Aurélie novembre 04

Isotopes de l'iode ; spectrophotométrie et titrage

lancer du poids d'après bac Nlle Calédonie ( avec calculatrice).

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Isotopes de l'iode 4 points .
  1. La glande thyroïde produit des hormones essentielles à différentes fonctions de l'organisme à partir de l'iode alimentaire. Pour vérifier la forme ou le fonctionnement de cette glande, on procède à une scintigraphie thyroïdienne en utilisant les isotopes 13153I ou 12353I de l'iode. Pour cette scintigraphie, un patient ingère une masse m= 1 mg d'isotope 13153I. Constante d'Avogadro : NA= 6,02 1023 mol-1 ; masse molaire de l'iode 131 : 131 g/mol.
  2. Donner la composition de l'isotope 13153I.
  3. Montrer que le nombre d'atomes radioactifs initialement présents dans la dose ingérée est égal à 4,6 1015 atomes. Ce nombre sera noté N0 par la suite. L'instant de l'ingestion est pris comme origine des dates (t=0).
  4. L'isotopes 13153I est radioactif b-. Après avoir préciser les lois de conservation utilisées, écrire l'équation de désintégration. On admettra que le noyaux fils produit n'est pas dans un état excité.
    antimoine
    tellure
    iode
    xénon
    césium
    51Sb
    52Te
    53I
    54Xe
    55Cs
  5. La demi-vie de l'isotope 13153I vaut 8,0 jours. Rappeler la loi de décroissance radioactive en faisant intervenir N0 et la constante radioactive l.
    - Définir la demi-vie t½ d'un échantillon radiactif. En déduire la relation ln2 =l t½.
    - Tracer la courbe correspondant à l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux radioactifs dans l'échantillon, en justifiant le raisonnement utilisé. On placera correctement les points correspondant aux instants de dates t½, 2t½ et 3t½.
  6. On rappelle que l'activité A(t), à l'instant de date t, d'un échantillon de noyaux radioactifs est définie par A(t)=|dN(t)/dt|. A partir de la loi de décoissance radioactive montrer que l'activité de l'échantillon à l'instant de date t est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs à cet instant.
    - En déduire l'expression littérale de l'activité A0 de l'échantillon à l'origine des dates, en fonction de N0 et t½. Calculer sa valeur numérique, exprimée dans le système international.
    - Calculer dans le système international, l'activité de l'échantillon à l'instant de l'examen, sachant qu'en général, l'examen est pratiqué 4 heures après l'ingestion de l'iode radioactif.
    - En déduire la perte relative d'activité |DA|/A0=|A(t)-A0|/A0 entre les deux instants évoqués. Cette perte sera calculée et exprimée en pourcentage.
  7. La demi-vie de l'isotope 12353I est 13,2 heures. On considère maintenant que le patient ingère une quantité d'isotope 12353I telle que l'activité initiale de cet isotope soit la même que celle de l'isotope 1.153I trouvée ci-dessus. L'activité A calculée ci-dessus sera t'elle atteinte à après une durée identique, plus petite opu plus grande qu'avec l'isotope 13153I de l'iode ? Justifier. Une méthode graphique peut être utilisée.
     

corrigé
Le noyau 13153I est composé de 53 protons et 131-53=78 neutrons.

Quantité de matière correspondant à 1,00 µg de l'isotope : masse(g) / masse molaire (g/mol)

n =10-6 / 131 =7,63 . 10-9 mol

Dans une mole d'atomes il y a 6,02 1023 atomes :

nombre d'atomes N0 = n NA = 7,63 . 10-9 mol * 6,02 . 1023 = 4,60 1015 atomes 

Equation de désintégration : 13153I = AZX + 0-1e

conservation du nombre de nucléons : 131 =A+ 0 donne A=131

conservation de la charge : 53=Z-1 d'où Z=54 et X est le xénon. 

La loi de décroissance est donnée par : N(t) = N0 e-lt.

La demi-vie représente la durée au bout de laquelle la moitié de la quantité initiale de noyaux radioactifs s'est désintégrée.

