Mathématiques, concours TSEEAC 2024 .

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Question 1.
L'assertion suivante est vraie :
8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125 sont les premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 8.
Réponse D

Question 2.
L'assertion suivante est vraie :
A. Si la suite (un) tend vers +oo et si la suite (vn) tend vers -oo, alors la suite (un+vn) tend vers 0. Faux.
Exemple : un = 2n ; vn = -3 *2n ; un+vn =-2 *2n tend vers -oo.
B. Si la suite (un) tend vers +oo et si la suite (vn) converge vers un réel non nul, alors la suite (un x vn) ne converge pas. Vrai.
C. La suite (un) est de signe constant et  (un) tend vers zéro quand n tend vers +oo ; la suite (vn) converge vers un réel non nul.
Alors la suite (vn / un) ne converge pas. Vrai.
D. Si (un) et (vn) convergent, alors la suite( un / vn) convergent. Faux.
Contre exemple un = 1/2n et vn = 1/3n ; un /vn = (3/2)n ne converge pas.

 Question 3. L'espace est rapporté à un repère orthonormé.
A(1 ; -3½ ; 0) ; B(1 ; 3½ ; 0) ; D(0 ; 0 ; 2*2½).
Droite (d) de représentation paramétrique : x =t ; y = 0 ; z =2½t avec t réel.
Le point E, intersection du plan (ABD) et de la droite (d) a pour coordonnées :
Equation du plan (ABD) : ax +by +cz +d = 0.
A appartient à ce plan : a-3½b+d = 0. (1)
B appartient à ce plan : a+3½b+d = 0. (2).
(1)-(2) donne : b =0.
D appartient à ce plan : 2*2½c+d = 0 ; c = -d/(2*2½)  et a = -d.
-dx -d/(2*2½)z +d = 0.
-x-z/(2*2½) +1 = 0 ;
E appartient au plan(ABD) et à la droite (d) : -t-2½t /(2*2½)+1=0.
-t-½t+1=0 ; 1,5t =1 ; t=1/1,5=2/3.
E( 2/3 ; 0 ; 2*2½/3). Réponse A.

 Question 4.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé.
Coordonnées des sommets du tétraèdre ABCD :
A(1 ; -3½;0) ; B((1 ; 3½;0) ; C(-2 ; 0 ; 0) ; D( 0 ; 0 ; 2*2½).
A. Le triangle ABC est équilatéral et le centre de son cercle circonscrit G a pour coordonnées (0 ; 0 , 1). Faux.
AB =((1-1)2+(3½+3½)2+0)½ =12½=2 *3½.
AC =((-2-1)2+(3½)2+0)½ =12½=2 *3½.
BC =((-2-1)2+(-3½)2+0)½ =12½=2 *3½.
Le triangle ABC est équilatéral.
Soit G(x ; y ; z) les coordonnées du cercle circonscrit au triangle ABC :
OA2 =(1-x)2+(-3½-y)2+z2 .
OB2 =(1-x)2+(3½-y)2+z2 .
OA2 =OB2 ; (-3½-y)2=(3½-y)2 ; 3+2*3½y+y2=3-2*3½y+y2 ; y=0.
OC2 =(-2-x)2+y2+z2 =(-2-x)2+z2 ;
OA2 =OC2 ; (1-x)2+3+z2 .=(-2-x)2+z2 ;  (1-x)2=(-2-x)2 ; 1-2x+x2=4+4x+x2 ; 6x=-3 ; x = -½.
OG( -½ ; 0 ; 0).
B. Le triangle ABC est quelconque. Faux.
C. Le tétraèdre ABCD est quelconque. Faux.
AD =((0-1)2+(0+3½)2+8)½ =12½=2 *3½.
BD =((0-1)2+(0-3½)2+8)½ =12½=2 *3½.
Le triangle ABD est équilatéral.
CD =((0+2)2+02+8)½ =12½=2 *3½.
BD =((0-1)2+(0-3½)2+8)½ =12½=2 *3½.
Le triangle BCD est équilatéral.
CD =((0+2)2+02+8)½ =12½=2 *3½.
AD =((0-1)2+(0+3½)2+8)½ =12½=2 *3½.
Le triangle ACD est équilatéral.
D. Le tétraèdre ABCD est régulier. Vrai.
 Les  4 faces sont des triangles équilatéraux.

 Question 5.
A. Deux points définissent toujours une droite unique. Faux.
Deux points distincts définissent toujours une droite unique.
B. Trois points définissen toujours un plan unique. Faux.
Trois points distincts définissen toujours un plan unique.
C. L'intersection de deux plans peut être un point. Faux.
L'intersection de deux plans dans l'espace tridimentionnel est une ligne.
D. Dans l'espace deux droites non sécantes sont parallèles. Faux.
Dans l'espace deux droites coplanaires non sécantes sont parallèles.

Question 6 . f(x) =6 ln(2x) ; g(x) =f(2x) pour x strictement positif.
Les deux courbes représentatives de f et g sont notées Cf et Cg.
A. Cf est strictement au dessus de Cg. Faux.
6 ln(2x) - 6 ln(4x) = 6( ln(2x)-ln(4x)) =6 ln(2/4) = 6 ln(0,5) < 0.
B. Cf est strictement en dessous de Cg. Vrai.

C. Cf et Cg admettent deux points d'inflexion. Faux.
D. Cf et Cg admettent un unique point d'inflexion. Faux.
f '(x) = 6 /(2x) = 3 /x ; f "(x) =-3 /x2.
g '(x) = 6 /(4x) = 1,5 /x ; g "(x) =-1,5 /x2.
Les dérivées secondes ne s'annulent pas et ne changent pas de signe.

