Aurélie avril 05

Recherche d'un modèle de force de frotements ; évolution de la réaction de l'ammoniac avec l'eau ; scintigraphie thyroïdienne

d'après bac Reunion 2005

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recherche d'un modèle de force de frotements: 6 points .

Données : volume de la bille en acier V= 0,52 cm3 ; masse volumique de l'acier ra= 7850 kgm-3 ; masse volumique de l'huile rH= 920 kg m-3 ; g= 9,8 m/s².

On réalise la chronophotographie d'une bille sphérique en acier dans l'huile. Pour ce faire, on filme la bille dans une éprouvette remplie d'huile, avec un camescope numérique au rythme de 50 images par seconde. Gràce à un traitement adéquat des images on obtient le document ci-dessous. On repère ensuite la position sur chaque image, du centre d'inertie de la bille : M0 correspond à sa position initiale, celle-ci étant lâchée, à un instant t0 pris comme origine des dates, sans vitesse initiale.

positions de la bille
t(ms)
y(mm)
v(m/s)
M0
0
0,0
0,00
M1
20
4,5
0,23
M2
40
9
0,34
M3
60
18,0
0,46
M4
80
27,5
0,58
M5
100
41,0
0,64
M6
120
53,0

M7
140
69,0
0,75
M8
160
83,0
0,80
M9
180
101,0
0,88
M10
200
118,0
0,90
M11
220
137,0
0,93
M12
240
155,0
0,93
M13
260
174,0
0,95
M14
280
193,0
0,95
M15
300
211,0
M16
320
231,0
M17
340
249,0
M18
360
269,0
M19
380
287,0
M20
400
307,0
M21
420
325,0
A. exploitation des résultats :

  1. En vous aidant des documents ci-dessus, préciser les caractéristiques du mouvement de la bille entre les positions M13 et M21. Quelle est la loi de Newton ainsi illustrée ?
  2. A partir des conditions de prises de vue, justifier les valeurs qui apparaissent dans la colonne temps t(ms) du tableau.

B. étude cinématique :

Le point M0 étant pris comme origine des espaces et des temps, on repère les différentes hauteurs réelles de la chute de la bille dans l'huile, notées y aux dates t correspondantes. On calcule alors les vitesses correspondantes.

  1. Calculer la vitesse de la bille pour la position M6.
  2. Calculer l'accélération de la bille pour la position M18. Le résultat obtenu est-il compatible avec celui de la question A1 ? Argumenter la réponse.

C. étude dynamique :

  1. Sur un schéma faire figurer, sans souci d'échelle, toutes les forces s'exerçant au centre d'inertie G de la bille tombant dans l'huile.
  2. Calculer la masse m de la bille.
  3. Donner l'expression littérale de la pousée d'Archimède FA, s'exerçant sur la bille plongée dans l'huile. Calculer sa valeur.

D. équation différentielle du mouvement de la bille :

Soit f l'intensité de la force de frottement à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile.

  1. Par application du théorème du centre d'inertie que l'on énoncera, établir que le mouvement de la bille obéit à une équation différentielle du type dv/dt + f/m = A où A est une constante et v la vitesse de la bille.
  2. Donner l'expression littérale de A puis calculer sa valeur. Préciser son unité.

E. Recherche de modèles pour la force de frottement :

On se propose de déterminer expérimentalement si l'intensité de la force de frottement f à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile est de la forme f=k1v ou f= k2v². k1 et k2 étant des constantes et v étant la vitesse de la bille.

On utilise un tableur pour représenter la vitesse de la bille en fonction du temps. On obtient le graphe suivant où les points expérimentaux sont représentés sous forme de losange. On détermine ainsi la vitesse limite de chute de la bille vl= 0,95 m/s.

  1. Première hypothèse : f= k1 v. Montrer que l'équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme : dv/dt + B1 v= A où A et la constante déterminée dans la partie D.
    - Lorsque la vitesse limite est atteinte que devient le terme dv/dt de l'équation différentielle précédente ? En déduire l'expression littérale de B1 en fonction de A et vl. Calculer alors k1 et préciser son unité.
  2. deuxième hypothèse : f = k2 v². Dans ce cas l'équation différentielle se met sous la forme dv/dt + B2v²= A. Déterminer l'expression littérale de B2 en fonction de A et vl. Calculer alors k2 et préciser son unité.
  3. Comparaison des deux modèles précédents : grâce au tableur et à la méthode d'Euler, on détermine les courbes théoriquescorrespondant aux deux modèles précédents. Le premier modèle noté "modèle 1" sur le graphe corrspond à l'hypothèse d'une force de frottement f= k1 v. Le second modèle noté "modèle 2" sur le graphe corrspond à l'hypothèse d'une force de frottement f= k2 v². En vous aidant du graphe, préciser les domaines de vitesse, sous forme d'un encadrement, pour lesquels chacun des deux modèles précédents semblent coïncider au mieux avec les points expérimentaux.

