Aurélie avril 05

satellites terrestres ; modélisation d'une alarme

titrage et indicateurs colorés d'après bac France 2005

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satellites terrestres :  5,5 pts

Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en œuvre ses connaissances de physique pour les vérifier et les approfondir.

Dans tout l'exercice, on notera :

Masse de la Terre : MT (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O) ; rayon de la Terre : RT ; masse du satellite étudié : mS ; altitude du satellite étudié : h ; constante de gravitation universelle : G

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

1. Le premier satellite artificiel.

Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.

  1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma.
  2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.

2. Les satellites artificiels à orbites circulaires.

Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100 minutes..1. Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique

  1. En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme.
    - Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G.
    - Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette loi n'est pas demandé ici).
  2. Cas d'un satellite géostationnaire
    Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
    - Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
    - On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre

    Montrer que, seule, l'une de ces deux trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
    Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier la réponse.

3. Les satellites artificiels à orbites elliptique.

Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n 'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.

  1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
    La deuxième loi de Kepler, dite " loi des aires ", précise que " des aires balayées par le rayon, reliant le satellite à l'astre attracteur, pendant des durées égales, sont égales ". Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
  2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et 500 km données dans le texte.
  3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.
  4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.

4. Les missions des satellites artificiels.

Aujourd'hui plus de 2 600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de nombreux domaines : téléphonie, télévision, localisation, géodésie, télédétection, météorologie, astronomie. Leur spectre d'observation est vaste, optique, radar, infrarouge, ultraviolet, écoute de signaux radioélectriques.

  1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les limites des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.
  2. La célérité de la lumière dans le vide est 3,0 108 m.s-1, en déduire les limites en fréquence de la lumière visible.
  3. Pourquoi doit on préciser " dans le vide " pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?

 


corrigé
Le satellite est soumis à la seule force de gravitation exercée par la terre, force centripète, dirigée vers le centre de la terre.

Ecrire la seconde loi de Newton suivant l'axe n, pour obtenir l'accélération centripète, de valeur v²/(RT+h)

La force centripète, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas ; en conséquence l'énergie cinétique du satellite n'est pas modifiée et la valeur de la vitesse est constante : le mouvement circulaire est donc uniforme.

Le satellite parcourt une circonférence 2p(RT+h) à la vitesse v, de valeur constante durant une période T

2p(RT+h) = v T

élever au carré puis remplacer v² par GMT/(RT+h)

4p2(RT+h)2 = v2 T2 ; 4p2(RT+h)2 = GMT/(RT+h)T2 ; T= 2p((RT+h)3/ GMT) ½.

T2 /(RT+h)3 =4p2/ GMT. ( 3ème loi de Kepler)

un satellite géostationnaire tourne dans le même sens que la terre, dans le plan équatorial ; ce satellite a la même vitesse de rotation que la terre, en conséquence, pour un observateur terrestre il paraît fixe.

figure 2 : incompatible avec les lois de la mécanique. Le satellite doit se déplacer sur une ellipse dont la terre doit être l'un des foyers, ce qui n'est pas le cas sur la figure 2.

(ou encore d'après la première loi de Kepler le plan de la trajectoire du satellite doit contenir le centre de la Terre)

figure 3 : le satellite ne reste pas à la verticale d'un même point de la surface de la terre, lorsque celle-ci tourne autour de son axe.

figure 1 : la trajectoire correspond au satellite géostationnaire.


lois de Kepler :

loi n°1 : dans le référentiel géocentrique ( dans ce cas) la trajectoire du centre d'un satellite est une ellipse dont la terre est l'un des foyers.

loi n°3 : tous les satellites en orbite autour d'un astre ( ici la terre) sont tels que le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axede l'éllipse est constant T2/a3= cte.

loi des aires : le satellite passe de P à P1 et de A à A1 pendant la même durée : aire S1= aire S2.

Or PT<AT donc arc PP1> arc A A1, en conséquence la vitesse du satellite est plus grande près de P que près de A. La vitesse du satellite varie.

en P ( plus proche de la terre que A ) la vitesse est maximale et en A la vitesse est minimale.


spectre optique :

les limites des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre :

400 nm : limite entre le visible et les UV ; les longueurs d'onde des UV sont inférieures à 400 nm.

