Un solide S de masse m, est fixée à deux ressorts R₁ et R₂ identiques, de longueur à vide l₀ et de constante de raideur k. L'autre extrémité de chaque ressort est accrochée à un point fixe. Les deux ressorts sont portés par la même droite horizontale passant par le centre de la boule. On constate que les ressorts se sont allongés, par rapport à leur position à vide, d'une longueur notée L. On désigne par A la position du centre d'inertie G du solide lorsque l'ensemble est à l'équilibre. Les frottements sont négligeables.

Ecarté de sa position d'équilibre, le solide est lâché sans vitesse initiale. Les deux resorts restent allongés au cours du mouvement. Au cours des oscillation, soit G une position quelconque du centre d'inertie du solide, telle que mesure algébrique (AG)= x >0.

1. Faire le bilan des forces qui agissent sur le solide lorsqu'il est en G à l'aide d'un schéma clair.
   - Donner en fonction de L et de x, les allongements respectifs des deux ressorts par rapport à leur position à vide respectives
   - A partir de la seconde loi de Newton, déterminer l'équation différentielle du mouvement de G, à laquelle obéit l'abscisse x(t)..
   - Donner l'expression littérale de la période propre de cet oscillateur.
   - Donner l'expression générale générale d'une solution de cette équation différentielle.
2. Pour le système oscillant étudié, donner l'expression en fonction de la variable x et des données du problème :
   - De l'énergie potentielle élastique E_pe(x)
   - De l'énergie cinétique E_c(x)
   - De l'énergie mécanique totele E(x) en choisissant comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal passant par A.
3. Retrouver l'équation différentielle du mouvement de S en utilisant la conservation de l'énergie mécanique du système {solide+ ressorts}
4. On veut remplacer les deux ressorts identiques de raideur k par un ressort équivalent de constante k_équi. Ce ressort est relié au solide S et constitue un nouvel oscillateur.
   - Donner l'expression de la période propre de ce nouvel oscillateur.
   - Sachant que l'oscillateur équivalent possède la m$eme période propre que celle de l'oscillateur initial composé des deux ressorts, exprimer k_équi en fonction de k.
   - On fait l'étude énergétique de l'oscillateur équivalent composé du solide S et du ressort équivalent. Donner l'expression en fonction de la variable x et des données du problème :
   - De l'énergie potentielle élastique E'_pe(x)
   - De l'énergie cinétique E'_c(x)
   - De l'énergie mécanique totele E'(x)
   - Représenter sur un même graphe ces fonctions.

Un pendule est constitué d'une masse m suspendue à un fil inextensible de longueur L. A partir de la position d'équilibre OA₀, on communique à la masse m une vitesse horizontale de valeur v₀. Une position quelconque est déterminée par son abscisse angulaire q.

1. Exprimer la vitesse v au passage en A en fonction de q.
2. Exprimer la tension du fil en A en fonction de q. Donner l'expression de la tenion minimale du fil.
3. Déterminer la valeur minimale de la vitesse de lancement v₀ qui permet à la masse m d'effectuer des rotations autour de O, le fil restant tendu.
   L= 1 m ; g = 10 m/s² ; racine carrée (50) = 7,1.  

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corrigé

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énergie mécanique ( A₀ : origine de l'énergie potentielle de pesanteur)

en A₀ : E= ½mv₀²

en A : ½mv²+mgL(1-cosq)

seul le poids traville, donc l'énergie mécanique se conserve : ½mv₀² = ½mv²+mgL(1-cosq)

v²= v₀² -2gL(1-cosq)

T= m[g cos q +v²/L] = m[g cos q +v₀²/L -2g(1-cosq)]= m[3g cos q +v₀²/L -2g]

La plus petite valeur de la tension T_min est zéro : la petite masse m passe au point le plus haut (q= 180° et cos q = -1), le fil étant à la limite d'être tendu.

d'où : 3g cos 180 +v₀²/L -2g =0

-3g+v₀²/L -2g =0 ; v₀² = 5gL = 50 soit v₀ = 7,1 m/s.

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Le condensateur ci-dessus, de capacité C est initialement chargé sous une tension U₀

A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur K. A cet instant l'intensité i₀ du courant est nulle. L'intensité du courant i(t) est comptée positivement quand le courant circule dans le sens indiqué ( courant de décharge du condensateur). On appelle q la charge de l'armature du condensateur.

