Aurélie dec 04

L'iode, Mars et ses satellites naturels ; chute verticale avec vitesse initiale ; acide oxalique et ion permanganate.

d'après concours manipulateur radio Nantes 05.

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L'iode (6 points)

 A. Chimie : L'iode est utilisée comme antiseptique en solution sous forme de I3-(aq) : c'est la teinture d'iode connue sous le nom de Bétadine. Une solution de 125 mL contient 5,0 g de I2.

  1. Que signifie les écritures 13153I et 53I ?
  2. Calculer la concentration molaire c0 de cette solution.
  3. On réalise un titrage de cette solution de concentration c0 et de volume V0 par une solution de thiosulfate de sodium ( 2Na+ (aq ; S2O32-(aq) de concentration C1. Le volume versé à l'équivalence est VE.
    - Ecrire les demi équations électroniques et l'équation chimique.
    - Quelle est la relation à l'équivalence entre les grandeurs C0, V0, C1 et VE ?

Données :couples I3- /I- ; S4O62-/S2O32- ; M( I) = 126,9 g/mol.

B. Physique : la glande thyroïde produit des hormones essentielles à différentes fonctions de l'organisme à partir de l'iode alimentaire. Pour vérifier la forme et le fonctionnement de cette glande, on procède à une scintigraphie thyroïdienne en utilisant les isotopes 13153I et 12353I de l'iode.

Pour cette scintigraphie un patient ingère une masse m= 1,10 mg de l'isotope 13153I.

masse molaire de l'isotope 13153I : M= 131 g/mol; NA= 6,02 1023 mol-1 ;

antimoine Sb ( Z= 51) ; tellure Te (Z=52) ; Xenon Xe (Z=54) ; césium Cs ( Z= 55)

  1. Calculer le nombre d'atomes N0 radioactifs initialement présents dans la dose ingérée. L'instant de l'ingestion est pris comme origine des temps.
  2. L'isotope 13153I est radioactif b-. Ecrire l'équation de la désintégration en supposant que le noyau fils est produit dans un état excité. Justifier.
  3. La demi vie de l'isotope 13153I est 8,0 jours. Définir la demi vie d'un échantillon radioactif.
    - Etablir la relation liant t½ et l à partir de la loi de décroissance radioactive et de la définition de la demi vie.
    - Tracer l'allure de la courbe n= f(t) correspondant à l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux radioactifs dans l'échantillon, en justifiant le raisonnement utilisé. On placera correctement les points correspondants aux instants t½, 2t½ et 3 t½.
  4. Donner l'expression littérale de l'activité A0 de l'échantillon à l'origine des dates en fonction de N0 et t½. Calculer sa valeur numérique exprimée dans le système international.
  5. Calculer dans le système international l'activité de l'échantillon d'isotope 13153I à l'instant de l'examen, sachant qu'en général, l'examen est pratiqué 4 heures après l'ingestion de l'iode 13153I.
  6. La demi vie de l'isotope 12353I est de 13,2 heures. On considère maintenant que le patient ingère une quantité d'isotope 12353I telle que l'activité initiale de cet isotope soit la même que celle de l'isotope 13153I trouvée ci-dessus. L'activité A ( valeur calculée ci-dessus) sera t-elle la atteinte après une durée identique, plus petite ou plus grande qu'avec l'isotope 13153I de l'iode ? Justifier.

corrigé
13153I représente le noyau d'iode 131 ; ce noyau compte 53 protons et 131-53 = 78 neutrons

53I : le numéro atomique de l'élément iode est 53 ( soit 53 électrons dans l'atome d'iode)

Qté de matière diiode (mol) = masse (g) / masse molaire diiode (g/mol) = 5 / (126,9*2)= 1,97 10-2 mol

concnetration (mol/L) c0= Qté de matière (mol) / volume solution (L) = 1,97 10-2 / 0,125 = 0,158 mol/L.

