Manipulateur radio d'après concours 2004 (Caen)

Oscillateur mécanique -satellite- épaisseur d'un cheveu - dosage conductimétrique - synthèse du benzoate de méthyle

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A aspect statique :

On désire déterminer la constante de raideur k d'un ressort (R) à spires non jointives. Accroché verticalement à une potence le ressort possède une longueur l0=6,3 cm. On suspend à l'extrémité libre un petit solide de masse m=50 g, le ressort mesure alors l1=9,8 cm.

  1. Représenter les forces appliquées sur le solide.
  2. Déterminer la valeur de k, un raisonnement construit est attendu.

B aspect dynamique :

On réalise maintenant un oscillateur dynamique constitué :

- D'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m inconnue pouvant glisser sur un axe horizontal.

- Du ressort (R) de constante de raideur k et de masse négligeable par rapport à m.

 

Lorsque le solide (S) est à l'équilibre, le point G se situe en G0, à la verticale du point O, choisi comme origine. On écarte le solide de sa position initiale puis on le lâche. Un oscilloscope à mémoire permet d'enregistrer les variations de l'abscisses x du point G en fonction du temps. A une date quelconque on déclenche l'enregistrement. On obtient la figure ci-dessous. Les frottements sont négligeables sur la durée de l'étude.

 

  1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par x(t). On pourra utiliser l'écriture simplifiée x'=dx/dt et x'' = d²x/dt².
  2. La solution de cette équation est de la forme x(t) = Xm cos(w0t+j).
    - Etablir l'expression de la pulsation propre w0 en fonction de m et k.
    - En déduire l'expression de la période propre T0 ; graphiquement trouver la valeur de T0.
    - En déduire la valeur de la masse m du solide S.
  3. Déterminer graphiquement la valeur de la phase à l'origine j.
  4. Déterminer l'expression littérale de la vitesse v(t). En déduire la valeur de la vitesse V0 à t=0.

C aspect énergétique :

  1. Quelle caractéristique présente l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur Epp du système { solide ressort} ? Justifier. Dans la suite on convient quelle est nulle grâce à un niveau de référence correctement choisi.
  2. Etablir l'expression en fonction du temps de l'énergie potentielle élastique Epk du ressort et de l'énergie cinétique Ec du solide.
  3. Démontrer que l'énergie mécanique du système {solide ressort} est constante. Calculer sa valeur.

corrigé

k(l1-l0)= mg soit k = mg / (l1-l0) = 0,05*9,8/((9,8-6,3) 10-2) = 14 N/m.


soit x" + k/m x = 0 on pose w0²= k/m.

d'après le graphe T0 = 1,5 s. T0 = 2p/w0 soit w0 = 2p/ T0 = 6,28 / 1,5 = 4,187 rad/s

m= k/w²0 = 14/4,187²= 0,8 kg.

à t=0, x(0) = -5 cm ; l'amplitude vaut Xm=10 cm

x0) = -5 = 10 cos( 4,187 *0 + j)

cos j = -5/10 = -0,5 soit j = 2,094 rad ou j = -2,094 rad.

vitesse : dérivée de x(t) par rapport au temps : v(t) = -Xm w0 sin(w0t+ j)

la vitesse correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe x(t) à la date considérée :

or à t=0 la vitesse V0 est négative.

V0= -0,1 *4,187 sin j = -0,4187 sinj d'où le choix de j = 2,094 rad.

V0= - 0,4187*0,866 = -0,363 m/s.


le solide (S) se déplace sur un plan horizontal : l'énergie potentielle de pesanteur est donc constante.

On choisit ce plan comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur : alors Epp=0.

énergie cinétique de (S) : Ec= ½mv² = ½ X²m m w²0 sin²(w0t+ j) = ½X²m k² sin²(w0t+ j)

énergie potentielle élastique : Epk= ½kx²= ½km cos²(w0t+j)

énergie mécanique : EM= Epk+ Ec= ½kX²m ( sin²(w0t+ j)+cos²(w0t+j))= ½kX²m

EM= 0,5*14*0,1²= 0,07 J.




Une planète P de masse MP de notre système solaire possède un satellite naturel S de masse mS dont le mouvement dans un repère " planétocentrique " peut être considéré comme circulaire et uniforme. Rayon r = 1,2 millions de km ;

période T= 16 jours.

  1. Par comparaison avec un repère géocentrique, définir ce qu'est un repère planétocentrique.
  2. On peut démontrer la relation T²/r3=4p²/(GMP), quel nom porte cette relation ?
  3. Par un calcul adapté trouver le nom de la planète.

Données : G= 6,67 10-11 S.I ; Mterre= 6 1024 kg
planète
mercure
vénus
terre
mars
jupiter
saturne
uranus
neptune
MP/Mterre
0,06
0,82
1
0,11
318
94
15
17


corrigé
La planète sert de référentiel. L'origine du repère est le centre de la planète. Les trois axes pointent vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.

T²/r3=4p²/(GMP) : 3ème loi de Kepler.