corrigé
La trajectoire est une droite verticale et la vitesse est constante entre M13 et M21 : le mouvement de la bille est donc un mouvement rectiligne uniforme, ce qui illustre le principe d'inertie ou 1ère loi de newton ( dans un référentiel galiléen, si un solide est pseudo-isolé, somme vectorielle des forces nulle, alors le centre de gravité G du solide est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme)

On filme sur un rythme de 50 images par seconde. La durée séparant deux images consécutives est donc : 1/50 = 0,02 s = 20 ms.


v6 = ( y7-y5)/(t7-t5)=(69-41)10-3/(140-100)10-3)= 28/40 = 0,70 m/s.

Le vecteur l'accélération traduit la variation du vecteur vitesse ; les vecteurs vitesses sont tous colinéaires et de même sens, celui du mouvement , en conséquence on peut écrire une relation entres les valeurs :

a18 = Dv/Dt = (v19-v17) / (t19-t17) =(0,95-0,95) (380-340)10-3)= 0 m/s².

seconde loi de Newton : dans un référentiel galiléen la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse m, est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d'inertie G. Si l'accélération est nulle, alors la somme vectorielle des forces est nulle.

Et d'après le principe d'inertie, le mouvement du centre d'inertie du solide est rectiligne uniforme ( conclusion compatible avec le résultat ci-dessus)


Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, la bille est soumise à son poids, à la poussée d'Archimède et à une force de frottement due au liquide.

masse de la bille (kg) = volume de la bille (m3) * masse volumique acier (kg m-3)

V= 5,2 10-5 m3 ; m= 5,2 10-7*7850 = 4,1 10-3 kg = 4,1 g.

poussée d'Archimède = poids du volume de fluide déplacé = VrH g

FA= 5,2 10-7*920*9,8 = 4,7 10-3 N.


seconde loi de Newton : dans un référentiel galiléen la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse m, est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d'inertie G

projection de la somme des forces sur un axe vertical descendant :

mg-FA-f= ma = m dv/dt

diviser chaque terme par m : g-FA/m-f/m =dv/dt

dv/dt + f/m = g-FA/m , on identifie A à : g-FA/m

A= 9,8- 4,7 10-3 / 4,1 10-3 = 8,7 m/s².

cette constante est homogène à une accélération.


hypothèse n°1 : dv/dt + k1/m v = A

on identifie B1 à k1/m

Quand la vitesse limite est atteinte dvl/dt = 0 soit B1 vl=A

ou B1 =A / vl; de plus B1 = k1/m d'où : k1/m=A / vl ; k1=mA/ vl ;

A est en m s-2 ; m en kg et vl en m s-1 donc k1 en kg s-1

k1 = 4,1 10-3 *8,7/0,95 = 3,7 10-2 kg s-1.

hypothèse n°2 : dv/dt + k2/m v2 = A

on identifie B2 à k2/m

Quand la vitesse limite est atteinte dvl/dt = 0 soit B2 vl2=A

k2/m vl2=A soit k2 = mA/vl2;

A est en m s-2 ; m en kg et vl en m s-1 donc k1 en kg m-1

k2 =4,1 10-3 *8,7/0,95 2= 3,9 10-2 kg m-1.

sur le graphe regarder dans quel cas les courbes théorique et expérimentale coïncident :

si 0<v<0,8 m/s, le modèle n°1 convient

si 0,8< v<1m/s, le modèle n°2 convient.





évolution de la réaction de l'ammoniac avec l'eau (6 points)

Une bouteille d'ammoniaque du commerce comporte l'indication 22 ° Bé, ce qui correspond à une concentration molaire C0 = 10,9 mol.L-1.Cette solution sera nommée S0. Dans une solution aqueuse d'ammoniac, l'équilibre entre l'ammoniac NH3 et les ions ammonium NH4+ s'écrit : NH3 (aq) + H2O (I) = HO- (aq) + NH4+ (aq).

