( travail) et l’énergie totale reçue par le système

-énergie utile : travail massique récupéré lors de la détente de la vapeur dans la turbine.
- énergie totale reçue : énergie thermique reçue par 1 kg d’ eau au générateur de vapeur + travail massique reçu par l’eau lors de la compression.

h= 1024/ (1108+1610) *100 = 38 %.

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