Aurélie 26/11/05

Oscillateurs mécaniques ;

dipôle (RL) ; cinétique de la saponification de l'éthanoate d'éthyle

d'après bac Amérique du Sud 2005 sans calculatrice

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Oscillateurs mécaniques : 5,5 points .

Les parties A et B sont indépendantes. Dans tout ce qui suit, les frottements sont négligés.

Partie A : pendule simple.

On étudie un pendule simple constitué d'une masse ponctuelle m, attachée à l'une des extrémités d'un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.

Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

L'autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d'équilibre G0, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude bm. Gi est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse. Une position quelconque G est repérée par b , élongation angulaire mesurée à partir de la position d'équilibre.

  1. Étude énergétique.
    - Donner l'expression de l'énergie cinétique en G.
    - On prendra l'origine des énergies potentielles en G0, origine de l'axe des z. On montre que, dans ce cas, l'énergie potentielle en G peut se mettre sous la forme : EP = mgL(1 - cosb ). Donner l'expression de l'énergie mécanique en fonction de m, g, L, v et b. Pourquoi l'énergie mécanique se conserve-t-elle ?
    - Exprimer la vitesse au passage par la position d'équilibre en fonction de g, L et bm. Calculer sa valeur.
    Données : g = 10 m.s-2 ; L = 1,0 m ; cosbm = 0,95.
  2. Isochronisme.
    - Énoncer la loi d'isochronisme des petites oscillations.
    - Choisir l'expression correcte de la période parmi les suivantes, en justifiant par une analyse dimensionnelle :

Partie B : oscillateur élastique.

Un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort (R) à spires non jointives, de raideur k = 4,0 N.m-1. L'ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti. La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l'axe de celle-ci.

On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lorsque le solide (S) est à l'équilibre, son centre d'inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l'axe des abscisses. Le solide est écarté de 10 cm de sa position d'équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0 s.

On procède à l'enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe ci-dessous :

 

  1. Étude dynamique.
    - Reproduire sur la copie le schéma du dispositif expérimental ci-dessus. Représenter et nommer les forces en G, sans souci d'échelle, s'exerçant sur le solide (S).
    - En appliquant la deuxième loi de Newton au solide (S), établir l'équation différentielle (relation entre x et ses dérivées par rapport au temps) régissant le mouvement de son centre d'inertie G.
    - Une solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme : x(t) = Xm cos( 2p/T0 t+j ). (Xm est l'amplitude et j la phase initiale). Retrouver l'expression de la période T0 en fonction de m et de k.
  2. Étude énergétique.
    L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G. Donner l'expression littérale de l'énergie mécanique du système {ressort + solide}, en fonction de k, m, x et sa dérivée première.
    - À partir de l'enregistrement ci-dessus, trouver pour quelles dates l'énergie potentielle élastique du système {ressort + solide} est maximale. Que vaut alors l'énergie cinétique ?
    - Calculer la valeur de l'énergie mécanique du système.

Partie C : comparaison des périodes.

  1. Les comportements des deux pendules précédents sont maintenant envisagés sur la Lune.

    Parmi les hypothèses ci-dessous, choisir pour chaque pendule celle qui est correcte. Justifier.
    Hypothèse 1
    Hypothèse 2
    Hypothèse 3
    T0 ne varie pas
    T0 augmente
    T0 diminue


corrigé
énergie cinétique en G : Ec= ½mv² ( masse m en kg ; vitesse v en m/s ; énergie en joule J)

expression de l'énergie mécanique, somme des énergies cinétique et potentielle.

E= Ec+Ep = ½mv² + mgL(1 - cosb )

En absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve.

ou bien, seul le poids travaille, la tension du fil étant perpendiculaire à la vitesse : en conséquence l'énergie mécanique se conserve.

vitesse au passage par la position d'équilibre :

Au départ en Gi, l'énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur : mgL(1 - cosbm )

Au pasage en G0, l'énergie est sous forme cinétique et la vitesse est maximale vmax : ½mv²max.