T = 16*24*3600 = 1,382 106 s ; T² = 1,911 1012 s².

r= 1,2 109 m ; r3 = 1,816 1027 m3.

T²/r3= 1,911 1012 / 1,816 1027 =1,052 10-15.

MP= 4*3,14²/(6,67 10-11 *1,052 10-15)=5,62 1026 kg.

MP/Mterre = 5,62 1026 / 6 1024 = 93,6 donc saturne.



 

On dispose d'un laser Hélium-Nèon de longueur d'onde l= 632,8 nm, d'un écran et de fentes de différentes épaisseurs. On envoie le faisceau de lumière sur l'écran. On intercale ensuite, sur le trajet du rayon, une fente verticale de largeur a située à la distance D de l'écran. On observe sur l'écran une tache centrale lumineuse de largeur L nettement supérieure à a, ainsi qu'une série de taches plus petites de part et d'autre de la tache centrale.

  1. Réaliser un schéma légendé du montage expérimental et notamment, veiller à bien représenter l'orientation de la fente et celle de la distribution des tâches observées sur l'écran.
  2. Comment se nomme le phénomène observé ? Quelle propriété de la lumière affecte-t-il ?
  3. Quelle est la condition sur la largeur a pour pouvoir observer ce phénomène ?
  4. L'angle sous lequel est vue la moitié de la tache centrale depuis le centre de la fente diffractante est donné par la relation q =l/a. En utilisant l'approximation des petits angles q (rad) voisin tan q , établir que la largeur de la tache centrale est donnée par la relation L=2lD/a
  5. On réalise deux mesures dont les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

    mesure n°1
    mesure n°2
    largeur de la fente (mm)
    a1=0,04
    a2=0,1
    largeur de la tache centrale (cm)
    L1=5
    L2=2
    Montrer que ces résultats sont en accord avec la relation L=2lD/a. En déduire la valeur de 2lD.
  6. On garde la même distance D et on remplace la fente par un cheveu de diamètre F fixé verticalement sur un support. On observe alors sur un écran une figure semblable dont on mesure la largeur de la tache centrale L=2,5 cm. Déterminer le diamètre F du cheveu.

corrigé

le phénomène de diffraction prouve que la lumière est une onde ( électromagnétique)

la largueur a de la fente doit être de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde l.

L1a1 = 5 10-2 * 4 10-5 = 2 10-6 m².

L2a2 = 2 10-2 * 10-4 = 2 10-6 m².

L1a1 = L2a2 : la relation précédente est donc vérifiée.

diamètre F du cheveu : F *2,5 10-2 = 2 10-6 soit F = 2 10-6 / 2,5 10-2 = 8 10-5 m = 80 mm.



On souhaite déterminer la concentration c0 d'une solution S0 d'acide nitrique (H3O+ + NO3-)

  1. On dilue 10 fois cette solution ( soit C1 la concentration de la solution fille notée S1). Expliquer comment procéder pour obtenir 100 mL de solution fille, préciser la verrerie utilisée.
  2. On dose la solution S1 par une solution d'hydroxyde de sodium S de concentration C= 0,1 mol/L. On mesure la conductance G pour différents volumes V de solution S versée. On trace la courbe G=f(V).

    - Faire le schéma légendé du dosage.
    - Ecrire l'équation de la réaction mise en jeu lors du dosage.
    - Justifier l'allure de la courbe. Il est préciser que la conductivité molaire ionique
    l H3O+ et l HO- >> l Na+.
    - Réaliser une construction permettant de déterminer le volume à l'équivalence puis déterminer la concentration de la solution S0.
    - Pourquoi est-il nécessaire de diluer la solution initiale S0 ?


corrigé
fiole jaugée 100 mL et piette graduée 10 mL

prélever 10 mL de la solution mère S0 à l'aide de la pipette (+ pipeteur)

placer dans la fiole jaugée et compléter avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge.

H3O+ + HO- = 2H2O

avant l'équivalence : les ions oxonium sont en escès dans le bécher. Tout ce passe comme si on remplaçait les ions oxonium par les ions sodium de conductivité moindre; donc la conductivité et la conductance vont diminuer.

après l'équivalence : on ajoute des ions sodium et hydroxyde : donc la conductivité et la conductance vont croître.

le volume à l'équivalence est obtenu à l'intersection des deux droites.

En diluant 10 fois S0, il ne faut ajouter que 5 mL de soude dans 100 mL de S1 pour atteindre l'équivalence.

on peut considérer que le volume dans le bécher ne varie pratiquement pas.

d'autre part pour des concentrations faibles, conductance et concentration sont proportionnelles.

à l'équivalence : 5*0,1 = 100 C1 soit C1 = 5 10-3 mol/L

C0 = 5 10-2 mol/L.



espèce
densité
solubilité dans l'eau
solubilité dans l'éther
benzoate de méthyle

très faible
très grande
alcool

très grande
faible
acide carboxylique

très faible
très grande
ion carboxylate

très grande
très faible
ether
0,74
très faible

eau
1

très faible
autres ions

très grande
très faible
pKa ( acide carboxylique / ion carboxylate) = 4,2.

