On désire vérifier la résistance r d'une bobine réelle d'inductance L= 250 mH modélisée par :

A- En régime permanent :

On réalise un circuit comportant un générateur de tension continue de fem E= 6,0 V, de résistance interne négligeable, un ampèremètre numérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et la bobine étudiée.

1. Compléter le schéma ci-dessous en indiquant la position de l'ampèremètre, du voltmètre. Faire figurer la tension u_G=E aux bornes du générateur, u_B, tension aux bornes de la bobine. La tension aux bornes de l'ampèremètre est négligeable.
2. Les mesures des appareils donnent u_B=5,95 V et I= 410 mA. En déduire la résistance r de la bobine en justifiant la démarche.

B- En régime transitoire :

On ajoute en série au montage précédent une résistance R'= 10,0 W. Il remplace les appareils de mesures par un système d'acquisition informatisé qui lui donne les variations de i(t) obtenues à la fermeture de l'interrupteur. La tension du générateur reste égale à 6 V.

1. Quel est le phénomène observé dans le circuit ?
2. Sur le schéma ci-dessous indiquer comment brancher le système d'acquisition ( voie d'entrée et voie de référence) afin d'obtenir une tension proportionnelle à l'intensité. Justifier.
3. Déterminer la valeur de la constante de temps t à partir du graphe ci-dessous. Détailler clairement la méthode utilisée.
4. La valeur de t est égal à L/R où R représente la résistance totale du circuit. Donner l'expression de t en fonction des paramètres du circuit et vérifier par analyse dimensionnelle que t est homogène à un temps.
   - La bobine ayant une inductance L= 250 mH déterminer sa résistance.
5. On considère que l'intensité i(t) atteint une valeur limite I_oo=240 mA au bout d'une durée 5 fois supérieure à t. Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ? Exprimer la résistance r de la bobine en fonction de E, R' et I_oo. Calculer r.
6. Les trois valeurs obtenues pour r sont-telles cohérentes entre elles ?

C- En régime transitoire :

Cette bobine est branchée aux bornes d'un condensateur C= 4 mF préalablement chargé :

1. Rappeler l'expression littérale de la période propre T₀ d'un oscillateur LC. Calculer T₀ .
2. On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l'écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T. Interpréter l'ammortissement des oscillations.
   - On constate avec une base de temps de 2 ms/div, que deux pseudo-périodes occupent entre 6,2 et 6,4 divisions. Donner un encadrement de la pseudopériode T ainsi mesurée.
   - Comparer ce résultat à T₀.

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corrigé

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En régime permanent l'intensité I₀ est constante et dI₀/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est u_L=rI₀

u_L=rI₀   ; r = u_L /I₀ = 5,95 / 0,410 = 14,5 W.

Phénomène observé dans le circuit en régime transitoire :

à la fermeture de l'interrupteur, on observe un retard à l'établissement du courant ; pendant ce temps la bobine inductive stocke de l'énergie.

Schéma du circuit permettant de visualiser une tension proportionnelle à l'intensité du courant :

La tension aux bornes d'un résistor noté R' et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles.

valeur de la constante de temps t = 10 ms = 10^-2 s.

expression littérale de t = L/(R'+r)= L/R avec R= R'+r.

dimension de t :

E=½Li² soit L=2E/i² : énergie / intensité au carré

Energie dissipée dans un résistor : E= Ri²t soit R = E/(i²t) : énergie / ( intensité² * temps)

d'où L/((R₀+r) a la dimension d'un temps

valeur de r si L= 0,250 H ; t = 0,0100 s et R' = 10,0 W :

r +R' = L/t = 0,25/0,01 = 250 soit r = 15,0 W.

régime de fonctionnement de la bobine à t >5t : régime permanent

En régime permanent l'intensité I_oo est constante et dI_oo/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est u_L=rI_oo

u_L=rI_oo   ; u_AB= R'I_oo ; additivité des tensions E=u_L+u_AB=rI_oo +R'I_oo ; r +R'= E /I_oo = 6 / 0,24 = 25,0 W ; r= 15,0 W.

les trois valeurs obtenues pour r sont cohérentes ( écart relatif 0,5*100/15 = 3,3 %)

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période propre de l'oscillateur LC : T₀ = 2p(LC)^½.

valeur de T₀ si L= 0,250H et C= 4 10^-6 F

T₀ = 6,28(0,25*4 10^-6)^½=6,28*10^-3s. ( 6 ms, le calcul donne un résultat peu précis, la capacité étant exprimée avec un seul chiffre significatif )

Amortissement des oscillations :

lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est dissipée par effet joule dans les conducteurs ohmiques.

Encadrement de la pseudo-période T mesurée si 2 T appartient à l'intervalle [6,2 ; 6,4ms]

T est comprise entre 6,1 et 6,2 ms, valeur cohérente avec la valeur de la période propre T₀ ( écart relatif 0,15 *100/ 6,15 = 2,5%).

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Partie A :

Un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d'onde l produit par une source laser arrive sur un fil vertical de diamètre a ( a est de l'ordre du dixième de mm). On place un écran à la distance D de ce fil ; D est très grande devant a. La figure ci-dessous est en vue de dessus.

