A aspect statique :

On désire déterminer la constante de raideur k d'un ressort (R) à spires non jointives. Accroché verticalement à une potence le ressort possède une longueur l₀=6,3 cm. On suspend à l'extrémité libre un petit solide de masse m=50 g, le ressort mesure alors l₁=9,8 cm.

1. Représenter les forces appliquées sur le solide.
2. Déterminer la valeur de k, un raisonnement construit est attendu.

B aspect dynamique :

On réalise maintenant un oscillateur dynamique constitué :

- D'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m inconnue pouvant glisser sur un axe horizontal.

- Du ressort (R) de constante de raideur k et de masse négligeable par rapport à m.

 

Lorsque le solide (S) est à l'équilibre, le point G se situe en G₀, à la verticale du point O, choisi comme origine. On écarte le solide de sa position initiale puis on le lâche. Un oscilloscope à mémoire permet d'enregistrer les variations de l'abscisses x du point G en fonction du temps. A une date quelconque on déclenche l'enregistrement. On obtient la figure ci-dessous. Les frottements sont négligeables sur la durée de l'étude.

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par x(t). On pourra utiliser l'écriture simplifiée x'=dx/dt et x'' = d²x/dt².
2. La solution de cette équation est de la forme x(t) = X_m cos(w₀t+j).
   - Etablir l'expression de la pulsation propre w₀ en fonction de m et k.
   - En déduire l'expression de la période propre T₀ ; graphiquement trouver la valeur de T₀.
   - En déduire la valeur de la masse m du solide S.
3. Déterminer graphiquement la valeur de la phase à l'origine j.
4. Déterminer l'expression littérale de la vitesse v(t). En déduire la valeur de la vitesse V₀ à t=0.

C aspect énergétique :

1. Quelle caractéristique présente l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur E_pp du système { solide ressort} ? Justifier. Dans la suite on convient quelle est nulle grâce à un niveau de référence correctement choisi.
2. Etablir l'expression en fonction du temps de l'énergie potentielle élastique E_pk du ressort et de l'énergie cinétique E_c du solide.
3. Démontrer que l'énergie mécanique du système {solide ressort} est constante. Calculer sa valeur.

---

corrigé

---

k(l₁-l₀)= mg soit k = mg / (l₁-l₀) = 0,05*9,8/((9,8-6,3) 10^-2) = 14 N/m.

---

soit x" + k/m x = 0 on pose w₀²= k/m.

d'après le graphe T₀ = 1,5 s. T₀ = 2p/w₀ soit w₀ = 2p/ T₀ = 6,28 / 1,5 = 4,187 rad/s

m= k/w²₀ = 14/4,187²= 0,8 kg.

à t=0, x(0) = -5 cm ; l'amplitude vaut X_m=10 cm

x0) = -5 = 10 cos( 4,187 *0 + j)

cos j = -5/10 = -0,5 soit j = 2,094 rad ou j = -2,094 rad.

vitesse : dérivée de x(t) par rapport au temps : v(t) = -X_m w₀ sin(w₀t+ j)

la vitesse correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe x(t) à la date considérée :

or à t=0 la vitesse V₀ est négative.

V₀= -0,1 *4,187 sin j = -0,4187 sinj d'où le choix de j = 2,094 rad.

V₀= - 0,4187*0,866 = -0,363 m/s.

---

le solide (S) se déplace sur un plan horizontal : l'énergie potentielle de pesanteur est donc constante.

On choisit ce plan comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur : alors E_pp=0.

énergie cinétique de (S) : E_c= ½mv² = ½ X²_m m w²₀ sin²(w₀t+ j) = ½X²_m k² sin²(w₀t+ j)

énergie potentielle élastique : E_pk= ½kx²= ½kX²_m cos²(w₀t+j)

énergie mécanique : E_M= E_pk+ E_c= ½kX²_m ( sin²(w₀t+ j)+cos²(w₀t+j))= ½kX²_m

E_M= 0,5*14*0,1²= 0,07 J.

---

---

Une planète P de masse M_P de notre système solaire possède un satellite naturel S de masse m_S dont le mouvement dans un repère " planétocentrique " peut être considéré comme circulaire et uniforme. Rayon r = 1,2 millions de km ;

période T= 16 jours.

1. Par comparaison avec un repère géocentrique, définir ce qu'est un repère planétocentrique.
2. On peut démontrer la relation T²/r³=4p²/(GM_P), quel nom porte cette relation ?
3. Par un calcul adapté trouver le nom de la planète.

Données : G= 6,67 10^-11 S.I ; M_terre= 6 10²⁴ kg

planète	mercure	vénus	terre	mars	jupiter	saturne	uranus	neptune
MP/Mterre	0,06	0,82	1	0,11	318	94	15	17

On dispose d'un laser Hélium-Nèon de longueur d'onde l= 632,8 nm, d'un écran et de fentes de différentes épaisseurs. On envoie le faisceau de lumière sur l'écran. On intercale ensuite, sur le trajet du rayon, une fente verticale de largeur a située à la distance D de l'écran. On observe sur l'écran une tache centrale lumineuse de largeur L nettement supérieure à a, ainsi qu'une série de taches plus petites de part et d'autre de la tache centrale.