à t = t1/2, on a N(t) = ½ N0 = N0 e(-lt½).

ln ½ = -ln2 = -lt½ soit ln2 = l 

A chaque fois qu'une durée égale à une demi-vie s'est écoulée, la moitié des noyaux radioactifs initialement présents disparaît

date
t=0
2t½
3t½
noyaux restant
N0
½N0
0,25 N0
0,125 N0

dériver par rapport au temps : N(t) = N0 e-lt.

dN(t)/dt = N0(-l)e-lt= -lN(t) ; |dN(t)/dt|=A= lN(t)

A t= 0, on a A0 = l N0 ; or l = ln2 / t½ d'où A0 =N0 ln2 / t½

Application numérique : t½=8*24*3600=6,91 105 s ; A0 = 4,6 1015 *ln2/6,91 105= 4,61 109 Bq.

A t = 4 heures = 4*3600= 1,44 104 s : A = lN(t) =lN0e-lt

avec l =ln2 / t½ = ln2/(8*24*3600)=1,0 10-6 s-1 ; l t = 1,0 10-6 *4*3600=1,44 10-2.

A = 4,6 1015 *1,0 10-6 exp(-1,44 10-2)= 4,53 109 Bq.

La perte relative vaut : (4,61-4,53)/4,6=0,017 soit 1,7 %.


La demi-vie de l'iode 12353I est inférieure à celle de l'iode 13153I : en conséquence le nombre de noyaux radioactifs et l'activité de l'iode 12353I diminue plus rapidement. Par conséquent, l'activité A sera atteinte plus rapidement pour l'iode 12353I qu'avec l'iode 13153I.

Par calcul du temps au bout duquel l'activité de l'iode vaut 4,53 109 Bq.

A = A0e-lt

avec l =ln2 / t½ = ln2/(13,2*3600)=1,46 10-5 s-1 ;

4,53 109 = 4,61 109 exp(-1,46 10-5t); exp(-1,46 10-5t)=0,98

-1,46 10-5t = ln 0,98= -1,75 10-2 ; t =1,75 10-2 / 1,46 10-5= 1,84 105 =1198 s voisin de 20 min.





Spectrométrie et titrage (6,5 points)

Les ions iodures I- réagissent avec les ions thiosulfate S2O82-. L'équation associée à cette réaction s'écrit :

2I-(aq) + S2O82-(aq) = I2(aq) + 2 SO42-(aq) (1)

En présence d'ion iodure, le diiode se transforme en triiodure I3- de couleur brune. Pour simplifier l'écritue, on raisonnera à partir de l'équation (1) sans tenir compte de la formation des ions triiodure.

A un instant pris comme origine des dates (t=0), on réalise un mélange réactionnel S à partir d'un volume V1=10,0 mL de solution aqueuse d'iodure de potassium ( K+ ; I-) de concentration molaire en soluté apporté c1= 0,50 mol/L et d'un volume V2 = 10,0 mL d'une solution de peroxodisulfate de sodium (2Na+ ; S2O82-) de concentration molaire en soluté apporté c2=5,0 10-3 mol/L.

  1. Suivi spectrophotométrique de la transformation chimique :
    On souhaite étudier la formation du diiode au cours du temps par spectrophotométrie. Un prélevement du mélange S est introduit rapidement dans la cuve d'un spectrophotomètre dont la longueur d'onde est réglée sur une valeur adaptée à l'absorption par le diiode. On admettra que le diiode est la seule espèce colorée présente dans le mélange et qu'au cours de l'expérience la température de la solution reste constante. Les résultats des mesures d'absorbance sont rassemblés dans le tableau ci-dessous :
    t min
    1
    2
    4
    6
    8
    10
    12
    14
    16
    18
    20
    30
    40
    50
    60
    90
    A
    0,08
    0,13
    0,23
    0,31
    0,39
    0,45
    0,50
    0,55
    0,59
    0,62
    0,65
    0,74
    0,77
    0,79
    0,79
    0,79
    - La spectrophotométrie est une méthode non destructive pour suivre l'évolution d'un système chimique. Proposer une autre méthode de suivi cinétique non destructive.
    - La mesure de l'absorbance A de solutions aqueuses de diiode à différentes concentrations molaires c montre que A est proportionnelle à c. On détermine le coefficient de proportionnalité k à partir du couple de valeurs ( c= 5,0 10-3 mol/L ; A= 1,7). Montrer que k vaut 3,4 102 et indiquer son unité.
    * Montrer que pour le mélange réactionnel S réalisé au début de l'étude, la quantité de matière de diiode formé à l'instant t s'exprime sous la forme nI2(t) = A(t)/k( V1+V2)
    * Calculer la quantité de matière de diiode formé à la date t= 90 min.