L'énergie mécanique se conserve : mgL(1 - cosbm ) = ½mv²max.

gL(1 - cosbm ) = ½v²max ; v²max =2gL(1 - cosbm ) ; vmax = (2gL(1 - cosbm ))½.

vmax = (20(1 - 0,95 ))½= (20*0,05)½= 1 m/s.

loi d'isochronisme des petites oscillations :

Lorsqu’on écarte un pendule simple de sa position d’équilibre d’une abscisse angulaire bm et qu’on l’abandonne à lui même,on constate que, pour des valeurs de bm n’excédant pas une dizaine de degrés, celui-ci effectue des oscillations libres dont la période T est indépendante de bm. On dit que le pendule simple vérifie la loi d’isochronisme des petites oscillations.

analyse dimensionnelle : le second membre doit être homogène à un temps.

2p est sans dimension.

g : accélération en m/s² : longueur / temps² soit[g]= LT² ; L : longueur en mètre

g/L : 1/temps ² soit [g/L]=T-2 ; [racine carrée (g/L)] =T-1

La première expression est fausse ; mais on peut en déduire que la troisième expression est exacte car [racine carrée (L/g)] =T.


l'équation différentielle m x"+ kx=0 s'écrit : x"+k/m x=0 ou encore x"+w²x=0 avec w ²=k/m

Or w = 2p/T0 soit T0 = 2p/ w = 2p racine carrée (m/k).

Expression littérale de l'énergie mécanique du système {ressort + solide}

énergie cinétique : Ec=½mv² avec v=x' ; Ec=½mx'²

énergie potentielle élastique : Ep=½kx²

énergie mécanique : E=½mx'²+½kx².

L'énergie potentielle élastique du système {ressort + solide} est maximale lorsque x=Xm soit aux dates : 0, 1, 2 s.

Lénergie cinétique est nulle à ces mêmes dates ( la tangente à la courbe à ces dates est horizontale : donc x'=0)

Valeur de l'énergie mécanique du système :

en absence de frottement l'énergie mécanique du système se conserve ; il suffit de calculer l'énergie mécanique initiale à t=0, celle-ci se trouve sous forme potentielle élastique :

E= ½kX²m = 0,5*4*0,01 = 0,020 J= 20 mJ.


Sur la Lune glune est environ 6 fois plus petit que gterre. La masse est constante.

la période du pendule est proportionnelle à g : donc si g diminue, la période augmente.

La période de l'oscillateur élastique est indépendante de g ; de plus la masse est constante ; la raideur est une caractéristique du ressort. La période de l'oscillateur élastique ne change pas.





dipôle (RL) (4points)

On se propose d'étudier l'établissement du courant dans un dipôle comportant une bobine et un conducteur ohmique lorsque celui-ci est soumis à un échelon de tension de valeur E. Le conducteur ohmique a une résistance R. La bobine sans noyau de fer doux, a une inductance L ; sa résistance r est négligeable devant R. Les valeurs de E, R, L sont réglables. On dispose d'un système d'acquisition de données et d'un logiciel adapté pour le traitement des données.

On réalise le montage ci-contre :

 

  1. On réalise une première expérience (expérience A) pour laquelle les réglages sont les suivants : L = 0,10 H ; R = 1,0 kW ; E = 6,0 V. À l'instant de date t = 0 s, on ferme l'interrupteur K. On veut suivre l'évolution de l'intensité i du courant en fonction du temps. Quelle tension doit-on enregistrer et quelle opération doit-on demander au logiciel pour réaliser cette observation ? Justifier la réponse.
  2. On obtient le graphe suivant (la tangente à la courbe au point origine est tracée)

    - Déterminer graphiquement la valeur I de l'intensité du courant en régime permanent en explicitant la démarche. Déterminer graphiquement la constante de temps t du dipôle RL étudié en explicitant la démarche. Cette valeur correspond-elle à celle attendue théoriquement ? Justifier la réponse.

  3. Étude analytique. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant i(t).
    En déduire l'expression de l'intensité I du courant en régime permanent. Calculer sa valeur.
  4. Influence de différents paramètres.

    Afin d'étudier l'influence de différents paramètres, on réalise trois autres expériences en modifiant chaque fois l'un de ces paramètres. Le tableau suivant récapitule les valeurs données à E, R et L lors des quatre acquisitions.

