Mathématiques.
Concours TSPEI 2023.
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Exercice 1 :
On considère la fonction numérique f définie par f(x) =(4x-2) / (x+1) et on notera Cf sa courbe représentative dans un
repère orthonormal.
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction f.
Le dénominateur ne peut pas être nul : x diffère de -1. Df = ]-oo ; -1[ union ]-1 ; +oo[.
2. Donner les valeurs exactes de f(−2), f(3 /4) et f(1) sous la forme la plus simple.
f(-2)=(-8-2) / (-2+1) = 10 ;
f(3/4) = (3-2) / (3/4+1) = 1 /(7 /4) = 4 / 7.
f(1) = 2 / 2 = 1.
3.(a) Dresser le tableau de variations complet (incluant les limites) de f sur ] − 1;+1[.
Calcul de f '(x) en posant u = 4x-2 et v = x+1 ; u' = 4 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =[4x+4-(4x-2)] / (x+1)2 = 2 / (x+1)2 .
f '(x) >0, f(x) est strictement croissante.
(b) En déduire que Cf admet des asymptotes en −1 et en +1 dont on donnera des équations cartésiennes.
Limites de f(x) en +oo et en -oo : mettre x en facteur commun et simplifier.
f(x) = (4 -2 /x) / (1+1/x).
-2/x et 1 / x tendent vers zéro.
Limite en -1- : le numérateur tend vers -6 ; le dénominateur tend vers 0- ; f(x) tend vers +oo.
Limite en -1+ : le numérateur tend vers -6 ; le dénominateur tend vers 0+ ; f(x) tend vers -oo.
Equations des asymptotes : y = 4 et x = -1.
4. On définit la suite réelle (un) par :
u0 = 3 et pour n entier naturel, un+1 = f(un) c’est à dire un+1 =(4un − 2) / (un + 1).
On admettra que pour tout n on a un > 1.
(a) Calculer u1 et u2.
u1 =(4u0 − 2) / (u0 + 1)=10 / 4 = 5 /2 =2,5.
u2 =(4u1 − 2) / (u1 + 1)=10 / 4 = 8 / 3,5 = 16 /7.
(b) On définit une suite (wn) à partir de la suite (un) en posant pour tout n entier naturel, wn =(un − 2) / (un - 1).
Démontrer que la suite (wn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
wn+1 =(un+1 − 2) / (un+1 - 1) =[(4un − 2) / (un + 1) -2] / [(4un − 2) / (un + 1)-1].
wn+1 =(2un-4) /(3un-3) =2 / 3 [(un − 2) / (un - 1)] = 2 /3 wn.
La suite (wn) est géométrique de raison q = 2 /3 et de premier terme w0 = 0,5.
(c) Donner l’expression de wn en fonction de n.
wn=0,5 x (2/3)n.
(d) En déduire l’expression de un en fonction de n.
0,5 x (2/3)n =(un − 2) / (un - 1).;
un x0,5 x (2/3)n -0,5 x (2/3)n =un − 2 ;
un [1-0,5 x (2/3)n ]=2-0,5 x (2/3)n ;
un =[2-0,5 x (2/3)n] / [1-0,5 x (2/3)n ]
(e) Justifier que la suite (un) converge et calculer sa limite.
0,5 x (2/3)n+1 < 0,5 x (2/3)n]
Don un+1 < un. La suite est décroissante.
Quand n tend vers plus l'infini, (2 /3)n tend vers zéro et un tend vers 2
La suite un est décroissante et bornée, donc elle converge. Sa limite est 2.
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Exercice 2 :
On considère trois types de motorisation pour les voitures vendues en France en 2022 :
• Thermique (exclusivement thermique) :
1 147 354 neuve et 3 246 259 occasion.
• Electrique (exclusivement électrique)
207 430 neuve et 677 950 occasion.
• Hybride
174 251 neuve et 1 203 746 occasion.
Dans cette étude, une voiture possède un et un seul de ces trois types de motorisation.
Le détail des ventes de voitures en France en 2022 est donné par le tableau d’effectifs suivant :
On choisit au hasard une voiture vendue en 2022 en France.
1. Calculer la probabilité qu’elle ait été achetée d’occasion.
Total des voitures : 6 656 990
(3 246 259 + 677 950 +1 203 950) / 6 656 990~0,770.
2. Calculer la probabilité que ce soit une voiture électrique achetée neuve.
207 430 / 6 656 990~0,031.
3. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’une voiture hybride ou électrique.
(207 430+677 950+174 251+677 950) / 6 656 990=0,340.
4. On choisit une voiture hybride. Quelle est la probabilité qu’elle ait été achetée neuve ?
174 251 /(174 251 +1 203 746)~0,126.
5. On choisit une voiture neuve. Quelle est la probabilité que ce soit une voiture électrique ?
Nombre de voitures neuves : 1 147 354 +207 430 +174 251=1 529 035.
207 430 / 1 529 035~0,136.
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