Valorisation du dioxyde de carbone, concours général SPCL 2024.

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A.1 Etude d’un capteur de dioxyde de carbone
 Pour mesurer avec précision le taux de CO2 dans l’air, un des instruments les plus utilisés est un capteur NDIR (« Non Dispersive Infra Red »). C’est cette technologie de capteur qui est utilisée sur l’installation pilote. L’objectif de cette partie est d’étudier le principe de fonctionnement de ce capteur et de déterminer le résultat d’une mesure et la résolution du capteur à partir des acquisitions de signaux réalisés en laboratoire.
L’air circule dans une chambre de mesure en aluminium poli pour limiter l’absorption des rayonnements par les parois. Une partie du rayonnement émis par la source infrarouge est absorbée par les gaz. Le rayonnement émis par la source infrarouge qui traverse le gaz est mesuré à la sortie de la chambre de mesure par un détecteur.
La source infrarouge est une lampe à incandescence contenant un filament de tungstène chauffé par effet Joule à une température d’environ 3 000 K. Elle émet un rayonnement avec un large spectre dont le maximum d’émission se situe à une longueur d’onde dépendant de la température selon la loi de Wien : l T = 2,9 × 10−3 m‧K avec l, la longueur d’onde en m, et T, la température en K.
1. Déterminer la longueur d’onde du maximum d’émission de la source et vérifier qu’il se situe dans l’infrarouge.
l=2,9 10-3 / 3000=9,7 10-7 m = 0,97 µm..
Domaine IR : [0,7 µm ; 100 µm].
Le détecteur comporte :
- une thermopile 1 munie d’un filtre à bande très étroite, centrée autour de 4,26 μm, donnant après amplification le signal de mesure, correspondant à une tension Um ;
- une thermopile 2 munie d’un filtre centré autour de 3,91 μm, donnant après amplification un signalde référence, correspondant à une tension Ur.
Une thermopile est un composant complexe fournissant une tension proportionnelle à la température du détecteur, chauffé par le rayonnement reçu.
La Figure 3 ci-dessous donne le spectre d’absorbance de quelques gaz pouvant se trouver en sortie d’une cheminée.

2. Justifier à partir de la Figure 3 que le rayonnement émis par la source autour d’une longueur d’onde de 3,91 μm est intégralement reçu par la thermopile 2. Expliquer en quoi le signal Ur est alors une référence.
1/(3,91 10-6)=2,56 105 m-1 = 2,56 103 cm-1, valeur centrale du spectre ci-dessus.
3. Vérifier que le filtre de la thermopile 1 est adapté à la mesure du dioxyde de carbone.
1/(4,26 10-6)=2,35 105 m-1 = 2,35 103 cm-1, valeur correspondant au signal du CO2 du spectre ci-dessus.
4. Expliquer comment évolue le signal Um lorsque la concentration en CO2 augmente.
L'absorbance étant proportionnelle à la concentration en CO2, Um croît si la concentration en CO2 augmente.
Afin de compenser la dérive due au vieillissement différent des deux thermopiles, la source infrarouge est alimentée par une tension alternative. Lors d’un essai en laboratoire, les signaux alternatifs ont été obtenus, um(t ) et ur(t ), de même fréquence que la source, reproduits sur la Figure 4 suivante : 

Le conditionneur de signal mesure les tensions crête à crête Um et Ur (entre minimum et maximum) de chaque signal um(t ) et ur(t ) et les convertit en données numériques par un convertisseur analogique-numérique à 10 bits pour une tension pleine échelle de 3,00 V. La concentration en CO2 est calculée ensuite par la relation suivante :
 c=4,04 ln (Ur/𝑈m)
5. Déterminer la fréquence de la tension alimentant la source, ainsi que les tensions crête à crête des signaux des deux thermopiles.
Période T = 500 ms = 0,5 s ; fréquence f = 1 / T = 1/0,5 = 2 Hz.
Tension crête à crête : Um = 0,9 V ; Ur = 2 V
6. En déduire la concentration correspondant à cette mesure.
c = 4,04 ln(2 / 0,9)=3,2 %.
 On étudie maintenant l’évolution de la résolution du capteur (c’est-à-dire la faculté du capteur à distinguer deux valeurs de concentration proches) en fonction de la valeur de la mesure.
7. Déterminer le quantum de tension correspondant au convertisseur analogique-numérique.
quantum = Vréf / 210 =2 / 210=1 10-10 V.
8. Déterminer la différence de concentration obtenue si la tension Um augmente d’un quantum par rapport à la valeur initiale de 0,850 V.
c1 =4,04 ln(2 /(0,85 +0,85 10-10)=3,46 %.
3,46-3,2 = 0,26 %.
 9. Déterminer la différence de concentration obtenue si la tension Um augmente d’un quantum par rapport à une valeur initiale de 0,020 V.
c1 =4,04 ln(2 /(0,02 +0,85 10-10)~ -2 10-8 % ~0
La différence de concentration est nulle.
10. Conclure sur l’évolution de la résolution en concentration du capteur lorsque la concentration augmente.
La résolution est bonne si la concentration en dioxyde de carbone n'est pas trop faible.