    - On note x l'avancement de la réaction à la date t. A cet instant la quantité de diiode formé est x.

    La vitesse volumique de réaction est définie par v= 1/Vs dx/dt où Vs correspond au volume de la solution. Décrire l'évolution de la vitesse au cours du temps en précisant la méthode utilisée et la justifier d'après les connaissances du cours.
    Donner une méthode qui permettrait d'obtenir plus rapidement la même quantité finale de diiode à partir du même mélange réactionnel S.

  2. Titrage du diiode formé après 90 min de réaction :
    On veut vérifier par un titrage la quantité de matière de diiode formé à l'instant de date t=90 min. Pour cela, à cet instant, on introduit dans un erlenmeyer contenant de l'eau glacée un échantillon de volume V= 5 mL du mélange S. A l'aide d'une solution étalon de thiosulfate de sodium (2Na+ ; S2O32-) de concentration molaire en soluté apporté c'= 2,5 10-3 mol/L, on titre le diiode présent dans l'échantillon en présence d'un indicateur coloré de fin de réaction. L'équivalence est atteinte pour un volume versé VE= 9,2 mL. L'équation associée à la réaction de titrage est : I2 + 2S2O32-= 2I-+S4O62-
    - Représenter le schéma annoté du dispositif du titrage.
    - Exprimer littéralement en fonction de c' et de VE la quantité de diiode formé, à l'instant de date t=90 min. Calculer la valeur de cette quantité de diiode formé. Cette valeur est-elle compatible avec celle trouvée ci-dessus.
  3. Etude théorique et bilan comparatif :
    2I-(aq) + S2O82-(aq) = I2(aq) + 2 SO42-(aq) (1)
    Les couples mis en jeu sont I2(aq)/I-(aq) et S2O82-(aq)/SO42-
    - A partir des demi-équations retrouver l'équation (1).
    - La transformation chimique est supposée totale. Compléter le tableau d'avancement ci-dessous.

    2I-
    + S2O82-
    = I2
    + 2 SO42-
    initial




    en cours




    fin





    * En déduire l'avancement maximal et la quantité de matière maximale de diiode formé.
    * On appelle écart relatif d'une valeur expérimentale nexp par rapport à sa valeur théorique nth attendue, le rapport |nexp- nth|/ nth. Comparer les résultats expérimentaux au résultat théorique. Commenter.

corrigé
Réaliser un suivi conductimétrique, la solution contenant des ions dont les concentrations varient.

A = k c d'où k = A/c =1,7 / 5 10-3 = = 3,4 102 L.mol-1.

Quantité de matière en diiode (mol) = concentration (mol/L) * volume de la solution (L)

nI2 (t) = c VTotal = c (V1 + V2) = A(t) / k (V1 + V2)

A t = 90 min, A (t)= 0,79, d'où nI2 =0,79/340( 10 +10)10-3 = 4,6 10-5 mol.

La vitesse volumique v de réaction est proportionnelle à dx/dt, coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré. Or les tangentes à la courbe sont de plus en plus inclinées sur l'horizontale lorsque le temps augmente. Le coefficient directeur de ces droites tangentes,et en conséquence la vitesse, est maximum à t =0 puis diminue pour atteindre une valeur nulle (partie horizontale de la courbe).

La concentration des réactifs, un facteur cinétique, est maximum au départ puis diminue car les réactifs sont consommés : en conséquence la vitesse de réaction diminue au cours du temps.

En augmentant la température (facteur cinétique), on peut obtenir plus rapidement la même quantité final de diiode.


L'équivalence correspond au changement de réactif limitant.

