Aurélie 28/09/06

Vidange d'une piscine, oscillations mécaniques d'après bac Stl 2006

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 Vidange d'une piscine : ( 5 points)

Données : masse volumique de l'eau m= 1,0 103 kg m-3 ; pression atmosphérique P0 = 1,0 105 Pa.

Considérons une piscine cylindrique d'un mètre de hauteur et de 2 m de diamètre. Cette piscine est posée sur un petit talus de 50 cm de haut. Afin de la vider on utilise un tuyau d'arrosage ouvert aux deux extrémités, de 2,0 cm de diamètre. On suppose l'écoulement permanent, unidimensionnel et le fluide parfait.

  1. On suppose qu'au début de la vidange, la piscine est remplie entièrement, h1 = 1,0 m. Soit A un point de la surface libre de l'eau. On néglige la vitesse d'écoulement du point A par rapport à celle du point B.
    - Appliquer le théorème de Bernoulli entre A et B. Montrer que la vitesse d'écoulement en B est : vB= [2g(zB-zA)]½. Calculer vB ( g = 10 m/s².
    - A partir de la formule précédente, expliquer pourquoi le point B doit être plus bas que l'altitude du fond de la piscine pour que celle-ci se vide entièrement.
  2. Supposons que vB= 5,5 m/s, calculer le débit volumique Q de l'écoulement de l'eau à la sortie du tuyau pour cette vitesse.
    - Au cours de la vidange comment évolue le débit volumique ? Justifier.
  3. Montrer que la vitesse d'écoulement en C est la même qu'en B.
    - En appliquant le théorème de Bernoulli entre B et C, établir l'expression de la pression au point C.
    - A quelle hauteur maximale doit être situé le coude du tuyau d'arrosage ( point C) afin que l'écoulement ne soit pas interrompu trop tôt ( il faut que la pression au point C soit supérieure à 0 ). Commenter.

corrigé
Application du théorème de Bernoulli entre A et B :

PA + rgzA + ½rv²A = PB + rgzB + ½rv²B.

d'une part PA= PB = pression atmosphérique

d'autre part la vitesse en A est négligeable de vant la vitesse en B

d'où : rgzA = rgzB + ½rv²B ; g(zA-zB)=½v²B ;

v²B= 2g(zA-zB) ; vB= [2g(zB-zA)]½ = [20*1,5]½ = 5,5 m/s.

Le point B doit être plus bas que l'altitude du fond de la piscine pour que celle-ci se vide entièrement. :

Dans l'hypothèse où B est à la même altitude que le fond de la piscine : en fin de vidange zA-zB est proche de zéro et en conséquence vB fin est quasiment nulle ; il restera donc un peu d'eau au fond de la piscine.

Débit volumique Q de l'écoulement de l'eau à la sortie du tuyau pour cette vitesse :

Q ( m3/s) = section du tuyau (m2) * vitesse (m/s)

section : S= pr² = 3,14 10-4 m²

Q= 3,14 10-4 * 5,5 = 1,7 10-3 m3/s.

Au cours de la vidange le débit volumique diminue car la vitesse vB diminue.

Le débit volumique en C est égal au débit volumique en B : de plus les sections du tuyau en B et en C sont identiques : donc les vitesses d'écoulement en B et en C sont identiques.
Expression de la pression au point C :

Application du théorème de Bernoulli entre B et C :

PC + rgzC + ½rv²C = PB + rgzB + ½rv²B.

Or vB=vC d'où : PC + rgzC = PB + rgzB ; PC = PB + rg( zB-zC).


Hauteur maximale du coude du tuyau d'arrosage ( point C) afin que l'écoulement ne soit pas interrompu trop tôt :

il faut que la pression au point C soit supérieure à 0 : PB + rg( zB-zC) =0

zC-zB = PB /( rg ) =105 / (10 * 103 )= 10 m.

En plaçant le point C suffisamment haut, le tuyau constitue un bon siphon ; dès qu'il est amorcé, on est sûr de vider la piscine.

Manège d'une fête foraine :(2 points)

 Un manège est un solide en rotation autour d'un axe vertical D. Son moment d'inertie vaut I=2,0 104 kg m². Le manège tournant à la vitesse de 10 tours / minute, l'exploitant le freine et le manège s'arrête après avoir effectué 2 tours.

  1.  Calculer la vitesse de rotation w en rad/s du manège avant freinage.
  2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation, calculer le moment supposé constant, des forces de freinage qui ont provoquer l'arrêt du manège.
corrigé
vitesse de rotation w en rad/s du manège avant freinage :

fréquence : f= 10 / 60 = 1/6 tour/seconde

w = 2pf = 2*3,14/6 = 1,0 rad/s. ( 1,047 rad/s)

moment supposé constant, des forces de freinage :

½Iw²fin - ½Iw²début = Mq avec q = 2*2p radians ( arrêt en deux tours)

- ½Iw²début = M 4p ; M= - ½Iw²début / (4p)

M= -0,5 *2 104*1,0472 / (4*3,14) = -8,7 102 Nm.

Oscillations sur un banc à coussin d'air : (5 points)

 Sur un banc à coussin d'air, un objet S, de masse m=20 g est relié à un ressort horizontal de raideur k = 0,33 N/m et de masse négligeable. A vide le ressort a une longueur l0= 10 cm. On néglige les frottements. On repère la position de S par l'abscisse x. L'origine correspond à la longueur à vide du ressort.

  1.  S est placé à x0 = + 4,0 cm. A t=0 on lâche le ressort sans vitesse initiale.
    - Appliquer le théorème du centre d'inertie à l'objet S et projeter sur l'axe des x la relation vectorielle obtenue afin d'établir l'équation différentielle du mouvement.
    - En utilisant les conditions initiales, montrer que l'équation horaire s'écrit sous la forme x(t) = x0 cos ([k/m]½t)
    - Déterminer et calculer la période T des oscillations.
  2. Dans les conditions de l'expérience, on considère que l'énergie mécanique se conserve. Em=Ep+Ec = constante.
    - Donner l'expression de l'énergie potentielle Ep du système en fonction de k et x. Pour quelle(s) position(s) cette énergie est-elle minimale ? Pour quelle position est-elle nulle ?
    - Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec de S en fonction de m et v. Pour quelle position cette énergie est-elle maximale ? Pour quelle(s) position(s) est-elle nulle ?
corrigé
avec w0² = k/m

Les conditions initiales sont : x0 = + 4,0 cm. A t=0 on lâche le ressort sans vitesse initiale.

Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme x(t) = A cos ([k/m]½t + B)

x(0 ) =x0 = Acos B d'où cos B=1 soit B=0 et A = x0 ; x(t) = x0 cos ([k/m]½t)
Période T des oscillations :

w0² = k/m = 0,33 / 0,02 = 16,5 ; w0 = 4,06 rad/s

T= 2p/ w0 =6,28 / 4,06 = 1,5 s.

Dans les conditions de l'expérience, on considère que l'énergie mécanique se conserve. Em=Ep+Ec = constante.
Expression de l'énergie potentielle Ep du système en fonction de k et x : Ep = ½kx²

Cette énergie est-elle minimale ( Ep =0) pour x=0, ressort non déformé.

Expression de l'énergie cinétique Ec de S en fonction de m et v : Ec = ½mv² = Em-Ep = Em-½kx².

L'énergie cinétique est maximale au passage à la position d'équilibre x=0 ;

L'énergie cinétique est nulle lorsque x= +x0 et lorsque x= -x0, l'énergie mécanique est alors sous forme potentielle.

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