A.2 Etude de la capture du dioxyde de carbone
Afin de capturer le dioxyde de carbone émis par les centrales thermiques, les gaz sortant des cheminées passent dans une colonne à garnissage dans laquelle circule à contre-courant une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium, schématisée sur la Figure 5 ci-dessous.

Le gaz sortant des cheminées, composé d’air et de dioxyde de carbone, entre dans la colonne par le bas (pied de colonne). La solution aqueuse d’hydroxyde de sodium est envoyée par le haut (tête de colonne). Une partie du dioxyde de carbone se dissout dans le liquide. Il sort alors de la colonne un gaz constitué d’air épuré par en haut et une solution aqueuse chargée en CO2 par en bas. L’efficacité de la capture est d’autant plus forte que :
- la fraction molaire de CO2 dans le gaz sortant est faible ;
- la quantité de CO2 dissous dans le liquide est grande.
Caractéristiques de l’installation :
- débit de liquide réglable de 10 à 100 % par une pompe (débit maximal de 16 L‧h-1) ;
- débit de liquide réglé à L = 50 % ;
- débitmètre de gaz entrant gradué en % (100 % correspond à 80 L‧min-1) ;
- débit de gaz G réglé à 45 % ;
- température du liquide à l’entrée 18 °C ;
- hauteur de la colonne 1,9 m ;
- pression en tête de colonne égale à la pression atmosphérique (1,01 bar).
11. Sachant que la solubilité des gaz diminue lorsque la température augmente, justifier que le liquide doit être froid pour améliorer l’efficacité de la capture.
Le gaz est plus soluble dans un liquide froid que dans un liquide chaud. L'efficacité de la colonne augmente si la température du liquide diminue.

Pour que le mélange entre les phases gazeuse et liquide soit efficace, il faut maintenir une différence de pression approximative entre le pied et la tête de colonne de 8 mbar par mètre de colonne. L’abaque de la Figure 6 ci-dessous représente la variation de la pression relative en pied de colonne (différence de pression entre le gaz en pied de colonne et l’air extérieur) en fonction du
débit de gaz circulant, pour plusieurs débits de liquide.
8x1,9=15,2 mbar.

12. Vérifier que les réglages choisis conduisent à un fonctionnement correct de la colonne.
- débit de liquide réglable de 10 à 100 % par une pompe (débit maximal de 16 L‧h-1) ;
- débit de liquide réglé à L = 50 % soit 8 L h-1.
- débitmètre de gaz entrant gradué en % (100 % correspond à 80 L‧min-1) ;
- débit de gaz G réglé à 45 % soit 80 x0,45=36 L min-1.
Afin d’empêcher la sortie du gaz par le bas, il est nécessaire de maintenir un niveau de liquide constant en pied de colonne. Pour cela, le liquide sort par un tube assez long (garde liquide) qui remonte jusqu’à une hauteur h réglable, comme précisé sur le schéma ci-dessous, représentant la partie inférieure de la figure 5.

13. Déterminer la hauteur h minimale pour faire tout juste couler le liquide si le pied de colonne est en surpression de 16 mbar par rapport à la pression atmosphérique (on considérera la vitesse suffisamment petite pour pouvoir appliquer le principe fondamental de la statique des fluides incompressibles).
16 mbar soit 16 x 100 = 1,600 Pa.
1600 = r g h = 1000 x9,81 h ; h =0,16 m.