1. Quel enseignement sur la nature de la lumière ce phénomène apporte-t-il ? Nommer ce phénomène.
2. Faire apparaître sur la figure ci-dessus l'écart angulaire ou demi angle de diffraction q et la distance D entre le fil diffractant et l'écran.
3. Exprimer cet écart angulaire en fonction des grandeurs L et D sachant que pour les petits angles exprimés en radians tan q =q.
4. Quelle expression mathématique lie les grandeurs q, l et a ? Préciser les unités de ces grandeurs physiques.
5. En utilisant les résultats précédents montrer que la largeur L de la tache centrale de diffraction s'exprime par : L=2lD/a.
6. On dispose de deux fils calibrés de diamètres respectifs a₁ = 60 mm et a₂ = 80 mm. On place successivement ces deux fils dans le dispositif et on obtient sur l'écran deux figures de diffraction notées A et B. Associer en le justifiant, à chacun des deux fils la figure de diffraction qui lui correspond.

   On cherche à déterminer expérimentalement la longueur d'onde dans le vide l de la lumière monochromatique émise par la source laser utilisée. Pour cela on place devant le faisceau laser des fils calibrés verticaux. On désigne par "a" le calibre d'un fil. D= 2,5 m. Pour chaque fil on mesure la largeur L de la tache centrale de diffraction. On trace la courbe L=f(1/a).

   
7. La lumière émise par la source laser est dite monochromatique. Quelle est la signification de ce terme ?
8. Montrer que l'allure de la courbe L=f(1/a) obtenue est en accord avec l'expression de L donnée en 5.
9. Donner l'équation de la courbe L=f(1/a) et en déduire la longueur d'onde l.
10. Calculer la fréquence de la lumière monochromatique émise par la source laser.
11. On éclaire avec cette source laser un verre flint d'indice n(l) = 1,64. A la traversée de ce milieu transparent dispersif, les valeurs de la fréquence, de la longueur d'onde et de la couleur associées à cette radiation varient-elle ?
    c= 3,00 10⁸ m/s.

Partie B :

On étudie la cinétique de la réaction en solution aqueuse, entre les ions permanganate MnO₄^- et l'acide éthanedioïque H₂C₂O₄. L'équation de la réaction, considérée comme totale, modélisant la transformation chimique étudiée s'écrit :

2MnO₄^- + 5H₂C₂O₄ +6H₃O⁺ = 2Mn²⁺ + 10 CO₂ +14 H₂O.

On suit l'évolution du système chimique par spectrophotométrie. En solution aqueuse les ions permanganate absorbent une partie des radiations du spectre visible contrairement à toutes les autres espèces du milieu réactionnel qui n'interagissent pas avec la lumière visible. Le spectrophotomètre est réglé sur la longueur d'onde l dans l'air de l'une des radiations absorbées par les ions permanganate. Il permet de mesurer l'absorbance A _l de la solution. L'absorbance est proportionnelle à la concentration effective des ions permanganate soit A_l(t) = k[MnO₄^-](t).

1. Le spectre d'absorbtion A=f(l) d'une solution aqueuse d'ion permanganate de potassium de concentration molaire c= 5,0 10^-4 mol/L en ions présents en solution est donné ci-dessous :

   - Dans quel intervalle de longueur d'onde l'absorbance est-elle significative ? Quelle est la couleur de la solution ?
   - Un laser de longueur d'onde 540 nm serait-il adapté pour l'étude spectrophotométrique de la transformation ?

2. On introduit dans la cuve du spectrophotomètre un volume V₁ = 1,0 mL d'une solution aqueuse acidifiée de permanganate de potassium de concentration effective en ion permanganate égale à 5,0 10^-4 mol/L. A la date t=0 on ajoute un volume V₂ = 1,0 mL une solution d'acide oxalique de concentration 12,5 10^-4 mol/L. Le spectrophotomètre mesure l'absorbance en fonction du temps.

   - Justifier l'évolution de l'absorbance au cours du temps.
   - Déterminer les quantités de matière initiales des ions permanganate et d'acide oxalique.
   - A l'aide d'un tableau d'avancement déterminer l'avancement maximal en supposant les ions oxonium en excès.
   - Comment peut-on évaluer la vitesse volumique à la date t ?
   - Comment évolue la vitesse volumique de cette réaction ?
   - Définir le temps de demi-réaction t½. Le déterminer graphiquement.

s

1. La formule semi-développée de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est donnée ci-dessous. Faire apparaître le groupe caractéristique de cette molécule et indiquer à quelle famille de composés elle appartient.
2. Ecrire l'équation associée à la réaction modélisant la transformation d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle.
3. Préciser le nom de chacune des espèces chimiques obtenues lors de cette hydrolyse. Donner la formule semi-développées de chacune de ces molécules, fair apparaître le groupe caractéristique de celle-ci et indiquer à quelle famille de composés elle appartient.
   On répartit le milieu réactionnel dans 10 béchers. A la date t=0, tous les bechers contiennent le même volume V= 5,0 mL de cette solution et sont placés dans un bain thermostaté. A une date t on prélève l'un des béchers que l'on place dans un bain d'eau glacée. On dose l'acide formé lors de cette hydrolyse par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration molaire c_b. On note V_{b éq} le volume de solution titrante versé au changement de couleur de l'indicateur coloré acido-basique. ( On dose à froid pour éviter la réaction de saponification de l'ester). On obtient les résultats suivants :

   t(min)	0	10	20	30	40	50	60	90	120
   Vb éq mL	0	3,8	6,8	9,0	10,8	12,2	13,6	15,6	16,8

