Aurélie 02/06/06

 

Le piège photo, conservateur et parfum , production d'énergie nucléaire d'après bac S USA 2006

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Le piège photo ( 5 pts) 

Cet exercice étudie le principe de fonctionnement d'un piège photo réalisé par un ornithologue afin d'identifier le prédateur d'une espèce d'oiseau en voie de disparition.

Un œuf de caille posé sur un commutateur à bascule sert d'appât dans un vieux nid. Lorsque le prédateur prélève l'œuf, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Le condensateur initialement chargé se décharge dans un électroaimant que l'on peut modéliser par une bobine d'inductance L et de résistance interne r. L'électroaimant, placé sur un appareil photo déclenche la prise de vue.

Le circuit de charge est constitué d'un condensateur de capacité C, d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un générateur idéal de tension de fem E= 8 V.

I- Armement du dispositif.

Le dispositif s'arme en plaçant le commutateur en position 1 pendant la durée nécessaire à la charge du condensateur. Cette opération réalisé, l'œuf est déposé sur le bras du commutateur à bascule qui est ainsi maintenu en position O.

  1. Indiquer sur le schéma le sens du courant de charge du condensateur. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension uc(t) aux bornes du condensateur lors de la charge.
    Vérifier que cette équation est de la forme uc(t) +tduc(t)/dt= E.
    En déduire l'expression de la constante t en fonction des paramètres du circuit.
  2. Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante t est homogène à un temps.
  3. Déduire de l'équation différentielle la valeur Uc de uc(t) en régime permanent.
  4. Montrer que l'expression uc(t) = A(1-exp(-t/t) est solution de l'équation différentielle à condition que la constante A soit égale à E.
  5. Montrer que pour une durée t=5t on peut considérer que la charge du condensateur est totale.
  6. Un enregistrement de la tension uc(t) a été réalisé. Evaluer la valeur de t sur cet enregistrement en expliquant la méthode utilisée.
    En déduire la durée minimale durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur.

Déclenchement du piège

Lorsque l'œuf est prélevé, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Un enregistrement de la tension uc(t) aux bornes du condensateur est réalisé lors de l'étude de ce dispositif.

  1. On admet que la décharge du condensateur dans la bobine est apériodique. C'est l'énergie transférée qui provoque le déplacement du barreau de l'électroaimant. Le " temps de réaction " du piège peut être caractérisé par la durée notée t½ au bout de laquelle la tension du condensateur est réduite de moitié. Déterminer graphiquement cette durée.
  2. Afin que le barreau de l'électroaimant soit éjecté et percute avec la meilleure efficacité le déclencheur de l'appareil photo, l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus grande possible. En justifiant indiquer, parmi les paramètres ci-dessous, quels sont ceux sur lesquels on peut agir pour atteindre cet objectif : la fem du générateur de tension ; la capacité C du condensateur ; la résistance R.

Détermination de l'inductance L de la bobine constituant l'électroaimant.

On place cette bobine en série avec un condensateur de capacité C'= 10 nF initialement chargé sous une tension de 6V et une résistance R' tel que R'+r= 50 ohms. Le circuit ainsi constitué est représenté ci-dessous :

L'évolution de la tension aux bornes du condensateur a été enregistrée à la fermeture de l'interrupteur.

  1. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution de la tension uc(t) aux bornes du condensateur.
  2. Utiliser l'enregistrement pour déterminer l'inductance L. Justifier.

corrigé
sens réel du courant i lors de la charge :

équation différentielle vérifiée par uc(t) lors de la charge : uc+Ri =E (1) (loi d'additivité des tensions)

de plus i = dq/dt et q=Cuc soit i = Cduc/dt ; repport dans (1) d'où : uc+RCduc/dt = E

On pose t = RC ; par suite : uc+t duc/dt = E

analyse dimensionnelle :

R résistance soit tension / intensité ; C capacité soit charge / tension d'où on déduit : RC charge / intensité

or une charge est une intensité fois un temps ; par suite RC a la dimension d'un temps.