800 nm : limite entre le visible et l'infrarouge IR ; les longueurs d'onde de l'infrarouge sont supérieures à 800 nm

les limites en fréquence de la lumière visible. f1 = c/l1= 3 108 / 4 10-7 = 7,5 1014 Hz.

f2 = c/l2= 3 108 / 8 10-7 = 3,7 1014 Hz.

On doit préciser "dans le vide" pour donner des valeurs de longueur d'onde :

la longueur d'onde dépend du milieu où l'onde se propage ( seule la fréquence de l'onde est constante lors d'un changement de milieu).





modélisation d'une alarme : 4 pts

Un élève, dans le cadre de travaux personnels, souhaite étudier un système d'alarme. Après avoir modélisé la mise sous tension du circuit de commande de la sirène (première partie de l'exercice), il cherche à savoir si des phénomènes inductifs peuvent provoquer le déclenchement intempestif de la sirène (deuxième partie de l'exercice).

I. Première partie : fonctionnement simplifié d'une alarme d'appartement

Après avoir mis sous tension l'alarme d'un appartement, il faut pouvoir disposer d'une durée suffisante pour sortir sans la déclencher. Pour cela certains dispositifs utilisent la charge et la décharge d'un condensateur. Le circuit est alimenté par une batterie d'accumulateurs de force électromotrice (f.e.m.) E. Le schéma simplifié de l'alarme est le suivant.

La mise sous tension de l'alarme correspond à la fermeture de l'interrupteur (K). Le circuit de commande de la sirène est tel qu'à la fermeture de la porte de l'appartement, le condensateur est mis en court-circuit (ses armatures sont alors reliées par un fil conducteur non représenté sur le schéma).

  1. Étude de la charge du condensateur dans le circuit RC
    Pour étudier la charge du condensateur de capacité C, l'élève visualise la tension uAB = f(t) à ses bornes à l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. Le circuit de commande de la sirène n 'est pas relié au condensateur lors de cette expérience. L'acquisition commence lors de la fermeture de l'interrupteur (K), le condensateur étant préalablement déchargé. L'élève obtient la courbe uAB = f(t) suivante :

    - Indiquer sur le schéma du circuit les branchements de l'interface pour visualiser uAB = f(t). L'entrée et la masse de l'interface sont respectivement équivalents à une voie Y et à la masse d'un oscilloscope.
    - En utilisant une méthode au choix, déterminer, à partir de la courbe uAB = f(t), la constante de temps t de ce circuit. La construction qui permet sa détermination doit figurer sur la courbe.
    - Donner l'expression de la constante de temps t en fonction des caractéristiques du circuit et vérifier par le calcul la valeur trouvée à la question précédente.

  2. Déclenchement de l'alarme
    Ce circuit commande une sirène qui se déclenche dès que la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur de 8 V. À l'aide de la courbe uAB = f(t) donnée, déterminer la durée D t dont dispose l'habitant pour quitter l'appartement et fermer la porte, en indiquant clairement cette durée sur le graphe.
    - Expliquer pourquoi le fait de fermer la porte empêche l'alarme de se déclencher.

Deuxième partie : l'alarme peut-elle se déclencher de manière intempestive ?
Des phénomènes inductifs peuvent apparaître dans le circuit. Celui-ci est alors analogue à un circuit RLC série. Pour comprendre l'influence de l'inductance l'élève réalise, au laboratoire, le montage ci-dessous, avec les composants dont les caractéristiques sont données :

L'élève enregistre comme dans la première partie de l'exercice la tension uAB = f(t) aux bornes du condensateur, pour deux valeurs de résistance R1 = 160 W et R2 = 2,4 kW . Il obtient les courbes a et b ci-dessous.

