Aurélie sept 05

Oscillateurs ; fermentation du vin ; polonium

d'après bac Polynésie sept 2005.

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oscillateurs: 6,5 points .

Notre objectif est d'étudier le mouvement d'une masse m attachée à un support immobile par un ressort horizontal de constante de raideur k.

I - L'oscillateur harmonique :

Une masse est libre de se déplacer sans frottement sur un rail horizontal. Après avoir écarté la masse de sa position d'équilibre, on la libère sans vitesse initiale.

  1. Représenter sur le schéma donné ci-dessous les forces agissant sur la masse m. Le point O donne l'abscisse du centre de gravité G à la position d'équilibre du système. Dans cette position le ressort n'est ni étiré ni comprimé.
  2. En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer que l'équation différentielle du mouvement relative à l'abscisse x du centre de gravité G du mobile à l'instant t s'écrit : d²x/dt²+w0²x=0 où w0² =k/m
    On établira cette équation dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
  3. Montrer que l'expression x(t) = A.sin(w0 t+j ) est solution de cette équation différentielle.
  4. On suppose qu'à l'instant initial t = 0 s, l'oscillateur possède une amplitude x0 = 2 cm et une vitesse v0 = 0. Déterminer les constantes A et j qui correspondent à ces conditions initiales.
  5. Exprimer la période propre T0 des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m.

II - Etude énergétique

  1. Établir l'expression du travail élémentaire dW d'une force extérieure appliquée à l'extrémité du ressort pour un allongement très petit dx. Déterminer par méthode graphique ou par intégration le travail effectué W par cette force pour un allongement x à partir de l'origine O.
  2. Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique du système {masse - ressort} en fonction de l'allongement x.
  3. Donner l'expression de l'énergie cinétique de la masse m et de l'énergie totale du système.
  4. Quelle est l'hypothèse qui permet d'affirmer, dans cet exercice, que l'énergie totale du système reste constante ? En déduire son expression en fonction k et de l'amplitude maximale x0

III - Application à la molécule de chlorure d'hydrogène :

Notre objectif est d'étudier le mouvement de vibration d'une molécule de chlorure d'hydrogène (HCI). Cette molécule peut-être modélisée par une masse m correspondant à l'atome d'hydrogène, un support immobile correspondant à l'atome de chlore, les deux parties étant reliées par un ressort de constante de raideur k qui représente la liaison entre les deux atomes.

  1. Calculer la période propre T0 pour la molécule de chlorure d'hydrogène sachant que la constante d'Avogadro NA vaut 6,02 x 1023 mol-1, que la masse molaire atomique M de l'hydrogène est de 1,00 g.mol-1 et que la constante de raideur k vaut 510 N.m-1.
  2. Ce système peut fonctionner comme un résonateur, une onde électromagnétique de fréquence n constituant son excitateur. Pour quelle valeur de la fréquence de l'onde observera-t-on le phénomène de résonance ?
  3. Calculer la longueur d'onde dans le vide correspondant à cette fréquence et en déduire dans quel domaine de radiation est située l'onde excitatrice. (Célérité de la lumière : c = 3,00 x 108 m.s-1).
  4. On remplace l'hydrogène par le deutérium noté H de masse double par rapport à celle de l'hydrogène ; que devient la fréquence propre de vibration (ou d'oscillation) ?

corrigé
forces agissant sur la masse m :

action du support verticale vers le haut, valeur R , poids , vertical vers le bas valeur mg, tension du ressort, horizontale, valeur kx.

La seconde loi de Newton s'écrit :

équation différentielle : md²x/dt² +k x =0 soit d²x/dt² + k/m x=0 on pose : w0² =k/m

x(t) = A.sin(w0 t+j )

dériver par rapport au temps : dx/dt = Aw0cos(w0 t+j )

dériver à nouveau par rapport au temps : d²x/dt² = -Aw0²sin(w0 t+j ) = - Ak/msin(w0 t+j )

repport dans l'équation différentielle : - Ak/m sin(w0 t+j ) + Ak/m sin(w0 t+j ) =0 est vérifiée quel que soit t

donc x(t) = A.sin(w0 t+j ) est solution de cette équation différentielle.