1. Réaliser un schéma légendé du montage expérimental et notamment, veiller à bien représenter l'orientation de la fente et celle de la distribution des tâches observées sur l'écran.
2. Comment se nomme le phénomène observé ? Quelle propriété de la lumière affecte-t-il ?
3. Quelle est la condition sur la largeur a pour pouvoir observer ce phénomène ?
4. L'angle sous lequel est vue la moitié de la tache centrale depuis le centre de la fente diffractante est donné par la relation q =l/a. En utilisant l'approximation des petits angles q (rad) voisin tan q , établir que la largeur de la tache centrale est donnée par la relation L=2lD/a
5. On réalise deux mesures dont les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

   	mesure n°1	mesure n°2
   largeur de la fente (mm)	a1=0,04	a2=0,1
   largeur de la tache centrale (cm)	L1=5	L2=2

   Montrer que ces résultats sont en accord avec la relation L=2lD/a. En déduire la valeur de 2lD.
6. On garde la même distance D et on remplace la fente par un cheveu de diamètre F fixé verticalement sur un support. On observe alors sur un écran une figure semblable dont on mesure la largeur de la tache centrale L=2,5 cm. Déterminer le diamètre F du cheveu.

---

corrigé

---

le phénomène de diffraction prouve que la lumière est une onde ( électromagnétique)

la largueur a de la fente doit être de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde l.

L₁a₁ = 5 10^-2 * 4 10^-5 = 2 10^-6 m².

L₂a₂ = 2 10^-2 * 10^-4 = 2 10^-6 m².

L₁a₁ = L₂a₂ : la relation précédente est donc vérifiée.

diamètre F du cheveu : F *2,5 10^-2 = 2 10^-6 soit F = 2 10^-6 / 2,5 10^-2 = 8 10^-5 m = 80 mm.

On souhaite déterminer la concentration c₀ d'une solution S₀ d'acide nitrique (H₃O⁺ + NO₃^-)

1. On dilue 10 fois cette solution ( soit C₁ la concentration de la solution fille notée S₁). Expliquer comment procéder pour obtenir 100 mL de solution fille, préciser la verrerie utilisée.
2. On dose la solution S₁ par une solution d'hydroxyde de sodium S de concentration C= 0,1 mol/L. On mesure la conductance G pour différents volumes V de solution S versée. On trace la courbe G=f(V).

   - Faire le schéma légendé du dosage.
   - Ecrire l'équation de la réaction mise en jeu lors du dosage.
   - Justifier l'allure de la courbe. Il est préciser que la conductivité molaire ionique l _H3O+ et l _HO- >> l _Na+.
   - Réaliser une construction permettant de déterminer le volume à l'équivalence puis déterminer la concentration de la solution S₀.
   - Pourquoi est-il nécessaire de diluer la solution initiale S₀ ?

espèce	densité	solubilité dans l'eau	solubilité dans l'éther
benzoate de méthyle		très faible	très grande
alcool		très grande	faible
acide carboxylique		très faible	très grande
ion carboxylate		très grande	très faible
ether	0,74	très faible
eau	1		très faible
autres ions		très grande	très faible

pK_a ( acide carboxylique / ion carboxylate) = 4,2.

A - la molécule de benzoate de méthyle C₆H₅-COO CH₃.

1. Ecrire en utilisant les formules semi-développées l'équation de la réaction associée à la formation de l'ester.
2. Préciser les noms de l'acide et de l'alcool utilisés.

B - synthèse du benzoate de méthyle : mode opératoire.

Dans un ballon surmonté d'un réfrigérant on introduit un excès d'alcool, de l'acide carboxylique ainsi que de l'acide sulfurique. On chauffe le ballon du dispositif pendant un certain temps.

1. Quel nom donne-t-on à ce montage ? Faut-il boucher le tube T ( le réfrigérant droit)? Justifier.
2. Donner les caractéristiques de la réaction.
3. Pourquoi chauffe-t-on ? Pourquoi utilise-t-on l'acide sulfurique ?

C- extraction du benzoate de m éthyle.

1. On arrête la manipulation quand la composition du mélange réactionnel n'évolue plus. Que contient le mélange réactionnel ?
2. Pour extraire le benzoate de méthyle du mélange réactionnel on utilise le protocole suivant : ajout d' éther puis prudemment un excès d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. Après agitation on observe alors deux phases.
   - Donner la nature de chaque phase. Avec quel dispositif peut-on les isoler ?
   - Ecrire l'équation de la réaction acido-basique se produisant lors de l'addition de la solution d'hydroxyde de sodium.
   - Quel est l'intérêt de l'ajout de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium.
   - Ce protocole permet-il d'extraire le benzoate de méthyle ? Justifier.
3. Lorsqu'on ajoute la solution aqueuse basique, il peut se produire une réaction parasite. Donner son nom. Ecrire l'équation de la réaction. Peut-on attendre par exemple une nuit avant de réaliser l'extraction ?

D- Etude de l'équilibre chimique

Dans le mélange réactionnel il a été introduit 1 mol d'acide carboxylique et 1,44 mol d'alcool. Quand le mélange réactionnel n'évolue plus, grâce à une extraction méticuleuse on récupère ( sans perte de produit chimique) 108,8 g de benzoate de méthyle.

1. Calculer l'avancement final, dresser un tableau d'avancement.
2. Calculer la valeur K de la constante de cet équilibre.
3. Sachant que cet équilibre d'estérification admet pour valeur de la constante d'équilibre K₁=4 avec un alcool primaire et K₂ = 2,25 avec un alcool secondaire, proposer une explication à cette valeur K atypique.