Aurélie nov 05

Une équation au service des sciences physiques.

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Une équation au service des sciences physiques: 9,5 points .

L'équation différentielle dx/dt + ax =b (1), ( a et b étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur radioactive.

A. Dans le domaine des systèmes électriques :

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 ohms ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 ohms, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V.

On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-dessus. L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est obtenue par voie informatique.

La voie EA0 permet de visualiser la tension E et la voie EAl permet de visualiser la tension UBC

  1. Étude expérimentale : la courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique est donnée ci-dessous :

    - Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée.
    - t étant la constante de temps associée au dipôle {bobine-conducteur ohmique}. Donner l'expression littérale de t en fonction des paramètres du circuit.
    - En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit être comprise entre 0,95 H et 1,20 H).

  2. Modèle théorique:
    - En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t).
    - Par identification avec l'équation (1) vérifier que a=(R+r)/L et donner l'expression de b.
    - En déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation différentielle établie.
    - Montrer que cette équation horaire peut s'écrire i(t) = E/(R+r) (1-exp(-t/t)) .
    - Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ?
    - Donner l'expression littérale de i(t) à la date t = t en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?

partie B : dans le domaine mécanique :

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique rfluide a été exploitée grâce à un logiciel.

Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps. Les deux courbes, expérimentale et modélisée, sont proposées ci-dessous, mais ne donnent lieu à aucune exploitation.

 

  1. Exploitation de l'équation v(t) modélisée. L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) (3), avec v(t) en m.s-1 et t en s. Cette équation est identifiable à la solution du modèle mathématique correspondant à b différent de zéro.
    - Déterminer la valeur de a et du rapport b/a . Donner, sans justification, l'unité du rapport b/a .
    - Montrer que l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture dv/dt + 7,58 v = 8,64
  2. Étude du phénomène physique.
    - Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.
    - Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.
  3. Exploitation de la modélisation. La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V. L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2. Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille sont colinéaires au vecteur vitesse mais de sens contraire.
    - En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative à la grandeur variable v(t) vérifie .
    - En déduire l'expression littérale des coefficients a et b de l'équation.
    - Quelle serait la valeur du coefficient b si la poussée d'Archimède était nulle ? Justifier que cette force doit être prise en compte.

C - Dans le domaine de la radioactivité :

Les traceurs radioactifs sont des radio-isotopes très utilisés en imagerie médicale pour l'exploration des organes. Des dispositifs adaptés transforment en image les mesures d'activité enregistrées. Le 11C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson. Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi A(t) = A0exp(-lt) (4).

  1. L'évolution de l'activité d'un échantillon de 11C est donnée sur le graphique 2. On va utiliser ce graphique pour atteindre les grandeurs radioactives caractéristiques du 11C.

    - Montrer par analyse dimensionnelle que l (constante radioactive), est identifiable à l'inverse d'un temps.
    - Rappeler la relation liant l à la constante de temps t du radio isotope. Exprimer la loi d'évolution A(t) en fonction de t.
    - Évaluer graphiquement la valeur de la constante de temps t et en déduire la valeur de l. On prendra par la suite l = 3,40.10-2 min-l.
    - Définir le temps de demi-vie tl/2 , le déterminer graphiquement.

  2. A(t) = A0exp(-lt) étant solution de l'équation différentielle, on se propose d'utiliser la méthode itérative d'Euler pour résoudre cette équation. On rappelle que pour une grandeur variable x(t), la méthode d'Euler permet d'écrire : . Exploiter cette équation pour établir la relation liant A(t+Dt), A(t), l et Dt.
  3. L'activité initiale de la dose injectée au patient est A0 = A(t0) = 3,00.108 Bq. La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Dt pour effectuer les calculs. Justifier que la valeur Dt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.
    - On choisit de faire les calculs avec un pas Dt = 5 min. Recopier et compléter le tableau ci-dessous mettant en parallèle les résultats obtenus avec la méthode d'Euler et ceux obtenus à partir de l'équation théorique (4).
    date (min)
    AEuler (Bq)
    Athéorique (Bq)
    0
    3,00 108
    3,00 108
    5

    2,53 108
    10
    2,07 108

    15
    1,72 108
    1,80 108
    On considérera que le choix de Dt est pertinent si l'écart relatif entre A Euler et A théorique est inférieur à 5%. La valeur proposée pour Dt vous semble-t-elle correctement adaptée ?