 

  1. Donner les noms des régimes associés aux courbes a et b. Indiquer pour chacun d'eux la valeur donnée à la résistance R, en précisant la raison de ce choix.
    Pour étudier les régimes de charge du condensateur, on appliquera les mêmes conclusions que dans le cas de la décharge du condensateur en série avec une bobine et une résistance.
  2. À partir de ces courbes, montrer que l'intensité du courant dans le circuit s'annule au bout d'une durée suffisamment longue.
  3. En appliquant la loi des tensions, trouver la valeur finale de la tension uAB.
  4. Quel inconvénient présenterait le régime associé à la courbe (a) si cette modélisation correspondait au circuit de déclenchement de l'alarme précédente ?
  5. Dans un circuit de capacité C, d'inductance L et de résistance R, on évite les oscillations si la condition suivante est vérifiée : ½R(C/L)½>=1. La valeur de l'inductance dans le circuit d'alarme est supposée inférieure à 1 mH. Dire, en justifiant la réponse, si des oscillations peuvent apparaître dans le circuit d'alarme étudié dans la première partie, immédiatement après la fermeture de l'interrupteur K.

corrigé

L'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote donne un point dont l'abscisse est la constante de temps.

ou bien tracer une horizontale d'ordonnée 0,63*9 = 5,7 V ; à partir de l'intersection avec la courbe tracer la verticale.

t= RC = 47 103 * 1,1 10-3 = 52 s.( valeur est compatible avec celle trouvée graphiquement )

En fermant la porte, le condensateur est mis en court-circuit : la tension à ses bornes s'annule. La tension aux bornes du condensateur ne pouvant plus atteindre 8V ( seuil de déclenchement de l'alarme), l'alarme ne se déclenche pas tant que la porte reste fermée.


régimes associés aux courbes a et b :

courbe a : régime pseudopériodique ; la résistance R n'est pas très élevée (R1 = 160 W).

courbe b : régime apériodique ; la résistance R n'est élevée (R2 = 2400 W).

l'intensité du courant dans le circuit s'annule à partir de t = 4 ms :

la charge q du condensateur est éagle à : q= C uAB.

l'intensité est égale à la dérivée de la charge par rapport au temps : i = dq/dt = C duAB/dt

duAB/dt correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe uAB=f(t) pour une date donnée.

les courbes a et b se rapprochent de l'horizontale vers t= 4 ms : à partir de cette date, la tangente aux courbes a et b est horizontale ( coefficient directeur nul) et en conséquence l'intensité s'annule.

valeur finale de la tension uAB : uAB+uR+uL=E

uR= Ri avec ifin=0 donc uR s'annule.

uL= Ldi/dt avec ifin =0 soit difin/dt = 0 et uL=0.

en conséquence uAB=E= 9 V au dela de t = 4 ms.

Dans le cas de la courbe (a), la tension uAB dépasse plusieurs fois la valeur limite de déclenchement de l'alarme : celle-ci se déclenche par intermittence.

calcul de ½R(C/L)½>=1 avec C= 1,1 10-3 F ; L= 10-3 H ; R= 4,7 104 W.

0,5*4,7 104 (1,1)½ = 2,5 104, valeur bien supérieure à 1 : donc il n'y a pas d'oscillations.



titrage et indicateurs colorés : 6,5 pts.

La première utilisation d'un indicateur coloré pour les titrages acido-basiques remonte à 1767 par W. Lewis. Il employait un extrait de tournesol (...). On utilisait à l'époque des extraits de plantes qui changent de couleur avec l'acidité du milieu (...). On peut en citer quelques-uns parmi les plus connus et les meilleurs : l'artichaut (...) , la betterave rouge (...) , le chou rouge, de loin l'extrait le plus intéressant car sa couleur change nettement suivant la valeur du pH :
pH
0 - 3
4 - 6
7 - 8
9 - 12
13 - 14
couleur
rouge
violet
bleu
vert
jaune
d'après Chimie des couleurs et des odeurs.

1. Des indicateurs colorés en cuisine.

Le chou rouge est un légume riche en fibres et en vitamines, qui se consomme aussi bien en salade que cuit. Mais la cuisson du chou rouge peut réserver des surprises : chou rouge et eau de cuisson deviennent rapidement bleus. Pour rendre au chou sa couleur violette, on peut ajouter un filet de citron ou du vinaigre. Après avoir égoutté le chou, une autre modification de couleur peut surprendre le cuisinier : versée dans un évier contenant un détergent, l'eau de cuisson devient verte.

En utilisant les textes ci-dessus :

  1. Donner la propriété essentielle d'un indicateur coloré acido basique.
  2. Préciser le caractère acide ou basique du vinaigre et du détergent.