valeur de uc(t) en régime permanent :

en régime permanent uc(t) est constant : donc duc/dt = 0 ; uc+t duc/dt = E s'écrit : Uc=E.

solution de l'équation différentielle : uc(t) = A(1-exp(-t/t)) ;

dériver par raport au temps ; duc/dt = A/t exp(-t/t)

repport dans l'équation différentielle : A(1-exp(-t/t)) + A exp(-t/t) = E

A- A exp(-t/t)+ A exp(-t/t) = E

uc(t) = A(1-exp(-t/t)) est solution de l'équation différentielle si A= E.

tension aux bornes du condensateur à t=5t : uc(5t) = E(1-exp(-5t/t)) =E(1-exp(-5)) = 0,993 E

à 0,7 % près on peut considérer que la charge du condensateur est terminée.

valeur de t :

abscisse de l'intersection de la tangente à t=0 avec l'asymptote horizontale

ou bien abscisse correspondant à uc= 0,63 E= 0,63*8 = 5 V.

La charge du condensateur est pratiquement terminée à t = 5 t soit 1 s.


Durée caractéristique : à t½ uc = ½E = 4 V

L'énergie initialement stockée dans le condensateur doit être la plus grande possible : E =½CE² en fin de charge

Cette énergie sera d'autant plus grande que E sera plus grand et que la capacité C sera plus grande.


Nom du régime correspondant au graphe ci-dessus : régime pseudo-périodique.

Inductance de la bobine : pseudo-période T= 2,0 10-5 s (lecture graphe)

de plus T= 2p(LC)½ ; T² = 4p² LC soit L= T²/(4p² C) avec C= 10-8F.

L= 4 10-10/(4*3,14² 10-8)= 1,0 10-3 H.







conservateur et parfum (7 pts)

Propriétés de l'acide benzoïque

Les conservateurs sont des substances qui prolongent la durée de conservation des denrées alimentaires en les protégeant des altérations des micro-organismes. L'acide benzoïque C6H5-COOH ( code E210) et le benzoate de sodium C6H5-COONa ( code E211) sont utilisés dans l'industrie comme conservateurs alimentaires pour leurs propriétés fongicides et antibactériennes.

Acide benzoïque : solide blanc, masse molaire M= 122 g/mol, solubilité dans l'eau ( masse maximale que l'on peut dissoudre dans 1 L d'eau) : 2,4 g/L à 25°C.

Couple acide base C6H5-COOH / C6H5-COO- pKa1 = 4,2

Réaction de l'acide benzoïque avec l'eau :

On introduit une masse m0 d'acide benzoïque dans un volume V0= 100 mL d'eau distillée. Après dissolution totale, on obtient une solution aqueuse d'acide benzoïque notée S0 de concentration C0 = 1,0 10-2 mol/L. Le pH-mètre indique 3,1 pour le pH de la solution S0.

  1. Quelle masse m0 faut-il peser pour préparer la solution S0 ? La solution est-elle saturée ?
  2. Ecrire l'équation de la réaction de l'acide benzoïque avec l'eau.
  3. Tracer le diagramme de prédominance du couple acide benzoïque / ion benzoate. En déduire l'espèce prédominante sans la solution S0.
  4. Etablir un tableau d'avancement correspondant à cette transformation chimique, en fonction de C0, V0 et xéq, avancement à l'état d'équilibre.
  5. Déterminer l'avancement maximal.
    -Montrer que le taux d'avancement final t s'écrit t =[H3O+] / C0 puis le calculer. Ce résultat est-il en accord avec la question précédente ?
  6. Donner l'expression du quotient de réaction à l'état d'équilibre Qr éq.
  7. Retrouver la valeur donnée du pKa du couple acide benzoïque / ion benzoate.

Réaction de l'acide benzoïque avec la soude.

On ajoute à la solution S0 quelques gouttes de soude ( hydroxyde de sodium). Le pH-mètre indique alors 6,2.

  1. Indiquer sans calcul, quelle est l'espèce du couple acide benzoïque/ ion benzoate qui prédomine alors dans la solution obtenue.
  2. Ecrire l'équation de la réaction qui se produit entre l'acide benzoïque et les ions hydroxyde HO-. Exprimer la constante d'équilibre K puis la calculer.