I3- + 2e- = 3I- réduction du diiode

2S2O32- = S4O62-+ 2e- oxydation de l'ion thiosulfate

2S2O32- + I3- = 3I- + S4O62- oxydo réduction

à l'équivalence du titrage, les quantités de matière des réactifs sont en proportions stoéchiomètriques.

n(I3-)= ½ n (S2O32-) ; C0V0 = ½ C1VE.


nombre d'atomes N0 radioactifs initialement présents :

Qté de matière (mol) = masse (g) / masse molaire (g/mol) = 1,1 10-6 / 131 = 8,4 10-9 mol

Dans une mole d'atome il y a NA= 6,02 1023 atomes ; N0 = 8,4 10-9*6,02 1023=5,05 1015 atomes.

13153 I = AZ X* + 0-1e

conservation de la charge : 53= Z-1 soit Z= 54 et X est le Xénon

conservation du nombre de nucléons : 131 = A +0 soit A= 131.

13154 Xe* = 13154 Xe + 00g.

le noyau fils peut se trouver dans un état excité ; il libère de l'énergie sous forme de photon g en revenant à l'état fondamental , de moindre énergie, état le plus stable.

demi-vie d'un échantillon radioactif : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initiaux se sont désintégrés.

N(t) = N0 exp(-lt) ; et N( t½) = ½N0.

½N0= N0 exp(-lt½) ; ½= exp(-lt½) ; ln ½ = - lt½ ; ln2 = lt½.

activité A0 = l N0 avec l = ln2 / t½ = ln2 / (8*24*3600)=10-6 s-1.

A0 = 10-6* 5,05 1015 = 5,05 109 Bq.

A ( t= 4 h) = A0 exp(-4l) avec l = ln2/ (8*24)=3,61 10-3 heure-1.

A ( t= 4 h) = 5,05 109 exp(-4*3,61 10-3)=4,98 109 Bq.

cas de l'isotope 123 de l'iode : t½ = 13,2 h ; l = ln2/ 13,2 = 5,25 10-2 heure-1.

A(t) = 4,98 109 Bq ; A0 = 5,05 109 Bq ; ln(A0 /A(t))= lt ;

t= 1/l ln(A0 /A(t))= 1/ 5,25 10-2 ln( 5,05/4,98)= 0,266 heure = 16 min.



Mars et ses satellites naturels (6 points)

Sous deux aspects au moins Mars est très semblalble àla terre. Tout d'abord elle tourne autour de son axe en 24 h 37 min, ce qui fixe le jour martien à 41 min à peine de plus que le jour terrien. Son axe est incliné de presque 25 ° sur le plan de son orbite (1), soit 1,5° de plus que l'axe de la Terre. Aussi, comme la terre , Mars est soumise à un cycle régulier de saisons.

Les deux satellites de mars, Phobos et déeimos, ont été découverts par Asaph Hall. Phobos est un bloc de rocher allongé creusé de cratères. Son diamètre maximum ne dépasse pas 25 km. Il orbite si près de la planète ( 6000 km)(2) qu'il se lève et se couche deux fois par jour martien (3). Deimos est trois fois plus éloigné de Mars et encore plus petit que Phobos, son diamètre n'excédant pas 6 km.

(1) 25° est l'angle entre l'axe de mars et la normale au plan de son orbite.

(2) 6000 km représente l'altitude du centre de Phobos par rapport au sol martien.

(3) Phobos tourne sur son orbite dans le même sens que Mars autour de son axe.

G= 6,67 10-11 SI

Mars : période de rotation propre autour de l'axe des pôles TM= 24 h 37 min ; rayon de la planète RM= 3400 km ; masse MM.

Phobos : période de révolution autour de Mars TP= 7 h 39 min 14 s ; rayon de l'orbite marsocentrique RP.