2. Des indicateurs colorés pour les titrages.

De nos jours, les indicateurs colorés sont toujours largement utilisés pour les titrages. La pH-métrie est une autre technique de titrage acido-basique qui permet en outre de choisir convenablement un indicateur coloré acido-basique pour ces mêmes titrages. Dans la suite de l'exercice, on s'intéresse au titrage de l'acide éthanoïque de formule CH3-CO2H (noté par la suite HA) contenu dans un vinaigre commercial incolore. La base conjuguée de cet acide sera notée A-.

  1. Dilution du vinaigre. Le vinaigre commercial étant trop concentré pour être titré par la solution d'hydroxyde de sodium disponible au laboratoire, on le dilue dix fois. On dispose pour cela de la verrerie suivante :
    éprouvette
    5 mL
    10 mL
    25 mL
    50 mL
    100 mL
    pipettes jaugées
    1,0 mL
    5,0 mL
    10,0 mL
    20,0 mL

    fioles jaugées
    150,0 mL
    200,0 mL
    250,0 mL
    500,0 mL

    Choisir dans cette liste la verrerie la plus appropriée pour effectuer la dilution. Justifier.
  2. Réaction de titrage. On titre un volume VA = 10,0 mL de la solution diluée de vinaigre par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium (ou soude) de concentration molaire en soluté apporté cB = 1,0 10-1 mol/L. On ajoute un volume Veau = 60 mL afin d'immerger les électrodes du pH-mètre après agitation. Le suivi pH-métrique de la transformation permet de construire la courbe fournie ci-dessous :

    Cette partie a pour but de vérifier que la transformation associée à la réaction de titrage est totale. Pour cela, on déterminera son taux d'avancement final pour un volume VB = 6,0 mL de solution aqueuse d'hydroxyde de sodium versé. Donnée : produit ionique de l'eau à 25°C Ke = 10-14.
    - Écrire l'équation associée à la réaction de titrage.
    - Pour VB = 6,0 mL, déterminer le réactif limitant.
    - Pour VB = 6,0 mL, déterminer l'avancement maximal xmax. On pourra s'aider d'un tableau d'avancement.
    - Après avoir relevé la valeur du pH du mélange obtenu, déterminer la quantité de matière d'ions hydroxyde restante après la transformation dans le volume total de mélange réactionnel.
    - Déterminer le taux d'avancement final et conclure.

  3. Détermination par titrage de la concentration molaire en acide éthanoïque apporté du vinaigre.
    - Déterminer graphiquement le volume de la solution d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence. Préciser la démarche utilisée.
    - Déterminer la valeur de la concentration molaire en acide éthanoïque apporté cA dans le vinaigre dilué et en déduire la valeur de la concentration molaire en acide éthanoïque apporté c0 du vinaigre commercial.
  4. Retour historique...
    On souhaite réaliser un titrage colorimétrique de l'acide éthanoïque contenu dans le vinaigre dilué avec un des deux extraits naturels (artichaut et betterave rouge) utilisés au dix huitième siècle. Pour chaque indicateur coloré, on considère que les teintes sont dues à la prédominance d'une espèce chimique, notée pour sa forme acide et pour sa forme basique. Le pKA des couples sera noté pKi. On donne les valeurs des pKi à 25°C : artichaut : (pKi)1 = 7,5 ; betterave rouge : (pKi)2 = 11,5

    artichaut
    betterave
    pKi
    7,5
    11,5
    teinte pour HAind dominant
    incolore
    rouge
    teinte pour A-ind dominant
    jaune
    jaune
    -En utilisant l'expression de la constante d'acidité Ki, montrer que la relation suivante est vérifiée :
    [A-ind]éq/[HAind]éq= 10pH-pKi.
    On s'interroge sur les couleurs que prendrait le mélange réactionnel lors du titrage calorimétrique de l'acide éthanoïque en présence d'une petite quantité de l'un ou l'autre de ces extraits naturels.
    - La courbe pH-métrique montre que, pour VB = 9,8 mL, le pH de la solution est voisin de 6,5 et que pour VB = 10,1 mL, il est voisin de 10,5. Pour chaque extrait naturel et pour chacun de ces deux volumes VB, déterminer la valeur du rapport [A-ind]éq/[HAind]éq puis compléter la ligne correspondante du tableau.

