Aurélie novembre 04

Ballon sonde ; méthode d'Euler

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Un ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l'hélium. Une nacelle attachée au ballon emporte du matériel scientifique afin d'étudier la composition de l'atmosphère. En montant, le ballon grossit car la pression atmosphérique diminue. Sa paroi élastique finit par éclater à une altitude généralement comprise entre 20 et 30 kilomètres. Après l'éclatement, un petit parachute s'ouvre pour ramener la nacelle et son matériel scientifique au sol. Il faut ensuite localiser la nacelle, puis la récupérer pour exploiter l'ensemble des expériences embarquées.

Mécanique du vol

L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g, le volume du ballon Vb et la masse volumique r de l'air restent constantes. On modélisera la valeur de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression :

f = K.rair .v² où K est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre d'inertie du système {ballon + nacelle}.

On supposera qu'il n 'y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la direction verticale) et que le volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon. Le système {ballon + nacelle} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.

  1. Condition de décollage du ballon.
    - Etablir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le ballon vient juste de décoller. Indiquer le sens et la direction de chaque force.
    - La poussée d'Archimède. Donner l'expression littérale de la valeur FA de la poussée d'Archimède.
    Soit M la masse du système. Appliquer au système la seconde loi de Newton (seule la relation vectorielle est demandée).
    - La vitesse initiale du ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, à quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération pour que le ballon puisse s'élever ? En déduire une condition sur M
    -. En déduire la masse maximale de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle .
    Données : rair = 1,22 kg.m-3 Vb = 9,0 m3 ; Masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg ; Masse de la nacelle vide : m'= 0,50 kg
  2. Ascension du ballon. Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme : Av²+B= dv/dt et donner les expressions de A et B. La masse de matériel embarqué étant de 2,0 kg, l'application numérique donne A = -0,53 m-1 et B = 13,6 m.s-2.
    - Une méthode de résolution numérique, la méthode d'Euler, permet de calculer de façon approchée la vitesse instantanée du ballon à différentes dates en utilisant la relation suivante :

    v(tn+1) = v(tn) + D v(tn) avec D v(tn) = a(tn)D t
    tn+1 = tn + D t où D t est le pas de résolution.
    - Par cette méthode on souhaite calculer la vitesse v1 à l'instant de date t1 = 0,05 s et la vitesse v2 à l'instant de date t2 = 0,1 s, la vitesse initiale du ballon étant nulle. On prendra D t =0,05 s. En utilisant la méthode d'Euler, l'équation différentielle et les valeurs de A et B, recopier et compléter le tableau suivant :
    Date t en s
    Valeur de la vitesse en m./s
    Valeur de l'accélération a en m./s²
    D v(tn) en m./s
    t0=0
    0
    13,6

    t=0,05



    t=0,10



  3. Vitesse limite du ballon
    - Donner l'expression littérale de la limite vl du ballon en fonction de A et B.
    - Calculer cette vitesse limite.
    La méthode d'Euler donne le graphique suivant :

    -Comparer la vitesse limite calculée à la valeur lue sur le graphique (le calcul de l'écart relatif n'est pas demandé).

Le poids et la poussée d'Archimède varient-ils avec l'altitude

Le tableau suivant donne quelques valeurs de grandeurs mesurées au voisinage de la Terre.

Altitude h (m)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Accélération de là pesanteur (m/s²)
9,8066
9,8036
9,8005
9,7974
9,7943
9,7912
9,7882
9,7851
9,7820
9,7789
Masse volumique de l'air( kg.m-3)
1,22
1,11
1
0,9
0,82
0,73
0,66
0,59
0,52
0,46

  1. Le poids.
    En calculant l'écart relatif , montrer que pour les altitudes figurant dans le tableau précédent, l'accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1 % près. On peut donc considérer que le poids est constant entre les altitudes 0 m et 9 000 m.
  2. La poussée d'Archimède.
    En s'aidant de la phrase soulignée dans l'introduction de l'exercice et en considérant qualitativement l'évolution avec l'altitude de chaque paramètre intervenant dans la poussée d'Archimède (dont la valeur est notée FA), choisir et justifier la conclusion qui convient parmi les propositions suivantes :
    a- F augmente.
    b- F reste constante
    c- F diminue.
    d- On ne peut pas conclure.



corrigé
Le système est soumis à 3 forces:

la poussée d'Archimède, verticale, orientée vers le haut, valeur = poids du volume de fluide (air) déplacé : F= rair Vb g

avec rair : masse volumique de l'air kg m-3 ; Vb : volume du ballon (m3)

le poids du système, verticale, orientée vers le bas, valeur : P= M g

la force de frottement de l'air sur le système, verticale, orientée vers le bas, valeur : f = K.rair .v² ( négligeable au début du mouvement car la vitesse est alors très faible)  

D'après la seconde loi de Newton :

d'où par identification : A = - Krair /M et B = g (rair Vb /M-1).

 Le ballon s'élève si l'accélération est différente de zéro et orientée vers le haut.

Or la vitesse initiale étant négligeable, la force de frottement de l'air est négligeable au moment du décollage.

d'où : F - P = M.a ; rair Vb g - M.g = M.a

a= (rair Vb / M-1)g positives soit : M<rair Vb. 

masse maximale de matériel embarqué m" :

M = m + m' + m'', m + m' + m'' < rair Vb ;   m'' < rair Vb ; - (m + m').

La masse maximale de matériel embarqué:

m" = 1,22 *9 - 2,1 - 0,50 = 8,38 kg.


méthode d'Euler :

v(tn+1) = v(tn) + D v(tn) avec D v(tn) = a(tn)D t

v(t1) = v(t0) + D v(t0) avec D v(t0) = a(t0)D t

D v(t0) = 13,6*0,05 = 0,68 m/s d'où v1=0+0,68 = 0,68 m/s

or l'équation différentielle donne : a(tn)= Av²(tn) +B = -0,53 v² +13,6

 a(t1) = - 0,53*0,682+13,6 = 13,35 m/s²


D v(t1) = 13,35*0,05 = 0,668 m/s d'où v1=0,68 +0,668= 1,348 m/s

 a(t2) = - 0,53*0,6682+13,35 = 13,11 m/s²


D v(t2) = 13,11*0,05 = 0,668 m/s

Date t en s
Valeur de la vitesse en m./s
Valeur de l'accélération a en m./s²
D v(tn) en m./s
t0=0
0
13,6
0,68
t=0,05
0,68
13,35
0,668
t=0,10
1,348
13,11
0,655
vitesse limite vl :

Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement devient rectiligne uniforme (l'accélération est nulle dvl/dt = 0)

l'équation différentielle s'écrit : 0 = Av²l+B soit vl = (-B/A)½.

vl = (-13,6 / (-0,53))½ = 25,66 ½ = 5,06 m/s. 

D'après le graphe la vitesse limite vaut environ 5,1 m.s-1. Ce résultat est en accord avec la vitesse limite calculée.


Le poids et la poussée d'Archimède varient-ils avec l'altitude?

(g9000-g0) / g0=  (9,7789- 9,8066) / 9,8066 = - 0,003 soit - 0,3%

donc l'accélération de pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1% près.

poussée : F= rair Vb g

g est considéré comme constant; rair diminue mais Vb augmente d'après le texte :

donc on ne peut rien conclure quant à l'évolution de la valeur de la poussée ( réponse d)


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