  1. Qu'est ce qu'un réferentiel galiléen ?
    On admet que le réferentiel marsocentrique liés à des axes issus du centre de Mars et dirigés vers des étoiles lointaines, considérées comme fixes, est approximativement galiléen. L'étude du mouvement de Phobos est faite dans ce référentiel. On ne tient compte que de l'influence gravitationnelle de Mars. On considère que les corps célestes sont ponctuels et leurs mouvements circulaires uniformes.
  2. Donner l'expression vectorielle de la force de gravitation que subit Phobos en précisant le nom des grandeurs physiques qui interviennent, ainsi que leurs unités. Compléter le schéma ci-dessous en faisant apparaître le vecteur force.
  3. Donner les trois lois de Kepler.
  4. Etablir l'expression de la vitesse de Phobos sur son orbite en fonction de G, MM et RP.
  5. Etablir l'expression de la période TP de Phobos sur son orbite. En déduire l'expression de la masse MM de Mars en fonction de TP, G et de RP.
  6. A l'aide du texte et des données, déterminer la valeur du rayon RP de l'orbite de Phobos autour de Mars. Déterminer l'ordre de grandeur de la masse de Mars ( la puissance de dix la plus proche)
  7. Pourquoi Phobos et Deimos ne tombent -ils pas sur Mars ? Justifier.
  8. Quel est l'effet de la force gravitationnelle exercée par Mars sur ces deux satellites ? Justifier.



corrigé
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton s'appliquent.

C'est un référentiel par rapport auquel le Principe de l'inertie est vérifié.

Principe de l’inertie : Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle alors le centre d’inertie de ce système est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.

G constante de gravitation universelle (kg-1 m3 s-2); F force (newton) ; MM : maasse de Mars (kg) MP :masse de Phobos (kg) ; RP rayon de l'orbite de Phobos (m).

Première loi ou loi des orbites : dans le référentiel héliocentrique, l'orbite de chaque planète est une ellipse dont l'un des foyers est le centre du soleil.

Deuxième loi ou loi des aires : le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Troisième loi ou loi des aires : pour toute les planètes, le rapport entre le cube du demi grand axe de la trajectoire et le carré de la période est le même.

vitesse de Phobos sur son orbite :

Phobos est soumis à la seule force de gravitation F= G MMMP/R²P ; le mouvement est circulaire uniforme, donc l'accélération est centripète.

La seconde loi de Newton s'écrit suivant l'axe n de la base de Frenet : F=MPv²/RP

G MMMP/R²P = MPv²/RP soit v=[GMM/RP]½.

période TP de Phobos sur son orbite :

Phobos décrit, à la vitesse v, une circonférence de rayon RP en TP seconde

2pRP= vTP soit 4p2R2P= v2T2P

remplacer v² par G MMRP : 4p2R2P= G MM/RP T2P

4p2R3P=G MMT2P soit MM = 4p2R3P/(GT2P).

RP= (3400+6000)103 m = 9,4 106 m ; TP= 7*3600+39*60+14= 2,76 104 s.

MM= 4*3,14²*(9,4 106)3/(6,67 10-11 * (2,76 104)²)=6,5 1023 kg.

Phobos et Deimos ne s'écrasent pas sur Mars en raison de leur vitesse qui n'a pas ou peu changée depuis qu'ils sont en orbite. En effet, ils tournent suffisamment vite pour ne pas "tomber", et comme il n'y a pas de frottement (donc de déperdition d'énergie) dans l'espace, ils conservent leur vitesse.

La force gravitationnelle exercée par Mars sur ces deux satellites a pour effet de maintenir ces deux satellites sur une trajectoire circulaire; en absence de cette force il s'éloigneraient de Mars suivant un mouvement rectiligne uniforme ( principe d'inertie)



chute verticale avec vitesse initiale (5 points )

Un fusil spécial peut envoyer des balles, de type balles de tennis, de masse m= 100 g à la vitesse v0= 24 m/s. On tire verticalement vers le bas, vers l'eau d'une piscine profonde. On supposera que la balle pénètre dans l'eau à l'instant t=0 avec la vitesse v0. Dans l'eau la balle subit une force de frottement proportionnelle à la vitesse, le coefficient de proportionnalité est h= 0,25 unité SI.

Un volume d'eau égal à celui de la balle aurait une masse m'=250 g. On prendra g= 10 m/s². On ne considèrera que le mouvement de la balle dans l'eau, l'axe de celui-ci étant orienté vers le bas.