   - Ecrire l'équation de la réaction associée à la réaction acido-basique de titrage.
   - Exprimer et calculer la constante d'équilibre K de cette réaction. La transformation est-elle totale ?
   - Définir l'équivalence d'une réaction de titrage.
   - A l'équivalence exprimer la quantité de matière n_A d'acide présent à la date t dans le becher en fonction de c_b et v_{b éq}.
   - En déduire la quantité de matière n d'acide qui se serait formé dans le milieu réactionnel initial à la même date en fonction de c_b et v_{b éq}.
4. Réaction d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle
   - Rappeler les caractéristiques d'une telle réaction d'hydrolyse.
   - Calculer les quantités de matière initiales respectivement notées n _{0 ester} et n _{0 eau} en réactifs mis en présence.
   - Etablir un tableau d'avancement relatif à la réaction d'hydrolyse.
5. Equilibre et réaction d'estérification hydrolyse. On considère que la réaction est terminée à t = 120 min.

   - A la date t = 120 min, calculer le taux d'avancement final t₁ de cette réaction d'hydrolyse à l'aide de la courbe ci-dessus.
   - Comment peut-on augmenter le taux d'avancement final de la réaction d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle.
   Données : M(éthanoate de 3-méthylbutyle) = 130 g/mol ; M(eau) = 18 g/mol ; r(éthanoate de 3-méthylbutyle) = 0,87 g/mL ;
   couple ( CH₃COOH / CH₃COO^-) : Ka = 1,8 10^-5.

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corrigé

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équation de la réaction associée à l'hydrolyse de l'ester :

CH₃-COO-CH₂-CH₂-CH(CH₃)₂ + H₂O = CH₃-COOH + (CH₃)₂CH-CH₂-CH₂OH

CH₃-COOH : acide éthanoïque ( groupe acide carboxilique -COOH)

(CH₃)₂CH-CH₂-CH₂OH : 3-méthylbutan-1-ol ( alcool primaire groupe -CH₂OH)

équation associée à la réaction acido-basique de titrage :

CH₃-COOH + HO^- = CH₃-COO^- + H₂O

Expression de la constante d'équilibre : K= [ CH₃-COO^-]_éq / [HO^- ]_éq[CH₃-COOH]_éq ;

Or CH₃-COOH + H₂O = CH₃-COO^- + H₃O⁺ K_a = [ CH₃-COO^-]_éq [H₃O⁺ ]_éq / [CH₃-COOH]_éq

soit [ CH₃-COO^-]_éq/ [CH₃-COOH]_éq = K_a /[H₃O⁺ ]_éq

repport dans K : K = K_a /( [H₃O⁺ ]_éq [HO^- ]_éq) = K_a /K_e =1,8 10^-5 / 10^-14 = 1,8 10⁹.

équivalence :

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs mis en présence sont en proportions stoechiomètriques ; avant l'équivalence l'acide est en excès; après l'équivalence l'ion hydroxyde est en excès.

Quantité de matière d'acide ( n_A) présent à la date t : n_A = C_B V_{B éq}.

Quantité de matière d'acide ( n) formé dans le milieu initial à la date t :

on a réparti le milieu réactionnel en 10 béchers d'où n = 10 n_A = 10C_B V_{B éq}.

caractéristiques d'une réaction d'hydrolyse :

lente, athermique, limitée par la réaction inverse, l'estérification

Quantités de matière initiales des réactifs :

masse (g) = volume (mL) * masse volumique (g/mL) puis mase (g) / masse molaire (g/mol)

n_{0 eau} = 35*1/18 = 1,94 mol ; n_{0 ester} = 15*0,87/130 =0,10 mol

tableau d'avancement :

	avancement (mol)	ester	+eau	=acide	+alcool
initial	0	0,10	1,94	0	0
en cours	x	0,10-x	1,94-x	x	x
état final	xf	0,10-xf	1,94-xf	xf	xf

taux d'avancement final t₁ : à t = 120 min la réaction étant terminée x_f = 0,084 mol

de plus x_max = 0,10 mol ( ester : réactif limitant)

t₁ = x_f /x_max = 0,084/0,1 = 0,84 ( 84 %)

On peur augmentet t₁ en éliminant l'un des réactif au fur et à mesure qu'il se forme (distillation par exemple quand cela est possible)

on peut aussi ajouter l'un des réactifs ( le moins couteux : l'eau ) en grand excès : on déplace alors l'équilibre vers la droite, dans le sens de la consommation de ce réactif ajouté en large excès.

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