Aurélie 05/05

Circuit LC ; lumière ; physique atomique ; oscillations d'un glaçon ; vibration d'une cuve

physique : 2 h ; 4 exercices à traiter ; d'après concours Ecole Polytechnique Féminine 2005

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Electricité ( obligatoire)

On se propose d'étudier un capteur d'humidité.

Etude du montage électrique :

Un condensateur C est chargé à travers une résistance R0 = 100 W.En basculant l'interrupteur on décharge le condensateur dans une bobine (L= 100 mH, r) en série avec une résistance R.

 

  1. L'expression de la pseudo période des oscillations est :
    - Vérifier que T1 a bien les unités d'un temps.
    - Exprimer la capacité C en fonction de T1, RT et L.
    - A quelle condition portant sur RT, C s'exprime-t-il en fonction linéaire de T1² ?
  2. L'enregistrement de la tension uC aux bornes du condensateur est représentée ci-dessous. La condition de la questuion 1 est-elle remplie ? Justifier.
  3. Un montage amplificateur est inséré dans le circuit, l'enregistrement de la tension uC est représenté ci-dessous.La condition de la questuion 1 est-elle remplie ? Justifier.
  4. Combien vaut la période des oscillations de la tension uC ?
  5. En déduire la capacité C.

Etude du capteur d'humidité :

Un capteur d'humidité comporte en particulier un condensateur dont la capacité C augmente lorsque le taux d'humidité t augmente suivant la relation : C= (0,4 t + 104,8) pF avec t en %.

Ce capteur était inséré dans le circuit précédent. Quel est le taux d'humidité ?


corrigé
2
p est sans dimension ;

L inductance : E=½LI² soit L= 2 E / I² : énergie (joule ) / intensité ² (Ampère) ² ; J A-2.

Or énergie (J) = tension (V) * intensité (A) * durée (s) d'où L : V A-1 s.

C capacité : E=½CU² soit C = 2 E /u² : énergie / tension² soit V-1A s

LC : s² donc racine carré (LC) en seconde.

RT résistance (ohms) = tension (V) / intensité (A) soit V A-1.

RT/L s'exprime en seconde.


T1²[1/(LC) - R²T/(4L²)]= 4 p ² ; T1²/(LC) - T1²R²T/(4L²)= 4 p ² ;

1/(LC) = 4 p ²/ T1² + R²T/(4L²) ; 1/C= 4 p ²L/ T1² + R²T/(4L)

C= [4 p ²L/ T1² + R²T/(4L)]-1.

si RT=0 alors C= T1² / (4 p ²L) la capacité est fonction linéaire de T1²


graphe 1 : la condition RT=0 n'est pas vérifiée car la tension uC est amortie ( l'amplitude diminue)

graphe 2 : la condition RT=0 est vérifiée car la tension uC n'est pas amortie ( l'amplitude reste constante) ; le montage avec amplificateur opérationnel compense à chaque instant les pertes d'énergie dans les résistances.

8 périodes correspondent à 180 ms soit T1 = 22,5 m s = 22,5 10-6 s.

C=T1² / (4 p ²L) = (22,5 10-6)² / (4*3,14²*0,1)= 1,28 10-10 = 128 pF.

C= 0,4 t+104,8 donne t = (C-104,8) / 0,4 =(128-104,8)/0,4 = 58%.





Lumière : obligatoire

En utilisant un prisme, Newton a montré que la lumière blanche est polychromatique. Répondre par vrai ou faux en justifiant.

  1. La célérité de la lumière ne dépend pas du milieu.
  2. Le prisme dévie un faisceau lumineux monochromatique.
  3. La longueur d'onde du rayon lumineux diminue lorsque le rayon entre dans le prisme puis augmente à la sortie.
  4. Le verre dans lequel est fabriqué le prisme est un milieu non dispersif.
  5. Une lame de verre dispersif à faces parallèles disperse la lumière blanche.
 


corrigé
n >1, indice de réfraction d'un milieu transparent

n= c/v = 3 108 / v soit v= 3 108/n

donc la célérité dépend du milieu : la proposition 1 est fausse.


loi de la réfraction :

la proposition 2 est vraie.


la fréquence f caractérise une onde

longueur d'onde l(m) = célérité (m/s) fois fréquence (Hz)

l 0 = 3 108 f dans l'air ; l = v f dans le verre du prisme

l 0 /l = 3 108 / v = n ; l =l 0 / n

dans l'air la longueur d'onde de la radiation est supérieure à la longueur d'onde de la même radiation dans le verre.

la proposition 3 est vraie.


Le verre est un milieu dispersif : la célérité des ondes dépend de la fréquence.

la proposition 4 est fausse.


le faisceau incident ressort parallélement à lui même : il n'y a aps de dispersion la proposition 5 est fausse.



physique atomique : au choix

La notion de particules élémentaires est très ancienne ( Démocrite 460 - 370). L'atome est l'ultime élément de la division de la matière.