Déterminer les constantes A et j qui correspondent à ces conditions initiales :

vitesse initiale[dx/dt]t=0 =0 soit = Aw0cos(j ) = 0 donc j = p/2 ou bien j = -p/2.

x(t=0) =0,02 m soit 0,02 = A.sin(j )

A amplitude positive égale à 0,02 m, donc j = p/2 rad.

période propre T0 des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m :

T0 = 2p/w0 = 2p[m/k]½.


expression de l'énergie potentielle élastique du système {masse - ressort} en fonction de l'allongement x : ½kx².

expression de l'énergie cinétique de la masse m et de l'énergie totale du système : ½mv²

Une masse est libre de se déplacer sans frottement sur un rail horizontal : donc l'énergie mécanique du système est constante.

à t=0 l'énergie cinétique est nulle ; l'énergie potentielle élastique vaut : ½kx²0

énergie mécanique du système : ½kx²0


période propre T0 pour la molécule de chlorure d'hydrogène :

masse (kg) m = 10-3 / NA = 1/ 6,02 x 1023 = 1,66 10-27 kg et k =510 N.m-1.

T0 = 2p[m/k]½ = 6,28[1,66 10-27/510]½=1,13 10-14 s.

fréquence f0= 1/T0 =8,82 1013 Hz.

On observe un phénomène de résonance si la fréquence n de l'onde est égale à la fréquence propre de l'oscillateur élastique.

longueur d'onde dans le vide correspondant à cette fréquence : l0= c/f0= 3 108 / 8,82 1013 = 3,4 10-6 m.

domaine de radiation : UV

On remplace l'hydrogène par le deutérium noté H de masse double par rapport à celle de l'hydrogène :

f0= 1/(2p)[k/m]½ ; si la masse double, la fréquence propre est divisée par racine carrée de deux

8,82 1013 / 1,414 = 6,23 1013 Hz.





fermentation du vin (6,5 points)

 " Le vin est une boisson provenant exclusivement de la fermentation du raisin frais ou du jus de raisin frais ".Telle est la définition légale du vin mais derrière le terme " fermentation " se cachent des transformations que les chimistes ont mis des années à découvrir. Dans les années 1960, on commença à s'intéresser à une autre fermentation qui se produit généralement après la fermentation alcoolique et à laquelle on n'attachait pas trop d'importance jusqu'alors car on pensait qu'il s'agissait d'un achèvement de la fermentation alcoolique. Il s'agit de la fermentation malolactique qui consiste en une transformation totale de l'acide malique présent dans le jus de raisin en acide lactique sous l'action de bactéries. Cette fermentation, longtemps ignorée, a une influence reconnue sur la qualité gustative de certains vins à condition de la conduire convenablement. Les techniques actuelles de suivi de ces fermentations se font par dosage enzymatique ; elles consistent essentiellement à doser l'alcool contenu dans le vin.

Principe du dosage :
Étape 1 : On effectue une distillation du vin de telle façon que l'on recueille une solution incolore contenant tout l'éthanol présent dans le vin.

Étape 2: L'éthanol est oxydé par la nicotinamide-adénine-dinucléotide (NAD+) dans une réaction catalysée par une enzyme spécifique. La réaction produit de la nicotinamide-adénine-dinucléotide réduite (NADH) en quantité de matière égale à celle de l'éthanol dosé selon l'équation :

CH3CH2OH + NAD+ = CH3CHO + NADH + H+ (1).

Étape 3 : On mesure l'absorbance de la NADH par spectrophotométrie à la longueur d'onde de 340 nm lors du dosage.

A - Détermination du degré alcoolique d'un vin :

" On appelle degré alcoolique d'une boisson alcoolisée, le volume (exprimé en mL) d'éthanol contenu dans 100 mL de cette boisson, les volumes étant mesurés à 20°C. " On l'exprime en % vol.

I - Questions préliminaires

  1. Montrer que la réaction (1) est bien une réaction d'oxydo-réduction en faisant apparaître le transfert d'électrons entre les deux couples donnés. Couples d'oxydo-réduction: CH3CHO / CH3CH2OH NAD+ / NADH
  2. Quel est le rôle du catalyseur ?

Il - Étalonnage du spectrophotomètre

On réalise une gamme de quatre solutions étalons; chaque solution étalon contient : NAD+ en excès, le catalyseur, une solution de concentration massique connue en éthanol. On mesure l'absorbance de chaque solution étalon et on obtient les résultats suivants :
Solution étalon
S1
S2
S3
S4
Concentration massique Cm en éthanol en mg.L-1
50
100
200
300
absorbance A
0,08
0,16
0,32
0,48

  1. Lors du réglage initial, quelle valeur doit-on donner à l'absorbance de la solution de référence avant toute mesure ?
  2. Tracer la courbe A en fonction de la concentration massique.Montrer que la représentation graphique est en accord avec la loi de Beer-Lambert A = kCm. Déterminer la valeur de k en L.mg-1.