Les réglages de débits de gaz effectués correspondent à une quantité de matière totale de gaz entrantde 1,51 mole par minute. La fraction molaire de CO2 dans ce gaz entrant, mesurée par un capteur du type étudié dans la partie A.1, vaut 12,0 %.
14. Calculer la quantité de matière de dioxyde de carbone entrant dans la colonne en une minute.
1,51x0,12=0,18 mol / minute.
Le CO2 réagit avec l’hydroxyde de sodium en excès pour donner du carbonate de sodium (2 Na+(aq)+ CO32-(aq)).
15. Écrire l'équation de la réaction modélisant la transformation prenant place entre le dioxyde de carbone et l'hydroxyde de sodium.
CO2(aq) +2HO-aq --> CO32-aq + H2O(l).
On recueille 1,42 L de solution aqueuse sortant pendant 10 min. On prélève 5,0 mL de cette solution qu’on titre par de l’acide chlorhydrique (monoacide fort) de concentration 0,87 mol‧L-1. Le graphe suivant (Figure 7), représentant le pH et sa dérivée en fonction du volume d’acide versé, est obtenu. La première équivalence correspond à la neutralisation des ions hydroxyde restant, les deux suivantes aux ions carbonate (dibase).
16. Écrire l’équation de la réaction modélisant la transformation prenant place entre l’ion carbonate et l’acide chlorhydrique.
CO32-aq +2H3O+aq --> CO2aq + 3H2O(l).
17. Déterminer la quantité de matière d’ion carbonate présent dans l’échantillon prélevé.

Quantité de matière d'acide chlorhydrique : 10 x 0,87 = 8,7 mmol.
Quantité de matière d'ion carbonate 0,5 x8,7 = 4,35 mmol dans 5,0 mL de solution.
18. En déduire la quantité de carbonate de sodium dans la solution prélevée pendant 10 min.
4,35 x1,42 103  / 5=1,2354 103 ~1,24 103 mmol =1,24 moles en 10 minutes ou 0,124 mol en une minute.
Celle-ci correspond à la quantité de matière de CO2 dissous pendant cette même durée.
En utilisant de l’eau pure à la place de la solution d’hydroxyde de sodium, avec les mêmes réglages, on trouve un débit en quantité de matière de CO2 dissous dans l’eau de 0,007 mol‧min-1.
19. Conclure sur l’intérêt d’utiliser une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium au lieu d’eau pure pour la capture du dioxyde de carbone.
 0,124 / 0 007 ~18.
Une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium permet de capturer 18 fois plus de dioxyde de carbone que l’eau pure.

B. Valorisation du dioxyde de carbone.
 Une alternative au stockage du dioxyde de carbone après son captage est son utilisation dans des procédés permettant de le valoriser, c’est-à-dire d’utiliser cette matière première disponible en grandes quantités et de la convertir en produits à plus forte valeur ajoutée. Actuellement, environ 230 Mt/an de dioxyde de carbone sont engagées dans ce processus CCU (Carbon Capture and Utilisation)1. Le dioxyde de carbone peut être utilisé directement en tant que fluide réfrigérant, solvant, ou encore gazéifiant de boissons, être transformé en carburants ou molécules organiques d’intérêt (valorisation chimique) ou encore servir dans des processus de méthanation biologique ou fermentation biologique (valorisation biologique). Cette partie s’intéresse à quelques applications industrielles parmi les différentes voies citées.
B.1 Valorisation chimique en acide salicylique. Il existe diverses voies chimiques de valorisation du dioxyde de carbone, la principale en termes de volume étant la synthèse d’urée. Nous nous limiterons dans cette partie à quelques exemples d’utilisation du CO2 comme précurseur de molécules d’intérêt. Le CO2 est utilisé industriellement pour former de l’acide salicylique. L’acide salicylique est utilisé directement dans certains produits dermatologiques ou cosmétiques en raison de ses propriétés antiseptiques et antalgiques. Il est également un précurseur de l’acide acétylsalicylique (ou aspirine).
B.1.1 Production de l’acide salicylique. Cette partie s’attache à étudier les mécanismes mis en jeu dans la production de l’acide salicylique et à quantifier la masse de CO2 valorisée par cette filière.
20. Identifier les fonctions chimiques présentes dans l’acide salicylique.