1. Ecrire la relation entre i(t) et q(t) d'une part et q(t) et u_c(t) d'autre part.
2. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension u_c aux bornes du condensateur.
3. On se limite au cas où la résistance r de la bobine est nulle.
   - Que devient dans ce cas l'équation différentielle ?
   - Donner l'expression de la pulsation propre w₀ des oscillations, de leur fréquence propre et enfin de la période propre T₀.Montrer que la période a bien la dimension d'un temps, par une étude dimensionnelle.
   - Déterminer une solution de cette équation différentielle qui vérifie les conditions initiales.
   - Donner l'expression générale de l'énergie stockée dans le condensateur, et de celle stockée dans la bobine.
   - En déduire l'expression de l'intensité maximale I_max du courant circulant dans le circuit en fonction de C, L et U₀.

couples : CH₃COOH / CH₃COO^- pKa₁ = 4,7 ; NH₄⁺/NH₃ pKa₂ = 9,2 ; CH₃ NH₃⁺/CH₃NH₂ pKa₃ = 10,7. log 2 = 0,3.

1. On dispose d'une solution S_A d'acide éthanoïque CH₃COOH de concentration C_A= 10^-2 mol/L et de pH=3,4.
   - Rappeler la définition d'un acide au sens de Brönsted.
   - L'acide éthanoïque est un acide faible. Justifier cette affirmation par un calcul.
   - Ecrire l'équation bilan de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau.
   - Donner l'expression de la constante d'acidité Ka associée au couple CH₃COOH / CH₃COO^-.
2. On dispose de deux solutions de bases faibles : une solution S_B1 d'ammoniac NH₃ et une solution S_B2 de méthylamine CH₃NH₂.
   - L'ammoniac est-elle une base plus faible que la méthylamine ? Justifier en utilisant les données.
3. On mélange un volume V_A= 60 mL de la solution S_A d'acide éthanoïque à un volume V_B1= 20 mL de la solution S_B1 d'ammoniac de concentration C_B1 = 2 10^-2 mol/L. La mesure du pH est 5.
   - Sur un axe gradué en pH, placer les domaines de prédominance des quatres espèces acido-basiques concernées. Quelles sont les espèces qui prédominent à pH=5 ?
4. On mélange maintenant un volume V'_A = 10 mL de la solution S_A d'acide éthanoïque à un volume V_B2= 20 mL de la solution S_B2 de méthylamine de concentration C_B2 = 1,5 10^-2 mol/L.
   - Calculer les quantités de matière d'acide éthanoïque et de méthylamine avant toute réaction.
   - Ecrire l'équation-bilan de la réaction qui se produit. Montrer que cette réaction peut être considérée comme totale. Préciser le réactif limitant.
   - Dresser le tableau d'avancement de cette réaction et calculer les quantités de matière de chaque espèce après réaction et en déduire leur concentration molaire dans le mélange.
   - En utilisant le pKa du couple CH₃ NH₃⁺/CH₃NH₂ calculer le pH de la solution.

 On considère la réaction d'oxydoréduction entre le métal cuivre et l'ion argent (I) : 2Ag⁺ + Cu(s) = Cu²⁺ + 2Ag(s). (1)

La constante d'équilibre associée est K= 2 10¹⁵.

On réalise deux expériences : - en mettant en contact direct les deux réactifs ; - en réalisant une pile électrochimique.

A - réactifs directemment en contact :

1. Un bécher contient un volume V₁=20 mL de solution de nitrate d'argent de concentration C₁= 0,1 mol/L. On ajoute V₂ = 20 mL de solution de nitrate de cuivre de concentration C₂ = 0,05 mol/L. On obtient une solution dans laquelle cohabitent Ag⁺, NO₃^-, Cu²⁺. Calculer les concentrations molaires initiales des ions Ag⁺et Cu²⁺ dans le bécher.
2. On plonge ensuite dans le bécher un fil de cuivre et un fil d'argent.
   - Ecrire l'expression littérale du quotient de réaction Q_i , correspondant à la réaction (1) donnée ci-dessus.
   - Calculer sa valeur et en déduire le sens d'évolution spontanée de la réaction (1)
   - Quelle observation expérimentale confirme le sens d'évolution de la transformation ?
   - Le cuivre est en excès. Lorsque le système a atteint son état d'équilibre, la concentration en Cu²⁺ est 0,05 mol/L. Montrer que les ions Ag⁺ sont en quantité négligeable en calculant leur concentration. Conclure sur le caractère de la transformation.