 Question 7. f(x)=1/(x(x2-1)) sur ]1 ; +oo[

On identifie : a = -1 ;b=c ; a+b+c=0 ; -1+2b=0 ; b = c = 0,5.
Primitive de f(x) : F(x) = -ln(x) +0,5 ln(x-1) +0,5 ln(x+1) = -ln(x) +ln(x-1)½ +ln(x+1)½ =ln((x-1)½(x+1)½ /x).
Réponse A

Question 8.
Coordonnées des points A, B, C : (A(1 ; 2 ; 3) ; B(-1 ; 5 ; 4) ; C(-1 ; 0 ; 4).
Equation paramètrique de la droite (AB) passant par le point C.
Coordonnées du vecteur AB : -1-1 ; 5-2 ; 4-3 soit (-2 ; 3 ; 1).
Equation paramètrique de la droite (AB) :
x = -2t+xC = -2t -1.
y = 3t+yC =3t.
z = t+zC = t+4 avec t réel.
Réponse C.

 Question 9.Soit l'algorithme :
Fonctionf(n)
u=5
Pour k variant de 1 à n
u =0,5u+0,5(k-1)-1,5
Fin de pour
Renvoyer u.
 Le nombre renvoyé par appel de f(3) est :
u1= 0,5*5 +0,5(1-1)-1,5 =1.
u2 = 0,5+0,5(2-1)-1,5 =-0,5.
u3=-0,5*0,5 +0,5(3-1)-1,5 = -0,75.
 Réponse C

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 Question 10.
f(x) = x2+x-2 ; g(x) =-0,25x2-2x-2.
Soient Cf et Cg les courbes représentatives de ces fonctions.

x2+x-2 >-0,25x2-2x-2.
1,25x2+3x > 0 ; x( 1,25x+3) >0.

. Réponse B

Question 11.
A. La dérivée de f(x) = exp(3-x2)  * exp(x2+1) est la fonction nulle. Vrai.
f(x) =exp(3-x2+x2+1) = exp(4) ; f '(x) = 0.
B. La dérivée de g(x) = 3x * exp(3+5x2)  est g'(x) = (30x+3) exp(5x2+3). Faux.
On pose u = 3x ; v = exp(3+5x2)  ; u' = 3 ; v' = 10x exp(3+5x2).
u'v+v'u = 3 exp(3+5x2) +30x2 exp(3+5x2) = (3+30x2)exp(3+5x2)
C. La dérivée de h(x) = exp(2-x2) / (2x)  est h'(x) =(2x2+1) exp(2-x2) /x2. Faux.
On pose u = exp(2-x2) ; v = 2x ; u' = -2x exp(2-x2) ; v' = 2.
(u'v-v'u) / v2 =[-4x2 exp(2-x2)-2 exp(2-x2)] / (4x2) =([-4x2-2)exp(2-x2) / (4x2).
D.  La dérivée de la fonction f(x) = exp(2x/(2-x)) est f '(x) =(4-4x) exp(2x/(2-1)) / (2-x)2. Faux.
On pose u =2x ; v = (2-x) ; u' = 2 ; v' = -1.
(u'v-v'u) / v2 =(4-2x+2x) / (2-x)2 = 4 / (2-x)2.
f '(x) =4 / (2-x)2exp(2x/(2-x))

Question 12.
P1 plan d'équation x+y+z=0 ; P2 plan d'équation x+4y+2=0.
A Ces deux plans sont sécants. Equation paramétrique de la droite d'intersection :
x =-4t-4 ; y = t ; z = 3t+4 avec t réel.
-4t-4 +t +3t+4 =0t+0=0.
-4t-4+4t+2 diffère de zéro. Faux
B. Ces deux plans sont strictement parallèles Faux.
Leurs vecteurs normaux de coordonnées respectives (1 ; 1 ; 1) et (1 ; 4 ; 0) sont distincts.
C Ces deux plans sont sécants. Equation paramétrique de la droite d'intersection :
x =-4t-2 ; y = t ; z = 3t+2 avec t réel.
-4t-2+t+3t+2=0 est vérifié.
-4t-2+4t+2=0 est vérifié. Vrai.
D. Ces deux plans sont confondus. Faux.

Question 13.
Une urne contient une boule blanche et 2 boules noires.
On effectue 10 tirages successifs avec remise. La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est :
Probabilité de tirer une boule blanche :1 /3.
P(k = 3) = (10 3)(1/3)3 (1-1/3)10-3=10x9x8 /(2 x3) x(1/3)3 (2/3)7 =120 x27 / 310=40 x27 / 39 . 
Réponse B.

Question 14.
La limite en plus l'infini de 1+exp(1/n)+exp(2/n) +...+exp((n-1) / n) est :
1+exp(1/n) + exp(1/n) * exp(1/n)+...+ exp(1/n) *exp(n-2) /n).
1+exp(1/n) [1+ exp(1/n)+...+exp(n-2) /n)].
Quand n tend vers +oo, les termes en exponentielle tendent vers exp(0) = 1.
La limite cherchée est égale à n. Réponses C et D.

  Question 15.
fn(x) = 1 /(1+x2)n. On note Cn sa courbe représentative.
On considère la droite (d) d'équation :y = 5x / 32 +3 / 16 tangente à la courbe au point d'abscisse -1.
Calcul de la dérivée f 'n(x) en posant u = 1+x2 ; u' = 2x ; fn '(u) = -n u' u-n-1 ; fn'x) =-2 n x / (1+x2)n+1.
Coefficient directeur de la tangente : 5 /32= 2n / 2n+1  ; n = 5. Réponse D.
ane.

  
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