A l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en quantités stoechiométriques

I2
+ 2S2O32- ajouté
= 2I-
+S4O62-
initial
nI2 mol
0
0
0
en cours
nI2 -x
2x=c'V
2x
x
équivalence
nI2 -xéqui=0

nI2 =xéqui

2xéqui=c'VE
2xéqui
xéqui
nI2 =xéqui =0,5 c'VE

nI2 = 0,5* 2,5 10-3* 9,2 10-3 = 1,15 10-5 mol de diiode dans 5 mL

Donc dans 20 mL du mélange réactionnel S : 4*1,15 10-5 = 4,6 10-5 mol.


Les demi-réactions d'oxydoréduction sont

I2/I- : 2 I- = I2 + 2 e- oxydation

S2O82- / SO42- : S2O82- + 2 e- = 2 SO42- réduction


2I-
+ S2O82-
= I2
+ 2 SO42-
initial
c1V1= 0,5*10 10-3

=5 10-3 mol

c2V2= 5 10-3 *10 10-3

= 5 10-5 mol

0
0
en cours
5 10-3 -2x
5 10-5 -x
x
2x
fin
5 10-3 -2xmax
5 10-5 -xmax
xmax
2xmax
si I- en défaut : 5 10-3 -2xmax =0 soit xmax =2,5 10-3 mol

si S2O82-en défaut : 5 10-5 -xmax =0 soit xmax =5 10-5 mol

La quantité maximale de diiode formée nI2 = 5 10-5 mol.

L'écart relatif vaut : (5-4,6)/5 = 0,080 soit 8,0 %.

L'écart est inférieur à 10% : le résultat expérimental est en accord avec le résultat théorique.



Lancer du poids ( 5,5 points)

Lors des derniers championnats du monde, le vainqueur du lancer du poids a réussi un jet à une distance D= 21,69 m. Pour simplifier le raisonnement on ne travaillera que sur le centre d'inertie du boulet ( nom courant donné au poids) .

l'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer. Pour cela il dispose pour le centre d'inertie du boulet, en plus de la valeur 21,69 m du reccord, de la vitesse initiale v0= 13,7 m/s mesurée à l'aide d'un cinémomètre et de l'altitude h=2,62 m. Un mogiciel informatique lui permet de réaliser une simulation de ce lancer et de déterminer la valeur de l'angle du vecteur vitesse initiale avec l'horizontale a=43°.

 

L'entraîneur a étudié le mouvement du centre d'inertie du boulet et a obtenu 3 graphes : le graphe de la trajectoire y=f(x) du boulet, les graphes vx et vy en fonction du temps où vx et vy sont les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse. Pour chacun des graphes, les dates correspondant à deux points successifs sont séparés par le même intervalle de temps.

 

  1. Etude des résultats de la simulation :
    - Etude le la projection horizontale du mouvement du centre d'inertie du boulet. En utilisant la figure 1, déterminer la composante v0x du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet à l'instant de date t=0.
    * La nature du mouvement de la projection du centre d'inertie sur l'axe Ox en justifiant la réponse.
    * La composante vSx du vecteur vitesse du centre d'inertie lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire.
    - Etude des conditions initiales du lacer : en utilisant la figure 2, déterminer la composante v0y du vecteur vitesse à l'instant de date t=0.
    * A partir des résultats précédents, vérifier que la valeur de la vitesse instantannée et l'angle de tir sont compatibles avec les valeurs données dans le texte.
    - Etude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet. Déterminer toutes les caractèristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire.
    * Sur le graphe y= f(x) tracer le vecteur vitesse v0 du centre d'inertie du boulet à l'instant du lancer et le vecteur vitesse vS du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire.( sans souci d'échelle)
  2. Etude théorique du mouvement du centre d'inertie. Le boulet est une sphère de volume V et de masse volumique m=7100 kg/m3. La masse volumique de l'air est m'=1,29 kg/m3.
    - Exprimer littéralement la valeur PA de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur ce boulet ainsi que la valeur P de son poids. Montrer que PA est négligeable devant P.
    - Par application de la seconde loi de Newton, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer le vecteur accélération du centre d'inertie du boulet lors du mouvement. Du fait des faibles vitesses atteintes, les frottements dus à l'air sont négligeables.
    - Dans le repère d'espace defini ci-dessus montrer que les équations horaires du mouvement s'expriment sous la forme : x(t) = v0 cos a t et y(t) = -½gt²+v0sina t + h.
    - En déduire l'équation de la trajectoire du centre d'inertie.
  3. Comment améliorer la performance du lanceur ?
    L'entraîneur veut savoir sur quel(s) paramètre(s) il peut travailler pour améliorer la performance de l'athlète. Celui-ci est plus petit que le recordman du monde, sa taille est telle que l'altitude initiale de ses lancers n'est au maximum que de h'=2,45 m. L'entraîneur décide donc d'étudier l'influence de la valeur de la vitesse initiale v0 et de l'angle de tir a. Il réalise des simulations rassemblées dans les réseaux de courbes des figures 3 et 4.
    Sur la figure 3 l'angle de tir est constant à 41°. Sur la figure 4 la vitesse est maintenue constante v0=13,8 m/s.
    - A partir de ces figures 3 et 4 , entourer dans le tableau ci-dessous, la proposition correcte donnant l'évolution de la longueur du jet pour : a / l'angle a fixé ; b/ la valeur v0 fixée.
    angle a fixé
    vitesse initiale v0 fixée
    Quand v0 augmente, la distance horizontale D du jet :
    Quand a augmente, la distance horizontale D du jet :
    - augmente
    - augmente
    -diminue
    -diminue
    - est la même
    - est la même
    - augmente, passe par un maximum puis diminue
    - augmente, passe par un maximum puis diminue
    - diminue, passe par un minimum puis augmente
    - diminue, passe par un minimum puis augmente