 




corrigé
Évaluation graphique de la durée du régime transitoire : 0,25 s

expression littérale de t en fonction des paramètres du circuit : t =L/(R+r)

inductance de la bobine : L= (R+r) t

détermination graphique de t = 0,04 s.

L= (12+11,8)*0,04 = 0,95 H.

loi d'additivité des tensions E= uAB + uBC.

uAB = Ldi/dt + r i et uBC= Ri

E= Ldi/dt + r i +Ri ; di/dt +(R+r)/L i = E/L ; on pose a= (R+r)/L et b = E/L.

équation horaire littérale i(t) d'après le modèle mathématique : i(t) =b/a(1-exp(-at)

i(t) = E/(R+r) (1-exp( -(R+r)t/ L)

dériver par rapport au temps : di/dt = E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L)

repport dans l'équation différentielle :

E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L) + E/L(1-exp( -(R+r)t/ L) = E/L

cette solution valide bien l'équation différentielle.

Sachant que t = L/(R+r), cette équation horaire peut s'écrire i(t) = E/(R+r) (1-exp(-t/t)) .

On appellera I l'intensité en régime permanent : au bout d'un temps suffisamment long le régime permanent est atteint et exp(-t/t) tend vers zéro;

d'où I= E/(R+r) = 6,1 /(12+11,8)= 0,26 A.

en accord avec la valeur expérimentale 0,25A ( écart inférieur à 4 %)

Expression littérale de i(t) à la date t = t en fonction de I :

à la date t = t , exp(-t/t) = exp(-1) = 0,37; 1-0,37 * 0,63 d'où i(t=t) = 0,63 I = 0,63*0,25 = 0,16A

en accord avec la valeur lue sur le graphe.


v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) identifié à : v(t) = b/a (1-exp(-at))

d'où a= 1/0,132 = 7,58 s-1; b/a = 1,14 soit b = 1,14 a= 1,14/0,132=8,64 m s-2.

(1-exp(-t/0,132)) est sans dimension ; le second membre doit être homogène à une vitesse, en conséquence b/a est homogène à une vitesse, exprimée dans ce cas en m s-1.

L'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture : dv/dt + a v=b soit dv/dt + 7,58 v = 8,64

Forces appliquées à la bille :

poids, vertical vers le bas, valeur mg : Vrbilleg

poussée d'Archimède, verticale vers le haut, valeur P= Vrfluideg

force de frottement fluide, colinéaire et de sens contraire à la vitesse, valeur f= kv, ( k=constante)

 

En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, la seconde loi de Newton s'écrit :

mdv/dt = -kv +mg-Vrfluide g ; mdv/dt +kv = mg-Vrfluide g ; mdv/dt +kv = g(m-Vrfluide )

dv/dt + k/m v = g(1-Vrfluide /m).

expression littérale des coefficients a et b de l'équation :

a = k/m et b = g(1-Vrfluide /m).

valeur du coefficient b si la poussée d'Archimède était nulle : b = g

Or l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture dv/dt + 7,58 v = 8,64 dans laquelle b = 8,64, valeur différente de 9,81.

La poussée d'Archimède doit donc être prise en compte.


analyse dimensionnelle : dans l'expression "exp(-lt) " , lt est sans dimension, en conséquence l est homogène à l'inverse d'un temps [l]=T-1.

relation liant l à la constante de temps t du radio isotope : l= 1 / t.

Loi d'évolution A(t) en fonction de t : A(t) = A0 exp(-t/t).

constante de temps t : à t=t, A(t)= A0 exp(-1) = 0,37 A0.

demi vie t½ : durée au bout de laquelle l'activité A(t) est égale à la moitié de l'activité initiale A0.

valeur de l = 1/t = 1/ 30 =3,33 10-2 min-1.

A(t) = A0exp(-lt) ; dA(t)/dt = -A0lexp(-lt) ; dA(t)/dt = -lA(t)

or

relation liant A(t+Dt), A(t), l et Dt : A(t+Dt) = A(t) -lA(t) Dt ; A(t+Dt) = A(t)(1-lDt).

La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Dt pour effectuer les calculs. Ce pas doit être de l'ordre du dixième de la constante de temps, c'est à dire de l'ordre de 3 min : la valeur Dt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.
On choisit de faire les calculs avec un pas Dt = 5 min.