Données (valeurs à 25 °C):

Quotient de la réaction de l'ammoniac avec l'eau à l'équilibre : Qr,éq= 1,58.10-5

Produit ionique de l'eau : Ke = 1,00.10-14.

1ère partie : Détermination du quotient de réaction par pHmétrie :

La " basicité " de la solution S0 étant trop élevée pour être mesurée directement au pHmètre, on prépare 50,0 mL d'une solution diluée S1 de concentration C1 = C0 /10. Le pH mesuré de S1 est 11,62.

  1. Quel volume de la solution S0 doit-on prélever pour préparer la solution S1?
  2. Proposer un mode opératoire pour préparer la solution S1.
  3. Montrer que la concentration en ion hydroxyde dans la solution S1 est : [HO-](s1)= 4,2.10-3 mol.L-1.
  4. Compléter le tableau d'avancement suivant pour la réaction de l'ammoniac avec l'eau dans la solution S1 en considérant un volume V'1 = 1,0 L.

    avancement
    NH3 (aq)
    + H2O (I)
    = HO- (aq)
    + NH4+ (aq)
    initial
    0

    solvant en grand excès


    en cours
    x



    final
    xf



    maximal
    xmax



  5. En déduire la valeur du taux d'avancement final t. Commenter le résultat obtenu.
  6. Calculer le quotient de réaction Qr,1 à l'état final et montrer que le système est à l'équilibre aux incertitudes de mesure près.

2ème partie : Détermination du taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau par conductimétrie :

Valeurs des conductivités molaires ioniques à 25 °C :

l°( HO-) = 19.9.10-3 S.m2.mol-1 ; l °( NH4+) = 7.34.10-3 S.m2.mol-1.

L'expression de la conductivité d'une solution s = S l i [ Xi] n'est valide qu'en solution très diluée. A partir de la solution S1 d'ammoniac, on prépare une solution fille, nommée S2 de concentration C2 = C1/100 = C0/1000.

A) Hypothèse: On fait l'hypothèse que les quantités de matière des espèces en solution n'ont pas changé lors de la dilution.

  1. En déduire l'expression littérale de la concentration [HO-](hyp) en fonction de [HO-](s1), de même pour [NH4+](hyp) en fonction de [NH4+] (s1) et [NH3] (hyp) en fonction [NH3] (s1).
  2. Montrer que le quotient de réaction Qr,hyp obtenu avec cette hypothèse est égal à Qr,1/100.
  3. Le comparer à Qr,eq. En déduire si l'hypothèse est effectivement vérifiée. Sinon dans quel sens évolue le système lors de la dilution ? Justifier. 

B) Conductimétrie:

Pour confirmer ou infirmer l'hypothèse précédente, on mesure la conductivité s de la solution S2: s = 0,114 mS.cm-1.

  1. Donner la valeur de s dans le système international.
  2. Exprimer la conductivité s de la solution S2 en fonction des conductivités molaires ioniques et des concentrations effectives [NH4+] (s2) et [HO-](s2), dans cette solution.
  3. En utilisant le tableau d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau et les données du texte en déduire [HO-](s2).
  4. Calculer le taux d'avancement final t2 de la réaction de l'ammoniac sur l'eau.
  5. La dilution de la solution mère agit-elle sur le taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau ? Si oui dans quel sens. L'hypothèse émise dans la partie 1 est-elle confirmée ?

 


corrigé
Le facteur de dilution est 10 ; volume fiole jaugée (mL) / volume pipette jaugée (mL)=10

soit volume pipette jaugée = volume fiole jaugée / 10 = 50 /10 = 5,0 mL.

port de gants, lunette et blouse pour prélever 5 mL de solution mère à la pipette jaugée

verser dans une fiole jaugée de 50 mL contenant un peu d'eau distillée

compléter à l'aide d'eau distillée jusqu'au trait de jauge.

[ H3O+] = 10-pH= 10-11,62 = 2,4 10-12 mol/L

[HO-](s1)=10-14/ [ H3O+] = 10-14/ 2,4 10-12 = 4,2.10-3 mol.L-1.


avancement
NH3 (aq)
+ H2O (I)
= HO- (aq)
+ NH4+ (aq)
initial
0
1,09 mol
solvant en grand excès
0
0
en cours
x
1,09-x
x
x
final
xf=4,2 10-3 mol
1,09-xf
xf=4,2 10-3 mol
xf=4,2 10-3 mol
maximal
xmax= 1,09 mol
1,09-xmax=0
xmax= 1,09 mol
xmax= 1,09 mol
t= xf/xmax=4,2 10-3/1,09=3,8 10-3.

la réaction de l'ammoniac avec l'eau est très limitée.

quotient de réaction Qr,1 à l'état final :

Qr,1 =[HO-]f[NH4+ ]f/[NH3]f= xf2 / 1,09-xf = (4,2 10-3)2/(1,09-4,2 10-3 )=1,6 10-5.

l'écart avec Qr,éq= 1,58.10-5 est inférieur à 3%. Donc dans l'état final le système est à l'équilibre.