La théorie moderne : ( 1970)

La matière est représentée comme un assemblage de "briques" ( les 12 fermions), liées entre elles par les médiateurs de force ( les 14 bosons). Notre monde ordinaire, fait d'atomes, n'emploie qu'une partie de ce bestiaire : deux quarks ( up et down), qui s'assemblent par trois en un noyau. Ce noyau est environné de leptons- les électrons- pour former l'atome. Huit gluons collent les quarks entre eux, tandis que les photons lient les électrons au noyau par la force électromagnétique.

Viennent ensuite les neutrinos électroniques n qui eux, interviennet dans les désintégrations radioactives, ainsi que les bosonsW-, W+ et Z0. Restent deux particules jamais encore observées, mais prédites par la théorie : le graviton, qui transmet la gravité, et le boson de Higgs, qui donne sa masse à toute particule. Selon le modèle standart, ce sont donc 18 particules qui rendent compte de notre matière classique.

Mais si les quarks up et down, l'électron et le neutrino électronique, constituent notre "famille" de particules matèrielles ( matière stable), l'expérience prouve qu'il existe deux autres familles de particules. Instables, elles se désintègrent rapidement dans l'univers mais on peut les produire au laboratoire. Le bestiaire affiche donc 26 particules. Et ce n'est pas tout : à tous les fermions sont associés des anti-particules ( anti-quarks, anti-électrons, anti-neutrinos...) qui constituent l'antimatière ( elle aussi stable) ce qui multiplie leur nombre par deux. Au final, ce sont donc 38 particules élémentaires différentes que l'on peut aujourd'hui dénombrer.

Particules de matière : les fermions .
matière stable
quark up
quark down
électron
neutrino de l'électron
u
d
e-
ne
charge + 2/3 e
charge -1/3e
charge -e
charge 0
matière instable
quark charme
quark strange
muon
neutrino muonique
c
a
m
nm
charge + 2/3 e
charge -1/3e
charge -e
charge 0
quark top
quark bottom
tau
neutrino du tau
t
b
t
nt
charge + 2/3 e
charge -1/3e
charge -e
charge 0
Particules médiatrices de forces : les bosons
8 gluons
photon
bosons
gravitons
bosons de Higgs
g
g
W-, W+, Z0

H
charge 0
.

  1. Comment se nomment les particules constituant la matière ?
  2. Le proton est-il une particule élémentaire ?
  3. Quelle est en fonction de la charge élémentaire, la charge d'un quark ?
  4. De quel(s) quark(s) peut être constitué un proton ?
  5. De quel(s) quark(s) peut être constitué un neutron ?
  6. La transformation d'un proton en neutron dans le noyau est une désintégration radioactive b+ :
    11 p +-->10 n + 01 e. Cette équation est-elle complète ?
  7. Comment peut-on expliquer que deux quark up puissent coexister ensemble ?
  8. "ce sont donc 18 particules qui rendent compte de notre matière classique". Lesquelles ?
  9. L'antimatière est-elle de la science fiction ? Justifier.
  10. Les accélérateurs de particules du CERN sont-ils capables de détecter le passage d'un quark ? Justifier.

corrigé
Les particules constituant la matière : douze fermions liés par 14 bosons d'après le texte.

Le proton n'est pas une particule élémentaire : le protons est constitué de 3 Quarks, collés par les Gluons.

Charge d'un quark up : 2/3e ; down :-1/3 e

Un proton est constitué de 2 Quarks up 1 Quark down : la charge totale du proton est + e.

Un neutron est constitué de 1 Quark up 2 Quarks down : la charge totale du neutron est nulle

11 p +-->10 n + 01 e + 1 antineutrino

"les neutrinos électroniques n qui eux, interviennet dans les désintégrations radioactives"

Deux quark up coexistent : l'interaction forte maintient les quarks entre eux ; le gluon est le médiateur de l'interaction forte.

"ce sont donc 18 particules qui rendent compte de notre matière classique" :

Quarks up et down, électron, neutrino de l'électron, Huit gluons, photon, 3 Bosons, graviton et boson de Higgs.

L'antimatière n'est pas de la science fiction :

"l'expérience prouve qu'il existe deux autres familles de particules"

l'antimatière est le miroir de la matière ; l'antimatière est stable.

Les accélérateurs de particules du CERN sont capables de détecter le passage d'un quark : les quarks ont une charge et une masse et constituent la matière stable.



ocillations d'un glaçon( au choix)

Soit un cube de glace d'arête a, de masse volumique rg= 0,9 g/mL, laissé à la surface de l'eau ( r eau = 1 g/mL). On rappelle que la poussée d'Archimède est dirrigée selon la verticale ascendante et est égale au poids du volume d'eau déplacé soit en valeur Parchi = -r eau Vimmergé g z. ( vecteurs écrits en gras et en bleu)

  1. Lorsque le cube de glace est immobile montrer que z équilibre = rg/ r eau a.
    - Pourquoi les icebergs sont-ils si dangereux ?
  2. On enfonce le cube de glace jusquà ce que la face inférieure soit à l'ordonnée z0 avec zéquilibre <z0<a. On lâche alors à t=0, le cube de glace. Trouver l'équation différentielle du mouvement. Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme d²z/dt² + w0² z= g.
  3. Comment s'appelle ce type d'équation différentielle ?
  4. Montrer que zi= rg/ r eau a + a cos (w0t) + b sin (w0t) est une solution.
    - Trouver a et b sachant que le cube est lâché à t=0 sans vitesse initiale..

corrigé
à l'équilibre le cube de glace est soumis à :

son poids, vertical vers le bas , valeur mg =rg V g = rg a3 g

et à la poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, de valeur : r eau V immergé g

à l'équilibre ces forces sont opposées et ont la même valeur : rg a3 g =r eau V immergé g

V immergé =rg /r eaua3

Or V immergé = a2 zi ; zi = rg /r eaua

l'origine de l'axe z est prise à la surface du liquide et zi représente la hauteur immergée.