A - la molécule de benzoate de méthyle C6H5-COO CH3.

  1. Ecrire en utilisant les formules semi-développées l'équation de la réaction associée à la formation de l'ester.
  2. Préciser les noms de l'acide et de l'alcool utilisés.

B - synthèse du benzoate de méthyle : mode opératoire.

Dans un ballon surmonté d'un réfrigérant on introduit un excès d'alcool, de l'acide carboxylique ainsi que de l'acide sulfurique. On chauffe le ballon du dispositif pendant un certain temps.

  1. Quel nom donne-t-on à ce montage ? Faut-il boucher le tube T ( le réfrigérant droit)? Justifier.
  2. Donner les caractéristiques de la réaction.
  3. Pourquoi chauffe-t-on ? Pourquoi utilise-t-on l'acide sulfurique ?

C- extraction du benzoate de m éthyle.

  1. On arrête la manipulation quand la composition du mélange réactionnel n'évolue plus. Que contient le mélange réactionnel ?
  2. Pour extraire le benzoate de méthyle du mélange réactionnel on utilise le protocole suivant : ajout d' éther puis prudemment un excès d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. Après agitation on observe alors deux phases.
    - Donner la nature de chaque phase. Avec quel dispositif peut-on les isoler ?
    - Ecrire l'équation de la réaction acido-basique se produisant lors de l'addition de la solution d'hydroxyde de sodium.
    - Quel est l'intérêt de l'ajout de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium.
    - Ce protocole permet-il d'extraire le benzoate de méthyle ? Justifier.
  3. Lorsqu'on ajoute la solution aqueuse basique, il peut se produire une réaction parasite. Donner son nom. Ecrire l'équation de la réaction. Peut-on attendre par exemple une nuit avant de réaliser l'extraction ?

D- Etude de l'équilibre chimique

Dans le mélange réactionnel il a été introduit 1 mol d'acide carboxylique et 1,44 mol d'alcool. Quand le mélange réactionnel n'évolue plus, grâce à une extraction méticuleuse on récupère ( sans perte de produit chimique) 108,8 g de benzoate de méthyle.

  1. Calculer l'avancement final, dresser un tableau d'avancement.
  2. Calculer la valeur K de la constante de cet équilibre.
  3. Sachant que cet équilibre d'estérification admet pour valeur de la constante d'équilibre K1=4 avec un alcool primaire et K2 = 2,25 avec un alcool secondaire, proposer une explication à cette valeur K atypique.

corrigé
C6H5-COO H + CH3OH = C6H5-COO CH3 + H2O

acide benzoïque + méthanol ( alcool primaire)


chauffage à reflux : on ne bouche pas l'extrémité du tube T ( réfrigérant droit ou colonne de Vifreux) car la surpression ferait sauter le bouchon

réaction d'esterification, lente , athermique, limitée par l'hydrolyse de l'ester.

En travaillant à température modérée, la réaction est plus rapide.

l'acide sulfurique est un catalyseur.


Le mélange réactionnel contient : l'acide benzoïque, le méthanol, le benzoate de méthyle, de l'eau, l'acide sulfurique.

la phase inférieure la plus dense contient l'eau, l'acide sulfurique, le méthanol, le benzoate de sodium, la soude en excès

la phase supérieure, la moins dense contient le benzoate de méthyle dans l'ether.

On peur réaliser une séparation dans une ampoule à décanter.

acide sulfurique : H3O+ + HO- = 2H2O

acide benzoïque :C6H5-COO H+ HO- = C6H5-COO - + H2O

la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium fait passer en milieu neutre ou basique et transforme l'acide benzoïque restant ( soluble dans l'ether) en ion benzoate, insoluble dans l'éther, mais soluble dans l'eau : ce protocole permet d'isoler le benzoate de méthyle dans l'ether.

réaction parasite : saponification de l'ester, lente

C6H5-COO CH3 + HO- = C6H5-COO - + CH3OH

on ne peut pas attendre une nuit avant de réaliser l'extraction, car une partie de l'ester sera saponifié.



C6H5-COO H
+ CH3OH
= C6H5-COO CH3
+ H2O
initial
1 mol
1,44 mol
0
0
en cours
1-x
1,44-x
x
x
équilibre (fin)
1-xéq
1,44-xéq
xéq
xéq
masse molaire ester : 8*12+8*2*16 = 136 g/mol

xéq = 108,8 / 136 =0,8 mol

K=x²éq /((1,44-xéq)(1-xéq)) = 0,8²/(0,64*0,2) = 5.

K= [ester]éq[eau]éq/([acide]éq[alcool]éq.

pour un alcool primaire la constante d'équilibre vaut 4 ; pour un alcool secondaire la constante d'équilibre vaut 2,25 ; dans ce dernier cas , la quantité d'ester formé à l'équilibre est inférieure à celle obtenue avec un alcool primaire.



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