    E (V)
    R (kW)
    L (H)
    Expérience A
    6
    1
    0,1
    Expérience B
    12
    1
    0,1
    Expérience C
    6
    0,5
    0,1
    Expérience D
    6
    1
    0,2
    Associer chacun des graphes (2), (3), (4) à une expérience en justifiant précisément chaque choix.
    2

    3

    4


corrigé
La tension aux bornes d'un résistor et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles

Pour suivre l'évolution de l'intensité i du courant en fonction du temps, on suit l'évolution de la tension uBC aux bornes du résistor R. On doit ensuite diviser cette tension uBC par R= 1 kW pour avoir l'image de l'intensité en mA.

valeur I de l'intensité du courant en régime permanent : ordonnée de l'asymptote horizontale. I= 6,0 mA.

constante de temps t du dipôle RL : abscisse de l'intersection de l'asymptote horizontale avec la tangente à l'origine

valeur théorique : t= L/R= 0,1 / 1000 =1,0 10-4 s

accord entre valeurs expérimentale et théorique.

équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant i(t) :

additivité des tensions E= UAB + UBC avec UAB = Ldi/dt = Li' et UBC = Ri

d'où E= Li'+Ri.

En régime permanent dI/dt=I' =0 d'où E = RI soit I= E/R = 6 / 1000 = 0,006A =6,0 mA.


graphe 2 : I= 6 mA ; or I= E/R d'où expérience D

de plus t= 0,2 ms ; or t = L/R : si R inchangée, L doit doubler donc expérience D.

graphe 3 : I= 12 mA ; or I= E/R d'où expériences B ou C

de plus t= 0,2 ms ; or t = L/R : si L inchangée, R doit être divisée par deux donc expérience C.

graphe 4 : I= 12 mA ; or I= E/R d'où expériences B ou C

de plus t= 0,1 ms ; or t = L/R : si L inchangée, R doit être inchangée donc expérience B.



cinétique de la saponification de l'éthanoate d'éthyle ( 6,5 points)

 

  1. L'éthanoate d'éthyle.
    L'éthanoate d'éthyle (C4H8O2) est un liquide incolore de formule semi-développée :
    - Recopier la formule semi-développée sur la copie et entourer le groupement fonctionnel. À quelle famille de composés organiques l'éthanoate d'éthyle appartient-il ?
  2. Saponification de l'éthanoate d'éthyle. C'est la réaction entre l'éthanoate d'éthyle et une solution de soude (par exemple).

    L'équation chimique associée à la réaction s'écrit :

    C4H8O2 (aq) + Na+(aq) + HO-(aq) = Na+(aq) + A-(aq) + B(aq).
    - Écrire la formule semi-développée de l'espèce chimique A-. Donner son nom.
    - La réaction est-elle limitée ou totale ?

  3. Étude expérimentale de la cinétique de la saponification par conductimétrie.

    À un instant choisi comme date t = 0, on introduit de l'éthanoate d'éthyle dans un bécher contenant une solution de soude. On obtient un volume V = 100,0 mL de solution où les concentrations de toutes les espèces chimiques valent c0 = 1,0 10 -2 mol.L-1 = 10 mol.m -3. La température est maintenue égale à 30°C. On plonge dans le mélange la sonde d'un conductimètre qui permet de mesurer à chaque instant la conductivité s de la solution. Le tableau ci-dessous regroupe quelques valeurs.

    t en min
    0
    5
    9
    13
    20
    27
    infini
    s en Sm-1
    0,250
    0,210
    0,192
    0,178
    0,160
    0,148
    0,091
    - Évolution de la transformation. Soit x(t) l'avancement de la transformation à un instant t. Compléter le tableau fourni en annexe à rendre avec la copie.

    Dans ce tableau t = infini correspond à un instant de date très grande où la transformation chimique est supposée terminée.


    C4H8O2 (aq)
    + Na+(aq)
    + HO-(aq)
    = Na+(aq)
    + A-(aq)
    + B(aq)
    instant
    avancement






    0
    0
    c0V
    c0V
    c0V
    c0V
    0
    0
    t
    x(t)

    c0V

    c0V


    infini
    xmax

    c0V

    c0V


    - La conductimétrie. Quelles sont les espèces chimiques responsables du caractère conducteur de la solution ? Pourquoi la conductivité de la solution diminue-t-elle ?

    Données : conductivités molaires ioniques l en S.m².mol-1

    ion Na+(aq) : = 5,0 10 -3 ; ion HO-(aq) : = 2,0 10 -2 ; ion A-(aq) : = 4,1 10 -3

    Exprimer st, valeur de la conductivité de la solution à un instant t en fonction de c0, V, x(t) et des conductivités molaires ioniques.