Les 9/10 èmes de la montagne de glace sont immergés et restent invisibles, d'où le danger de heurter.


Ecrire la deuxième loi de Newton suivant l'axe z.

mg- r eau V immergé g = mz" ; g = z" + r eau V immergé g / m

avec V immergé = a2z et masse m = rg a3

g = z" +r eaua2zg/ rg a3 ; z" +r eau/(rg a)g z ; w02 =r eaug/(rg a)

z" +w02 z= g (1)( éq. différentielle de l'oscillateur harmonique sans amortissement)


zi= rg/ r eau a + a cos (w0t) + b sin (w0t)

z'= -a w0 sin (w0t) + bw0cos (w0t)

z" = -aw02cos (w0t) -bw02sin (w0t)

puis repport dans (1) :-aw02cos (w0t) -bw02sin (w0t) +w02 [rg/ r eau a + a cos (w0t) + b sin (w0t)] = g

-aw02cos (w0t) -bw02sin (w0t) +aw02cos (w0t) +bw02sin (w0t)+ w02 rg/ r eau a = g

w02 rg/ r eau a =r eaug/(rg a)rg/ r eau a =g ; d'où g= g : vérifiée quelque soit t.


à t=0 : z(0) = z0=rg/ r eau a + a cos 0 + b sin 0 =rg/ r eau a + a

a = z0-rg/ r eau a.

vitesse initiale nulle : z'(0) = 0 = -a w0 sin 0 + bw0cos 0 = bw0 ; w0 différent de zéro donc b =0.



vibrations d'une cuve ( au choix)

Le système ci-dessous est constitué d'un tube cylindrique vertical ( section droite S, hauteur H) qui contient une colonne de liquide ( section droite S, hauteur H1). La partie supérieure du liquide est en contact avec l'atmosphère ( pression constante p0) Elle est limitée en bas par un piston de masse Ms qui agit dans la direction z. Le piston glisse sans frottement le long des parois du tube. Le fluide est supposé incompressible.

Quand une structure vibre au contact d'un fluide dense, en première approximation, on peut considérer que ce dernier vibre comme la structure.

  1. Dans un premier temps on suppose que le ressort précédent de raideur ks est horizontal. Une des extrémités est attachée à un support fixe et l'autre à un solide de masse Ms. On écarte le solide de sa position. Il oscille alors horizontalement autour de cette position d'équilibre. Retrouver l'équation différentielle qui régit le mouvement du solide. En déduire la pulsation propre w1.
    Les résultats précédents sont le mêmes pour la situation expérimentale décrite en introduction : un ressort vertical de raideur ks et un piston de masse Ms.
  2. Le cylindre et le liquide repposent maintenant sur le piston et se déplacent avec lui. Donner l'expression littérale et calculer la pulsation propre w2 et la fréquence propre f2 de ce système.
  3. Exprimer la relation entre w1 et w2 et tracer l'évolution w2 en fonction de H1. Le système mécanique susceptible d'exciter l'ensemble a une fréquence d'excitation inférieure à celle du système {piston ressort}. Le système {piston ressort fluide} peu-t-il entrer en résonance ?

A N : masse volumique du fluide r= 103 kg m-3 ; Ms= 2 103 g ; ks = 18 N/m ; R= 0,05 m ; H= 1 m et H1 = 0,5 m.


corrigé

MS x" + kS x=0 soit x" + kS / MS x = 0 avec w12 =kS / MS = 18 / 2 = 9 ; w1 = 3 rad/s.


Remplacer la masse du piston MS par la masse du piston + la masse du liquide : MS + r SH1.

La masse du cylindre est supposée négligeable.

w22 =kS / (MS + r SH1) avec S= p

w22 = 18/(2+103*3,14*0,052*0,5)=3,04 ; w2=1,74 rad/s.

1/ w22 =MS /kS + r SH1/kS = 1/ w12 + r SH1/kS.

fréquence f2 = w2 /(2p) = 1,74 /6,28 = 0,28 Hz.

Si la fréquence excitatrice est inférieure à w1, alors le système entre en résonance lorsque la fréquence de l'excitateur est égale à la fréquence propre du résonateur.

Remarque : les valeurs numériques sont incohérentes ( raideur et Ms trop faibles par rapport à R= 0,5 m) : on a remplacé R par 0,05 m au lieu de 0,5 m.



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