AEuler(5)= A0(1-3,4 10-2*5)=0,83 A0= 0,83*3,00 108 = 2,49108 Bq.

Athéorique(10)= A0exp(-10l)=3,00 108 exp(-3,4*0,1)=2,14 108 Bq.

date (min)
AEuler (Bq)
Athéorique (Bq)
0
3,00 108
3,00 108
5
2,49108
2,53 108
10
2,07 108
2,14 108
15
1,72 108
1,80 108
On considérera que le choix de Dt est pertinent si l'écart relatif entre A Euler et A théorique est inférieur à 5%.

Le plus grand écart est : 0,08/100 / 1,8 = 4,4%

La valeur proposée pour Dt est donc correctement adaptée.



A quoi est due la couleur des fleurs d'hortensias : (2,5 points)

Certaines fleurs, comme celles des hortensias, possèdent des couleurs variées dues à des pigments naturels. Les couleurs rouge, mauve, violette et bleue viennent de la présence d'anthocyanines dans les pétales. La couleur violette est due à la molécule suivante que l'on notera HA dans la suite de l'exercice.

 

  1. Introduction : HA peut appartenir à deux couples H2A+ / HA de pKa1 = 4,3 et HA / A- de pKa2 = 7. L'espèce H2A+ est rouge, l'espèce HA est violette et l'espèce A- est bleue. On rappelle que pKe = 14.
    - Donner la définition d'un acide selon Brönsted.
    - Préciser dans chacun des 2 couples la forme acide et la forme basique.
  2. Comportement de HA en tant qu'acide :
    - Écrire l'équation de la réaction de HA en tant qu'acide avec l'eau.
    - Donner l'expression de la constante d'équilibre de cette réaction. Comment appelle-t-on cette constante ? Donner sa valeur.
    Le pH d'une solution contenant HA est de 10.
    - À partir de l'expression de K, évaluer littéralement, puis calculer le rapport [A-]éq/[HA]éq.
    - En déduire l'espèce prédominante. Conclure sur la couleur de la solution.
  3. Comportement de HA en tant que base :
    - Écrire l'équation de la réaction de HA en tant que base avec l'eau.
    - Donner l'expression de la constante d'équilibre K ' de cette réaction. Quelle est la relation entre Ka1 et K ' ?
  4. Conclusion : couleur des hortensias
    - Placer sur un diagramme les domaines de prédominance des espèces H2A+ , HA et A- suivant les valeurs du pH.
    - Pourquoi les fleurs d'hortensias peuvent-elles changer de couleur suivant la nature du sol ?

 


corrigé
acide : espèce, ion ou molécule susceptible de céder un proton H+.

couple : H2A+ / HA : forme acide : H2A+ ; forme basique HA

couple HA / A- : forme acide : HA ; forme basique A-

équation de la réaction de HA en tant qu'acide avec l'eau. :

HA(aq)+H2O=A-(aq) +H3O+(aq)

expression de la constante d'équilibre, appelée constante d'acidité, de cette réaction :

K= [A-(aq)][H3O+(aq)] / [HA(aq)]= Ka2 = 10-7.

rapport [A-]éq/[HA]éq =K/[H3O+(aq)] = 10-7 / 10-10 = 1000.

l'espèce prédominante est A-, par rapport à HA : la solution est bleue.


quation de la réaction de HA en tant que base avec l'eau

HA(aq) +H2O=H2A+(aq) +HO-(aq)

expression de la constante d'équilibre K ' de cette réaction : K'= [H2A+(aq)][HO-(aq)] / [HA(aq)]

Or H2A+(aq) + H2O=HA(aq) + H3O+(aq)

Ka1 = [HA(aq)][H3O+(aq)] / [H2A+(aq) ] soit [H2A+(aq) ] / [HA(aq)] = [H3O+(aq)] / Ka1

repport dans K' : K'= [H3O+(aq)][HO-(aq)] / Ka1 = Ke/Ka1

domaines de prédominance des espèces H2A+ , HA et A- suivant les valeurs du pH.

Le pH de l'eau du sol absorbée par les plantes dépend du pH de ce dernier ; la sève véhicule l'eau jusqu'aux pétales.

les formes acide et base ayant des teintes différentes, la couleur des fleurs est déterminée par le pH.



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