  1. A quelle force la balle est-elle soumise une fois dans l'eau. Faire un schéma.
    - Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v(t).
  2. La solution de cette équation différentielle est : v= v0 exp(-h/mt ) + g(m-m')/h (1- exp(-h/mt ))
    - Donner l'expression de la vitesse limite vl dans l'eau.
    - Faire l'application numérique. Si cette vitesse limite est atteinte, vers où se dirige la balle ?
    - Calculer le temps t caractéristique du mouvement.
    - Au bout de combien de temps après avoir pénétré dans l'eau, la balle se remet-elle à remonter ?
    - Donner l'allure de la courbe représentant la vitesse en fonction du temps.

corrigé
La balle, dans l'eau, est soumise à son poids, vertical vers le bas, valeur mg, à la poussée d'Archimède, verticale vers le haut valeur m'g et à la force de frottement , verticale vers le haut valeur f= hv.

La seconde loi de Newton s'écrit, suivant un axe vertical orienté vers le bas : mg-m'g-hv= mdv/dt

m dv/dt + hv = (m-m')g

expression de la vitesse limite vl dans l'eau : dvl/dt=0

soit hvl= (m-m')g ; vl= (m-m')g/h

vl=(0,1-0,25)*10/0,25 = -6 m/s.

le signe moins signifie que la vitesse est orientée en sens contraire de l'axe ; la balle remonte et se dirige vers la surface.

temps t caractéristique du mouvement : t = m/h = 0,1 / 0,25 = 0,4 s.

la balle se remet à remonter lorsque la vitesse s'annule.

v=0 = v0 exp(-h/mt ) + g(m-m')/h (1- exp(-h/mt ))

0= 24 exp(-2,5t) -6(1-exp(-2,5t)= 30 exp(-2,5t) -6

exp(-2,5t) = 6/30 = 0,2 ; -2,5 t = ln(0,2) ; t = 0,64 s.



acide oxalique et ion permanganate ( 3 points )

 

On désire connaître la concentration molaire c0 d'une solution de permanganate de potassium. L'ion permanganate est l'oxydant du couple MnO4-/Mn2+.

On prépare pour cela une solution incolore d'acide oxalique en dissolvant 5,0 g du solide cristallisé C2H2O4,2H2O dans 100 mL d'eau distillée. On titre ensuite 10 mL de la solution de permanganate de potassium par la solution d'acide oxalique acidifiée.

  1. L'acide oxalique est le réducteur du couple CO2/C2H2O4. Ecrire l'équation de la réaction ayant lieu lors du titrage.
  2. Déterminer la concentration molaire c1 de la solution d'acide oxalique.
  3. Comment peut-on repérer l'équivalence du titrage ?
  4. Le volume équivalent est égal à 12 mL.
    - Faire le tableau d'avancement du système à l'équivalence.
    - Déterminer la concentration molaire c0 de la solution de permanganate de potassium.
    C: 12 ; H : 1 ; O : 16 g/mol.

corrigé
5 fois {C2H2O4 = 2 CO2+ 2e- + 2H+}

2 fois { MnO4-+ 5e- + 8H+ = Mn2+ + 4 H2O}

5C2H2O4 + 2MnO4-+6H+ =10 CO2+ 2Mn2+ + 8 H2O

M[C2H2O4,2H2O]= 2*12+2+4*16+2*18=126 g/mol

Qté de matière (mol) = masse (g) / masse molaire (g/mol) = 5/126 =3,97 10-2 mol

concentration c1 (mol/L= Qté de matière (mol) / volume de la solution (L) =3,97 10-2/0,1 =0,397 mol/L.

l'ion permanganate, la seule espèce colorée, sert d'oxydant et d'indicateur de fin de réaction : avant l'équivalence MnO4- est en excès (couleur violette); après l'équivalence MnO4- est en défaut ( solution incolore)

5C2H2O4
+ 2MnO4-
+6H+
=10 CO2
+ 2Mn2+
+ 8 H2O
initial
C1VE=

0,397*12 10-3 = 4,76 10-3 mol

10-2C0 mol
excès
0
0
solvant en grand excès
en cours
4,76 10-3-5x
10-2C0 -2x
10x
2x
équivalence
4,76 10-3-5xéqui=0
10-2C0 -2xéqui=0
10xéqui
2xéqui
4,76 10-3=5xéqui soit xéqui =4,76 10-3/5 =9,53 10-4 mol

10-2C0 -2xéqui=0 ;C0 = 200xéqui=200*9,53 10-4 =0,19 mol/L.



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