 

Synthèse du benzoate de méthyle.

On le prépare à partir de la réaction entre l'acide benzoïque et le méthanol de formule CH3OH.

On mélange une masse m1 = 12,2 g d'acide benzoïque avec un volume V2 = 30 mL de méthanol, quelques gouttes d'une solution concentrée d'acide sulfurique et quelques grains de pierre ponce.

On chauffe à reflux pendant 60 minutes. Après refroidissement, on verse le contenu du ballon dans une ampoule à décanter contenant de l'eau glacée. On obtient deux phases bien distinctes. Après traitement de la phase contenant l'ester , on isole une masse égale à 9,52 g de benzoate de méthyle.
composés
formule
masse molaire g/mol
masse volumique g/mL
solubilité dans l'eau
acide benzoïque
C6H5-COOH
122
1,3
faible
méthanol
CH3OH
32
0,80
forte
benzoate de méthyle


136
1,1
nulle

  1. Déterminer les quantités de matière n1 d'acide benzoïque et n2 de méthanol introduits.
  2. Identifier les facteurs cinétiques sur lesquels on joue pour réaliser le plus rapidement possible cette synthèse.
  3. Quelle est l'utilité du chauffage à reflux ?
  4. Ecrire l'équation de la réaction de synthèse du benzoate de méthyle.
  5. Quel est le réactif limitant ? En déduire la quantité de matière théorique d'ester que l'on pourrait obtenir si la transformation était totale.
  6. Définir et calculer le rendement expérimental de cette synthèse.

 


corrigé
masse m0 à peser pour préparer S0 :

quantité de matière (mol) = concentration (mol/L) * volume de la solution (L) = C0V0 = 0,01*0,1 = 1,0 10-3 mol

masse (g) = quantité de matière (mol) * masse molaire (g/mol) = 10-3*122 = 0,12 g.

0,12 g dans 0,1 L soit 1,2 g/L, valeur inférieure à la solubilité dans l'eau à 25°C : la solution n'est pas saturée.

Equation de la réaction de l'acide benzoïque avec l'eau :

C6H5COOH + H2O = C6H5COO- + H3O+.

à pH inférieur à pKa la forme acide AH prédomine; à pH supérieur à pKa la forme base conjuguée A- prédomine;

à pH=pKa les forme acide et base conjuguée sont en quantités égales.

Dans S0 ( pH=3,1, inférieur au pKa) la forme acide C6H5COOH du couple acide base prédomine.

Tableau d'avancement :


avancement (mol)
C6H5COOH
+ H2O
= C6H5COO-
+ H3O+
départ
0
C0V0
solvant

en grand excès

0
0
en cours
x
C0V0-x
x
x
à l'équilibre
xéq
C0V0-xéq
xéq
xéq
avancement maximal : xmax =
C0V0 = 1,0 10-3 mol

taux d'avancement final t = xéq / xmax avec xéq = [H3O+]V0 ; t =[H3O+] / C0 = 10-3,1 / 10-2 = 10-1,1 = 7,9 10-2.

La réaction de l'acide benzoïque avec l'eau est limitée ; la forme acide prédomine ( en accord avec la question précédente)

Expreesion du quotient de réaction à l'état d'équilibre :

Qr éq = Ka = [C6H5COO-]éq[ H3O+ ] éq / [C6H5COOH]éq

La solution est électriquement neutre ( HO- minoritaire à pH = 3,1) : [C6H5COO-]éq=[ H3O+ ] éq

conservation de l'élément carbone : [C6H5COOH]éq +[C6H5COO-]éq= C0. [C6H5COOH]éq = C0-[C6H5COO-]éq.

Qr éq =[ H3O+ éq / (C0-[ H3O+ ] éq ) = 10-6,2 / (0,01-10-3,1) =6,8 10-5.

pKa du couple ( acide benzoïque/ ion benzoate) :

Qr éq = Ka ; pKa = -log Ka = - log6,8 10-5 = 4,2.