B -pile électrochimique : on dispose du matériel suivant :

- Un bécher contenant contenant un volume V₁=20 mL de solution de nitrate d'argent de concentration C₁= 0,1 mol/L.

- Un bécher contenant contenant un volume V₂ = 20 mL de solution de nitrate de cuivre de concentration C₂ = 0,05 mol/L.

- Un fil de cuivre de masse m= 1,2 g et un fil d'argent.

- Un pont salin contenant une solution ionique saturée de nitrate de potassium.

1. Faire un schéma annoté de la pile.
2. Un ampérémètre en série avec un conducteur ohmique de résistance R= 100 W est placé entre les bornes de la pile. Le conducteur ohmique est traversé par un courant de très faible intensité dans le sens de l'argent vers le cuivre.
   - En déduire le sens de circulation des électrons dans le conducteur ohmique.
   - Interpréter le fonctionnement de la pile en écrivant les deux demi-équations aux électrodes.
   - Le sens d'évolution spontané est-il en accord avec celui déterminé ci-dessus ?
   - Quel est le rôle du pont salin ? Indiquer le mouvement des porteurs de charge dans le pont.
3. On laisse fonctionner le système pendant une durée suffisamment longue pour que la pile ne débite plus.
   - Construire un tableau d'avancement de la transformation.
   - Quel est le réactif limitant ?
   - Quelle est la concentration en ion cuivre (II) à la fin de la réaction ?
   - Déterminer la quantité d'électricité qui a traversé la résistance depuis l'instant où la pile a commencé à débiter jusqu'à l'instant où la pile s'arrête de fonctionner.

1 F voisin 10⁵ C ; masse molaire Cu voisine 60 g/mol

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corrigé

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[Ag⁺]_i =C₁V₁/(V₁+V₂)=0,1*20/40 = 0,05 mol/L ; [Cu²⁺]_i =C₂V₂/(V₁+V₂)=0,05*20/40 = 0,025 mol/L

Q_i = [Cu²⁺]_i /[Ag⁺]_i ²=0,025 / 0,05²= 10.

Q_i <K donc évolution dans le sens direct.

On observe un dépôt d'argent sur le fil de cuivre.

K = [Cu²⁺]_équi /[Ag⁺]_équi ² soit [Ag⁺]_équi =([Cu²⁺]_équi /K)^½= (0,05/ 2 10¹⁵)^½= 5 10^-9 mol/L

La transformation est totale.

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à l'anode négative, oxydation du cuivre Cu(s) = Cu²⁺ + 2e^-.

à la cathode positive, réduction de l'ion argent : 2 Ag⁺ + 2e^- = 2Ag(s)

bilan : 2Ag⁺ + Cu(s) = Cu²⁺ + 2Ag(s)

en accord avec le sens d'évolution spontané prévu ci-dessus.

Le pont salin assure le contact électrique et permet aux solutions de rester électriquement neutres.

Des ions Cu²⁺ apparaissent dans le bécher de gauche : donc migration des ions nitrate du pont vers ce bécher.

Des ions Ag⁺ disparaissent dans le bécher de droite : donc migration des ions K⁺ du pont vers ce bécher.

	2Ag+	+ Cu(s)	= Cu2+	+ 2Ag(s)
initial	2 10-3 mol	1,2/60 = 0,02 mol	10-3 mol	n
en cours	2 10-3 -2x	0,02-x	10-3 +x	n + 2x
fin	2 10-3 -2xmax =0 xmax = 10-3 mol	0,02-xmax =1,9 10-2 mol	10-3 +xmax = 2 10-3 mol	n + 2xmax

l'ion argent est le réactif limitant.

[Cu²⁺]_fin= 2 10^-3 / 0,02 = 0,1 mol/L

Qté de matière d'électrons = Qté de matière d'ion argent = 2 10^-3 mol

La charge d'une mole d'électrons vaut, en valeur absolue, 10⁵ C ou 1 faraday.

Qté d'électricité : 2 10^-3 * 10⁵ = 200 C