Le facteur de dilution ( à partir de S1) est de 100.

[HO-](hyp) = 10-2[HO-](s1) ; [NH4+](hyp) =10-2 [NH4+] (s1) ; [NH3] (hyp) =10-2 [NH3] (s1).

Qr,hyp = [HO-]hyp[NH4+ ]hyp/[NH3]hyp =10-2 [HO-](s1) 10-2 [NH4+] (s1) /(10-2 [NH3] (s1))=Qr,1/100.

Qr,hyp = 1,6 10-5 / 100 = 1,6 10-7, valeur inférieure à la constante d'équilibre.

l'hypothèse n'est pas vérifiée.

Qr,hyp est inférieure, dans cette hypothèse, à la constante d'équilibre : le critère d'évolution spontané prévoit une évolution du système dans le sens direct. Donc une modification des concentrations lors de la dilution.


s = 0,114 mS.cm-1.

valeur de s dans le système international : 1 mS= 10-3 S ; 1 cm= 10-2 m ; 1 cm-1 = 100 m.

s = 0,114 10-3 *100 = 1,14 10-2 Sm-1.

conductivité s de la solution S2 : s =l °( NH4+)[NH4+] (s2) + l°( HO-) [HO-](s2)= (l °( NH4+) +l°( HO-))[HO-](s2)

[HO-](s2)= s /(l °( NH4+) +l°( HO-))= 1,14 10-2/((19,9+7,34)10-3)= 4,2 10-1 mol m-3 = 4,2 10-4 mol /L

xf= 4,2 10-4 mol ; xmax = 1,09 10-2 ( du fait de la dilution par 100) ; t2= 4,2 10-4 / 1,09 10-2 = 4,2 10-2.

La dilution de la solution mère agit sur le taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau : ce dernier augmente, il a presque été multiplié par 10. L'hypothèse émise dans la partie 1 n'est pas confirmée. .



scintigraphie thyroïdienne ( 4 points)

Données : Numéro atomique de l'élément iode : Z(l) = 53.

La thyroïde est une glande, située dans la région cervicale antérieure, appliquée contre le larynx et la partie supérieure de la trachée. La fonction principale de cette glande est la sécrétion des hormones thyroïdiennes à partir de l'Iode alimentaire qui se fixe temporairement sur cette glande.

De petite taille, pesant 15 à 25 g chez l'adulte et mesurant environ 4 cm en largeur et 3 cm en hauteur, elle n'est normalement pas, ou à peine, palpable. Mais elle peut s'hypertrophier, soit de manière plus ou moins diffuse et homogène, soit de manière localisée avec la formation de nodule(s). Ces nodules peuvent principalement être de deux sortes : hypofixant ou hyperfixant. Ils sont dits hypofixants s'ils fixent peu d'iode par rapport au reste de la thyroïde. Inversement, ils sont dits hyperfixants s'ils fixent plus d'iode que le reste de la thyroïde.

Ce sont ces nodules qu'il faut déceler pour traiter le patient si nécessaire. Ceci est réalisé à l'aide de traceurs radioactifs, les isotopes 123I et 131I, de constantes radioactives respectives l123 = 1,459 10-5 s-1 et l131 = 1,001 10-6 s-1. Ces isotopes sont en effet des émetteurs de rayons gamma pouvant être détectés par un appareil de mesure appelé "détecteur à scintillations". La condition pour que l'appareil de mesure utilisé ici compte les rayons gamma, est que ceux-ci aient une énergie supérieure à 20 eV. Il en résulte alors une image reconstituée de l'organe étudié, sur laquelle les zones foncées représentent les zones de l'organe fortement émettrices en rayons gamma. La scintigraphie est donc une sorte de photographie.

Lorsque l'analyse est pressée, on préfère utiliser l'isotope 123I qui nécessite un temps de pose de l'ordre du quart d'heure. On injecte alors, au patient, une dose de 123I, d'activité A = 7,0 MBq, contenu dans une solution d'iodure de sodium NaI où l'iode est le traceur radioactif. On laisse alors l'iode se fixer, soit environ 4 heures, temps au bout duquel on réalise la scintigraphie.