    - Confronter les figures 3 et 4 pour en déduire si parmi les combinaisons proposées il en existe une satisfaisante pour battre le record du monde. Justifier.

corrigé
Quelle que soit la date, en particulier à t=0, et à la date correspondant au passage au sommet S de la trajectoire, la composante v0x de la vitesse est constante et vaut 10,0 m.s-1.

En conséquence, suivant l'axe Ox, le mouvement est uniforme. 

A t = 0, sur la figure 2 on détermine : v0y = 9,40 m.s-1.

La valeur v0 du vecteur vitesse initial est donnée par : v0²= racine carrée (v0y² + v0x²)

v0 =(9,4²+10²)½=13,7 m.s-1.

De plus tan a =v0y/v0x = 9,4/10 = 0,94 ; soit a = 43°

Ces valeurs correspondent à celles données dans le texte. 

Les caractéristiques du vecteur vitesse au sommet S: sa direction est horizontale, son sens est celui du mouvement et sa valeur vS = 10 m.s-1.

 


La valeur de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le boulet : PA = m' V g

La valeur du poids du boulet : P = m g = m V g

Faire le rapport PA/P =m'/m= 1,29/7100=1,8 10-4 soit 0,018 % : la valeur de la poussée d'Archimède est donc négligeable devant le poids du boulet. 

Bilan des forces : le poids (les autres forces sont négligeables)

D'après la 2ème loi Newton, le vecteur accélération est égal au vecteur champ de pesanteur, vertical, dirigé vers le bas, de valeur égale à g. 

Projection du vecteur accélération sur le système d'axes (O,x,y), on a : (0 ; -g)

La vitesse est une primitive de l'accélération : vx(t) = v0x = v0 cos a.

 vy(t) = - g t+ v0y = -g t + v0 sin a.

Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse et à t=0 : x0=0 et y0=h

x(t)=  v0 cos a t (1) ; y(t) = -½gt² + v0 sin a t + h (2)

(1) donne t = x(t)/  v0 cos a

repport dans (2) : y = -½gx²/( v0 cos a )² + tan a x + h

C'est l'équation de la trajectoire du centre d'inertie du boulet.


distance horizontale xmax = D du jet : dériver y par rapport à x et annuler cette dérivée

y'= -gxmax/( v0 cos a )² + tan a =0 ; gxmax = ( v0 cos a )² tan a

D= xmax = v0² sin a cos a /g = v0² sin (2a ) /(2g )

Quand v0 augmente ( a étant constant) la distance horizontale D du jet augmente.

Quand a augmente la distance horizontale D du jet : augmente, passe par un maximum pour a =45° puis diminue. 

On constate sur la figure 3 qu'une simulation dépasse les 21,69 m.

Pour battre le record du monde, il faut avoir (d'après la figure 3) : a = 41° et v0 = 14,0 m.s-1. 



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