Espèce du couple ( acide benzoïque/ ion benzoate) prédominant après ajout de soude :

pH=6,2 , valeur bien supérieure à pKa ( 4,2) : l'ion benzoate C6H5COO- prédomine.

Equation de la réaction entre l'acide benzoïque et la soude :

C6H5COOH + HO- =C6H5COO- + H2O

constante d'équilibre K= [C6H5COO-]/([C6H5COOH][HO-]) (1)

or Ka = [C6H5COO-][ H3O+ ] / [C6H5COOH] soit[C6H5COO-] / [C6H5COOH] = Ka / [ H3O+ ]

repport dans (1) : K =Ka / ([ H3O+ ] [HO-]) =Ka /Ke = 10-4,2 / 10-14 = 109,8 =6,3 109.


Quantité de matière (mol) :

n1 =m1/M( acide benzoïque) = 12,2 / 122 = 0,10 mol

masse méthanol (g = volume (mL) * masse volumique (g/mL) = 30 *0,8 = 24 g ; pui diviser par la masse molaire du méthanol : n2 = 24/32 = 0,75 mol.

facteurs cinétiques :

concentration d'un réactif : le méthanol est en large excès ;

température : chauffage à reflux à température modérée ;

catalyseur : rôle joué par l'acide sulfurique.

utilité du chauffage à reflux : accélère la réaction en permettant de travailler à température modérée ; évite les pertes de matière : les vapeurs se condensent dans le réfrigérant et retombent dans le ballon.

Equation de la réaction de synthèse du benzoate de méthyle :

C6H5COOH + CH3OH =C6H5COO-CH3 + H2O.

à partir de 0,1 mol d'acide on peut consommer au plus 0,1 mol de méthanol ; or on dispose de 0,75 mol de méthanol : ce dernier est en excès et l'acide benzoïque constitue le réactif limitant.

En conséquence on obtiendra au plus 0,1 mol de benzoate de méthyle.

rendement : Qté réellement obtenue / Qté théorique

Qté réelle (mol) = masse (g) / masse molaire ester (g/mol ) = 9,52 / 136=7,0 10-2 mol.

rendement : 0,07/0,1 = 0,70 (70%)



Production d'énergie nucléaire (4pts)

Fission nucléaire :

Une centrale nucléaire est une usine de production d'électricité. Actuellement ces centrales utilisent la chaleur produite par des réactions de fission de l'uranium 235 qui constitue le " combustible nucléaire ". Cette chaleur transforme de l'eau en vapeur. La pression de la vapeur permet de faire tourner à grande vitesse une turbine qui entraîne un alternateur produisant de l'électricité.

Certains produits de fission sont des noyaux radioactifs de forte activité et dont la demi-vie peut être très longue.

  1. Définir le terme demi-vie.
  2. Définir l'activité d'une source radioactive. Préciser son unité dans le système SI
  3. Le bombardement d'un noyau d'uranium 235 par un neutron peut produire un noyau de strontium et un noyau de xénon selon l'équation suivante :
    23592U + 01n--->94ZSr+ A54Xe + 3 01n
    Déterminer A et Z.
    Calculer en MeV l'énergie libérée par cette réaction de fission.
    Quelle est l'énergie libérée par nucléon de matière participant à la réaction ?

particule ou noyau
neutron
proton
deutérium
tritium
hélium 3
hélium4
uranium 235
xénon
strontium
symbole
01n
11n
21H
31H
32He
42He
23592U
A54Xe
94ZSr
masse en u
1,00866
1,00728
2,01355
3,01550
3,01493
4,00150
234,9942
138,8892
93,8945
1 u = 1,66054 10-27 kg ; énergie de masse de l'unité de masse atomique E= 931,5 MeV , 1 eV= 1,60 10-19 J ; c= 3,00 108 m/s.

Fusion nucléaire :

Le projet ITER s'installera prochainement sur le site de Cadarache en France. L'objectif de ce projet est de démontrer la possibilité scientifique et technologique de la production d'énergie par fusion des atomes. La fusion est la source d'énergie du soleil et des autres étoiles.