A) Choix de l'isotope 123I :

  1. L'isotope 123I est préparé par réaction nucléaire entre un deutérium 21H de haute énergie, et du tellure 12252Te. Ecrire l'équation correspondante. Préciser les lois de conservation utilisées et le nom de la particule émise.
  2. Calculer le temps de demi-vie des deux isotopes. Quel peut être alors l'avantage d'utiliser l'isotope 123I par rapport au 131I ? Justifier.

B) Administration de l'iode à un ensemble de patients.

L'hôpital commande un flacon d'une solution de NaI avec de l'iode 123I, pour l'utiliser sur plusieurs patients. Pour des raisons pratiques, les injections sont effectuées toutes les 30 minutes. La première injection a lieu le matin à 9 h. Juste avant cette injection, l'activité du flacon de l'hôpital est de 28,5 MBq. A chaque injection, on prélève une dose d'activité égale à 7 MBq.

  1. Quelle est l'activité de la solution restant dans le flacon juste après l'injection (supposée instantanée) au premier patient ?
  2. Calculer la valeur de e-lDt, si D t = 30 min.
    - En déduire l'activité du flacon à 9h30, juste avant l'injection au second patient.
  3. Les injections suivantes ont lieu toutes les demi-heures. Combien de patients pourront alors recevoir la dose nécessaire (7 Mbq) à la réalisation d'une scintigraphie ?

C) Précaution et analyse des images obtenues.

  1. Quel est le nombre de noyaux radioactifs N0 injectés à chaque patient ?
  2. II est courant de réaliser une deuxième injection aux patients, afin de vérifier que le traitement a été efficace. On estime qu'entre 2 injections à un patient, il doit s'écouler environ 6 semaines afin que la première n'influence pas la scintigraphie de la deuxième. Montrer que la première injection n'a alors aucune influence sur la scintigraphie qui suit la deuxième injection.
  3. La scintigraphie permet d'obtenir les images ci-dessous. On y trouve notamment une thyroïde comportant un nodule, puis cette thyroïde après traitement. S'agit-il d'un nodule hyperfixant ou hypofixant ? Justifier.

 


corrigé
21H + 12252Te--> 12353I +AZX

conservation de la charge : 1+52=53 +Z soit Z=0

conservation du nombre de nucléons : 2+122=123+A soit A= 1

la particule X est donc un neutron.

temps de demi-vie des deux isotopes : lt½ =ln2

123I : t½ =ln2 /l123 =ln2/ 1,459 10-5 = 4,75 104 s

131I : t½ =ln2 /l131 =ln2/ 1,001 10-6 = 6,92 105 s

avantage d'utiliser l'isotope 123I par rapport au 131I :

la demi-vie ou période de l'isotope 123I est plus petite que la demi-vie de l'isotope 131I : 123I disparaît plus rapidement de l'organisme du patient.


activité de la solution restant dans le flacon juste après l'injection : 28,5-7 = 21,5 MBq.

valeur de e-lDt, si D t = 30 min = 30*60 = 1800 s

e-lDt = exp(-1,459 10-5*1800)=0,974.

activité du flacon à 9h30 : A= A0 e-lDt =21,5 *0,974 = 20,9 MBq.

immédiatement après la seconde injection, l'activité du flacon est : 20,9-7 = 13,9 Bq

30 min plus tard, l'activité du flacon est : 13,9*0,974 =13,6 Bq.

immédiatement après la troisième injection, l'activité du flacon est : 13,6-7 = 6,6 Bq.

On peut traiter trois patients.


nombre de noyaux radioactifs N0 injectés à chaque patient :

A=lN soit N= A/l=7 106 / 1,459 10-5 =4,8 1011 noyaux.

6 semaines = 6*7*24*3600 secondes soit 3,63 106s.

valeur de e-lDt, si D t = 3,63 106 s

e-lDt = exp(-1,459 10-5*3,63 106)= 10-23.

activité résiduelle due à la première injection :7 106* 10-23 = 7 10-17 Bq

l'activité résiduelle due à la première injection étant nulle, celle-ci n'influence pas la seconde analyse.

Ils sont dits hypofixants s'ils fixent peu d'iode par rapport au reste de la thyroïde, ce qui correspond à l'observation d' une tache plus claire sur l'image proposée.



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