III - Préparation et dosage de l'éthanol contenu dans le vin

On distille 20 mL de vin ; le distillat est ensuite ajusté à 200 mL avec de l'eau distillée pour obtenir une solution appelée D. On prépare l'échantillon à doser par spectrophotométrie en introduisant : 1 mL de solution D, le catalyseur, NAD+ en excès, dans une fiole jaugée de 50 mL que l'on complète avec de l'eau distillée.

L'absorbance mesurée pour cet échantillon vaut: Ae = 0,30.

  1. Montrer que l'échantillon préparé correspond à une dilution au 1/50e de la solution D.
  2. Par une méthode de votre choix à préciser, déterminer à partir de l'absorbance mesurée Ae la concentration massique en éthanol de l'échantillon étudié.
  3. En déduire la concentration massique en éthanol : a) de la solution D. b) du vin.
  4. Déterminer alors le degré alcoolique du vin.

Donnée: - Masse volumique de l'éthanol supposée constante dans le domaine de concentration considéré: 0,80 kg.L-1.

DEUXIEME PARTIE: cinétique de la fermentation malolactique

L'équation de la fermentation malolactique est : COOH-CH2-CHOH-COOH (Acide malique ) = CH3-CHOH-COOH ( Acide lactique)+ CO2

Le dosage enzymatique de l'acide malique restant dans le vin a donné les résultats suivants pour une température de fermentation maintenue à 20°C

Concentration massique Cm(t) en acide malique (g.L-1)
3,5
2,3
1,6
0,8
0,5
0,27
0
Date t (en jours)
0
4
8
12
16
20
28

  1. Montrer que la concentration molaire en acide malique restant dans le vin à l'instant t s'exprime par: [acide malique] (t) = Cm(t)/134 . En déduire la quantité de matière d'acide malique n acide malique (t = 0) initiale dans un litre de vin.
  2. A l'aide d'un tableau descriptif de révolution de la réaction, montrer que l'avancement à l'instant t de cette réaction pour un litre de vin se met sous la forme :

    x(t) = 2,6 x 10-2 - n acide malique (t)

  3. La courbe représentant les variations de x en fonction du temps t est donnée ci-dessous.

    a) Comment peut-on, à partir du graphe, évaluer la vitesse volumique de réaction à l'instant t ? (aucun calcul n'est demandé).

    b) Commenter l'évolution de la vitesse volumique de la réaction au cours du temps.

  4. Définir et déterminer le temps de demi réaction.

    Données: MC = 12 g.mol-1; MO = 16 g.mol-1 ; MH = 1,0 g.mol-1


corrigé
CH3CH2OH = CH3CHO + 2H+ + 2e- oxydation de l'alcool en aldehyde

NAD+ + H+ + 2e- = NADH réduction

On observe un transfert d'électrons entre la forme réduite CH3CH2OH du premier couple et la forme oxydante NAD+ du second couple.

rôle du catalyseur : un catalyseur accélère la vitesse d'une réaction. Il n'apparaît pas dans le bilan de la réaction.

Lors du réglage initial, l'absorbance de la solution de référence avant toute mesure doit être réglée à zéro.

Le graphe est une droite : l'absorbance est proportionnelle à la oncentration


1 mL de solution D est placé dans une fiole jaugée de 50 mL que l'on complète avec de l'eau distillée : le facteur de dilution est 50 soit une dilution au 1/50e de la solution D.

concentration massique en éthanol de l'échantillon étudié : Ce = Ae /k = 0,30 / 1,6 10-3 = 187 mg/L.

concentration massique en éthanol de la solution D : Ce fois facteur de dilution = 187*50 = 9,37 103 mg/L = 9,37 g/L

soit 9,37*0,2 = 1,87 g d'alcool dans le distillat issu de la distillation de 20 mL de vin.

concentration massique en éthanol du vin : 1,87 / 0,02 = 93,7 g /L

soit 9,37 g d'alcool dans 100 mL de vin

volume d'alcool correspondant : masse (g) / masse volumique (g/mL) = 9,37 / 0,8 = 11,7 mL

degré du vin : 11,7° arrondi à 12°.


concentration molaire en acide malique restant dans le vin à l'instant t :

concentration molaire (mol/L) = concentration massique (g/L) / masse molaire (g/mol)

mlasse molaire de l'acide malique C4H6O5 : 12*4+6+5*16 = 134 g/mol

d'où : concentration molaire en acide malique restant = Cm(t)/134

à t=0, Cm(t=0) = 3,5 g/L d'où C0= 3,5/134 =2,61 10-2 mol/L

n acide malique (t = 0) initiale dans un litre de vin =2,61 10-2 mol

avancement (mol)
COOH-CH2-CHOH-COOH
= CH3-CHOH-COOH
+ CO2
initial
0
2,61 10-2 mol
0
0
en cours d'évolution
x
2,61 10-2 -x
x
x

n acide malique (t) =2,61 10-2 -x soit x =2,61 10-2 -n acide malique (t).