Pour obtenir une réaction de fusion il faut rapprocher suffisamment deux noyaux qui se repoussent, puisqu'ils sont tous deux chargés positivement. Une certaine énergie est donc indispensable pour franchir cette barrière et d'arriver dans la zone très proche du noyau, où se manifestent les forces nucléaires capables de l'emporter sur la répulsion électrostatique.

La réaction de fusion la plus accessible est la réaction impliquant le deutérium et le tritium. La demi-vie du tritium consommé au cours de cette réaction n'est que de 15 ans.

De plus il y a peu de déchets radioactifs générés par la fusion et l'essentiel est retenu dans les structures de l'installation ; 90% d'entre eux sont de faible ou moyenne activité.

  1. Le deutérium 12H et le tritium 13H sont deux isotopes de l'hydrogène.
    Définir le terme de noyaux isotopes.
    Donner la composition de ces deux noyaux.
  2. Qu'appelle-t-on réaction de fusion ?
  3. Sur la courbe d'Aston indiquer dans quel domaine se trouvent les noyaux susceptibles de donner une réaction de fusion.
  4. Ecrire l'équation de la réaction nucléaire entre un noyau de Deutérium et un noyau de Tritium sachant que cette réaction libère un neutron et un noyau noté AZX. Préciser la nature de ce noyau.
  5. Montrer que l'énergie libérée au cours de cette réaction est de 17,6 MeV. Quelle est l'énergie libérée par nucléon de matière participant à la réaction ?
  6. Conclure sur l'intérêt du projet ITER en indiquant les avantages que présenterait l'utilisation de la fusion par rapport à la fission pour la production d'électricité dans les centrales nucléaires. 

 


corrigé
demi-vie : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.

activité : nombre moyen de désintégrations par seconde ( unité : bequerel (Bq))

valeurs de A et Z : 23592U + 01n--->94ZSr+ A54Xe + 3 01n

conservation de la charge : 92 = Z+54 d'où Z= 92-54 = 38

conservation du nombre de nucléons : 235+1=94+A+3 soit A = 139.

énergie libérée par cette réaction de fission :

Dm = 2 m( 01n) + m(A54Xe)+m(94ZSr)- m(23592U) = 2*1,00866+138,8892+93,8945-234,9942 =-0,19318 u

soit 0,19318 * 931,5 = 180 MeV

énergie libérée par nucléon de matière : 180/236 = 0,762 MeV/nucléon.


isotopes : deux noyaux qui ne diffèrent que par leur nombre de neutrons ; ils ont le même nombre de charge Z

le noyau de deutérium D contient 1 proton et 1 neutron : 21H ; le noyau de tritium T contient 1 proton et 2 neutrons : 31H. D et T sont des isotopes de l'élément chimique hydrogène.

réaction de fusion :

réaction au cours de laquelle deux noyaux légers s'unissent pour former un noyau plus lourd. La réaction se fait avec perte de masse et dégagement d'énergie.

courbe d'Aston :  

Le noyau de fer est le plus stable ; les gros noyaux ( uranium 235) situés sur la partie droite sont instables et conduisent par des réactions de fission à d'autres noyaux plus stables ; les petits noyaux instables ( deutérium, tritium), situés sur la partie gauche, conduisent par des réactions de fusion à des noyaux plus gros et plus stables.

 Equation de la réaction nucléaire entre un noyau de Deutérium et un noyaude Tritium au cours de laquelle se forme un noyau d'hélium 42He :

31H +21H --> 42He + 10n

énergie DE qui peut être libérée par cette réaction :

|Dm |= | m(42He)+m(10n)- m(31H) - m(21H)|=|4,0015+1,00866-2,01355-3,0155|= 1,89 10-2 u

puis 1,89 10-2*931,5= 17,6 MeV.

énergie libérée par nucléon : 17,6 / 5 = 3,52 MeV/nucléon.

avantages de la fusion par rapport à la fission :

l'énergie libérée par nucléon est plus importante ; Deutérium abondant et bon marché ; Tritium assez facile à produire ;

déchets radioactifs moins importants et absence de nucléides conduisant à la prolifération des armes nucléaires.





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