    Les expressions de s0 et soo, valeurs de la conductivité de la solution à l'instant t = 0 et au bout d'une durée très grande, sont :
    s0 = (lNa+ +lHO- ).c0 ; soo, = ( lNa+ + lA- ).c0 Justifier ces expressions.
    Montrer que l'avancement x(t) peut être calculé par l'expression : x(t) = c0V(s0-st) / (s0- soo)

  4. Étude cinétique.

    La relation trouvée permet de calculer les valeurs de l'avancement x(t) à chaque instant. Le graphe fourni en annexe à rendre avec la copie représente l'évolution de l'avancement x(t) en fonction du temps.

    - Donner l'expression de la vitesse volumique de réaction en précisant les unités.

    - Expliquer la méthode permettant d'évaluer graphiquement cette vitesse à un instant donné.

    - Comment évolue cette vitesse au cours de la transformation chimique ? Quel est le facteur cinétique mis en jeu ?

    - Calculer l'avancement maximal.

    - Définir le temps de demi-réaction. Trouver sa valeur à partir du graphe fourni en annexe.

    - On reproduit la même expérience à une température de 20°C. Tracer, sur le graphe fourni en annexe à rendre avec la copie, l'allure de la courbe obtenue. On justifiera le tracé.


corrigé
l'éthanoate d'éthyle appartient à la famille des esters.

espèce chimique A- : ion éthanoate CH3-COO-.

La réaction de saponification est lente, mais totale.


C4H8O2 (aq)
+ Na+(aq)
+ HO-(aq)
= Na+(aq)
+ A-(aq)
+ B(aq)
instant
avancement






0
0
c0V
c0V
c0V
c0V
0
0
t
x(t)
c0V-x(t)
c0V
c0V-x(t)
c0V
x(t)
x(t)
infini
xmax
c0V-xmax
c0V
c0V-xmax
c0V
xmax
xmax
Les espèces chimiques responsables du caractère conducteur de la solution sont les ions: Na+(aq), HO-(aq) et A-(aq). B est l'alcool éthylique.

Du point de vue de la conductivité, tout se passe comme si on remplaçait l'ion HO-(aq) par l'ion A-(aq) dont la conductivité molaire ionique est cinq fois plus petite : en conséquence, au cours du temps, la conductivité de la solution diminue.

st = lNa+ [Na+] + lHO- [HO-] + lA- [A-]

st = lNa+ c0 + lHO- (c0-x(t)/V) + lA- x(t)/V

à l'instant t = 0 , [A-] =0 donc s0 = (lNa+ +lHO- ).c0 ; au bout d'une durée très grande, [HO-] =0; [A-] = c0 ( réaction totale) donc soo, = ( lNa+ + lA- ).c0 .
s0-st= lNa+ c0 +lHO- c0-lNa+ c0 - lHO- (c0-x(t)/V) - lA- x(t)/V

s0-st= lHO-x(t)/V- lA- x(t)/V = (lHO--lA-)x(t)/V

s0- soo= lNa+ c0 +lHO- c0-lNa+ c0 - lA- c0=lHO- c0- lA- c0 = (lHO-- lA-)c0

s0-st/ (s0- soo)=x(t) / (Vc0) d'où x(t) = c0V(s0-st) / (s0- soo)

expression de la vitesse volumique de réaction : 1/V dx(t) / dt

d'après le graphe x(t) en mmol, t en minute, V en L d'où l'unité de la vitesse : mmol min-1 L-1.

méthode permettant d'évaluer graphiquement cette vitesse à un instant donné : tracer la tangente à la courbe x(t) = f( t) à une date donnée; déterminer le coefficient directeur de la tangente: celui-ci est égal à dx/dt; puis diviser par le volume de la solution V= 0,1 L.

Cette vitesse diminue au cours de la transformation chimique ( la tangente à la courbe se rapproche de l'horizontale) du fait de la diminution des concentrations des réactifs.

xmax = c0V= 0,01*0,1 = 0,001 mol = 1 mmol.

Le temps de demi-réaction est la durée au bout de laquelle l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final ( dans ce cas 1 mmol)

x(t½) = 0,5 mmol

Le graphe donne t½=16 min.

La température est un facteur cinétique : à 20°C la vitesse est à chaque instant inférieure à la valeur de celle-ci à 30°C. La valeur de t½ à 20°C est plus grande que la valeur trouvée ci-dessus.



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