    artichaut
    betterave
    pKi
    VB =9,8 mL
    VB =10,1 mL
    VB =9,8 mL
    VB =10,1 mL
    [A-ind]éq/[HAind]éq




    couleur




    - En déduire les couleurs observées dans chaque cas. Compléter la ligne correspondante du tableau.
    - Conclure sur l'indicateur coloré le plus adapté pour ce titrage.
    -Pourquoi faut-il choisir un vinaigre incolore pour ce type de titrage ?

corrigé
Un indicateur coloré acido basique est constitué par un couple acide/base dont la forme acide et la forme basique ont des couleurs différentes.

Le vinaigre est acide : le chou est violet en présence de vinaigre.

Le détergent est basique : le chou est vert en sa présence du détergent.

Le facteur de dilution vaut 10 : volume fiole jaugée (mL) / volume pipette jaugée (mL) = 10.

don pipette jaugée 20,0 mL et fiole jaugée 200,0 mL.

réaction du titrage : CH3COOH + HO- --> CH3-COO- + H2O, réaction totale

D'après la courbe, VBE est proche de 10 mL. Si VB = 6 mL, la quantité de matière d'ions HO- versé à la burette est donc inférieure à celle de l'acide HA : l'ion HO- est le réactif limitant.

avncement (mol)
CH3COOH
+ HO-
--> CH3-COO-
+ H2O
initial
x=0
VaCa= 0,01 Ca
n(OH-)0 =VbCb
0
solvant en grand excès
en cours
x
0,01Ca-x
VbCb -x
x
xmax = 6 10-3 * 0,1 =
6,0 10-4 mol.

d'après la courbe le pH est voisin de pH=5 après avoir ajouté 6 mL de soude.

[H3O+]f= 10-pH = 10-5 mol/L.

[HO-] f = 10-14 / [H3O+]f= 10-14 /10-5 = 10-9 mol/L

le volume du mélange est : 10+60 +6 = 76 mL= 7,6 10-2 L

Qté de matière ion hydroxyde : (mol) = volume solution (L) * concentration (mol/L)

n(OH-)f =7,6 10-2 *10-9=7,6 10-11 mol.

xf = n(OH-)0 - n(OH-)f = 6 10-4 - 7,6 10-11 = 6 10-4 mol

taux d'avancement final : t = xf / xmax = 1; la réaction est totale.


A l'équivalence, la dérivée dpH/dt est maximum, on lit sur le graphe, VBE = 10 mL.

On peut aussi utiliser la méthode des tangentes.

A l'équivalence, n(HA)0 = n(HO-) versé à l'équivalence : Ca Va = Cb VBE

Ca = Cb VBE / Va = 0,1* 10 / 10 = 1,0.10-1 mol / L

en tenant compte de la dilution : C0 = 10 Ca = 1,0 mol.L-1.


HAind (aq) + H2O(l) = A-ind (aq) + H3O+ (aq) avec Ki = [A-ind]éq [H3O+]éq /[HAind]éq

logKi = log[A-ind]éq/[HAind]éq+ log[H3O+]éq

log[A-ind]éq/[HAind]éq=logKi-log[H3O+]éq=pH-pKi.

[A-ind]éq/[HAind]éq= 10pH-pKi.

Pour l'artichaut : VB = 9,8 mL, [A-ind]éq/[HAind]éq = 106,5 – 7,5 =0,1

VB = 10,1 mL, [A-ind]éq/[HAind]éq = 1010,5 – 7,5 =103.


artichaut
betterave
pKi
VB =9,8 mL
VB =10,1 mL
VB =9,8 mL
VB =10,1 mL
[A-ind]éq/[HAind]éq
0,1
103
10-5
0,1
couleur
incolore
jaune
rouge
rouge
La betterave ne convient pas comme indicateur coloré car il ne change pas de couleur.

L'artichaut est l'indicateur adapté.

Si le vinaigre est coloré, alors il masque le virage de l'incolore au jaune de l'indicateur.



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