  1. à partir du graphe, la vitesse volumique de réaction à l'instant t est évaluée en déterminant le coefficient directeur de la tangente à la courbe à la date considérée.

    évolution de la vitesse volumique de la réaction au cours du temps : celle ci diminue car le coefficient directeur de la tangente à la date t diminue, la tangente se rapprochant d'une droite horizontale.

le temps de demi réaction est la durée au bout de laquelle l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final.



polonium ( 4 points)

Le Polonium est un élément métallique radioactif rare de symbole Po. Son numéro atomique est 84. Il a été trouvé dans un minerai, la pechblende, en 1898, par le chimiste français Pierre Curie, qui lui donna le nom de la patrie d'origine de son épouse : la Pologne. Le Polonium 210 est le seul isotope que l'on trouve dans la nature. La plupart des isotopes du Polonium se désintègrent en émettant des particules alpha. L'élément constitue donc une source de radiations alpha (a). (d'après http://www.ac-creteil.fr).

Les notations a et 42He sont équivalentes.

On donne un extrait de la classification périodique des éléments :
symbol
Th
Pb
Bi
Po
At
n° atomique
81
82
83
84
85
I - Première Partie :

  1. Qu'est-ce qu'un noyau radioactif ?
  2. Quelle est la composition du noyau de Polonium 210 ?
  3. Écrire l'équation traduisant la désintégration de ce noyau, en indiquant les lois de conservation à respecter.

II - Deuxième partie : Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon de Polonium, non désintégrés à la date t. A t = 0 on note N0 le nombre de noyaux radioactifs initial. Un détecteur de radioactivité a associé à un compteur à affichage numérique permet d'effectuer les mesures regroupées dans le tableau ci-dessous :
t (jours)
0
40
80
120
160
200
240
N(t) / N0
0,82
0,67
0,55
0,45
0,37
0,30

-ln N(t) / N0







  1. Compléter la ligne 3 du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.
  2. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe - In [ ] = f(t) en respectant l'échelle : En abscisse : 1 cm représente 20 jours En ordonnées : 1 cm représente 0,1.
  3. Rappeler la loi de décroissance du nombre de noyaux non désintégrés d'un échantillon contenant initialement N0 noyaux. Est-elle en accord avec la représentation graphique précédente ? Justifier la réponse.
  4. Calculer la pente du graphe et déterminer l constante de radioactivité caractéristique de l'isotope 210 du Polonium. Quelle est l'unité de l ? En déduire la constante de temps t. Quelle est son unité ? Donner l'expression de la durée de demi-vie de l'échantillon notée t1/2 et la calculer.

 


corrigé
un noyau radioactif est un noyau instable qui par fusion ou fission conduit à un (des) noyau(x) plus stable(s) ; cela s'accompagne souvent de l'émision de radiations a, b ou g.

composition du noyau de Polonium 210 : 84 protons et 210-84 = 126 neutrons.

équation traduisant la désintégration de ce noyau 21084Po-->AZX+42He

conservation de la charge : 84=Z+2 soit Z=82, donc X est identifié au plomb Pb

conservation du nombre de nucléons : 210 = A+4 soit A= 206.

t (jours)
0
40
80
120
160
200
240
N(t) / N0
1
0,82
0,67
0,55
0,45
0,37
0,30
-ln N(t) / N0
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1
1,2

loi de décroissance du nombre de noyaux non désintégrés d'un échantillon contenant initialement N0 noyaux : N(t) = N0 exp(-lt)

soit encore N(t) / N0= exp(-lt) ou -ln (N(t) / N0)= lt

le graphe représentant -ln (N(t) / N0) en fonction du temps est une droite de coefficient directeur l : en accord avec la représentation graphique précédente.

unité de l : 5 10-3 j-1 soit 5 10-3 /(24*3600)= 5,8 10-8 s-1.

constante de temps t = 1 /l = 1/5,8 10-8 = 1,7 107 s.

expression de la durée de demi-vie de l'échantillon : t1/2 = ln2 / l = ln2/5,8 10-8 = 1,2 107 s.



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