L’acide salicylique est obtenu industriellement par carboxylation du phénol, cette transformation chimique est modélisée par la réaction de Kolbe-Schmitt dont l’équation est donnée.
Un mécanisme simplifié de cette réaction est proposé ci-dessous.

21. Expliquer la première étape de ce mécanisme.
Réaction acide base entre la base forte HO- et l'acide faible C6H5OH.
22. Indiquer le type de réaction mise en jeu lors de la deuxième étape.
Substitution électrophile sur le noyau benzénique.
23. Recopier et compléter la dernière étape en ajoutant la(les) flèche(s) courbe(s) adéquate(s).

La production mondiale annuelle d’acide salicylique est de 70 000 t/an. (7 1010 g / an)
24. Estimer la masse de CO2 annuelle valorisée selon cette filière.
Masse molaire acide salicylique : 138 g / mol.
Quantité de matière d'acide salicylique : 7 1010 /138=5,1 108 mol.
Masse de dioxyde de carbone : 5,1 108 xM(CO2 )= 5,1 108 x44 =2,2 1010 g ou 2,2 104 tonnes.
B.1.2 Acide salicylique, composant d’un antalgique.
Outre son utilisation comme précurseur de l’aspirine, l’acide salicylique est utilisé en tant que teldans certains produits dermatologiques ou cosmétiques en raison de ses propriétés antiseptiques et antalgiques. Il entre notamment dans la composition du Synthol®, un antalgique d’action locale utilisé en cas d’ecchymoses ou contusions.
Lors d’une séance de travaux pratiques en laboratoire, un groupe d’étudiants cherche à vérifier si la teneur en acide salicylique d’un échantillon de Synthol® est conforme à l’étiquetage. Les étudiants mettent en oeuvre un dosage spectroscopique par étalonnage. Des mesures classiques d’absorbance ne peuvent pas être utilisées, car d’autres espèces présentes dans le Synthol® absorbent la lumière UV à la même longueur d’onde que l’acide salicylique. En revanche, après absorption de la lumière, l’acide salicylique réémet une partie de cette énergie absorbée sous forme de rayonnement avec une longueur d’onde plus élevée : c’est le phénomène de fluorescence. L’intensité de la lumière émise, appelée intensité de fluorescence et notée IF, s’écrit sous la forme IF=kc où k est une constante et c la concentration en quantité de matière de l’acide salicylique dans l’échantillon. Cela permet d’exploiter cette intensité de fluorescence pour mettre en oeuvre un dosage par étalonnage.
Choix de la longueur d’onde d’excitation.
Lors de la mise en oeuvre du dosage, l’échantillon est soumis à un rayonnement de longueur d’onde égale à 295 nm, qui est absorbé par l’acide salicylique ; cette phase est appelée excitation. Le spectre d’absorption d’une solution d’acide salicylique obtenu en laboratoire est donné ci-dessous.

25. À partir du spectre d’absorption, justifier le choix de la longueur d’onde d’excitation.
Pour une meilleure précision, on se place au maximum d'absorption soit 295 nm.
Un diagramme, simplifié, représentant quelques niveaux d’énergie de la molécule d’acide salicylique permet de comprendre les phénomènes mis en jeu :

26. À partir du diagramme d’énergie, expliquer pourquoi la longueur d’onde émise est supérieure à la longueur d’onde absorbée lors de l’excitation.
Longueur d'onde absorbée = h c / (E3-E1).
Longueur d'onde émise =h c /(E2-E1).
E2-E1 < E3-E1, donc la longueur d'onde émise est supérieure à la longueur d'onde absorbée.

Réalisation du dosage par les étudiants.
Les étudiants mettent en oeuvre le dosage par étalonnage pour déterminer la teneur en acide salicylique dans un échantillon de Synthol® et vérifier la conformité avec l’étiquette.
Le protocole de la manipulation est donné ci-après.
- On prépare 50 mL d’une solution-mère d’acide salicylique dans l’eau distillée, à la concentration c0 = 1,0.10-2 mol·L-1, en présence de 1 mL d’éthanol (pour aider à la
dissolution).
- À partir de cette solution-mère, on prépare une solution F0 à la concentration c’0 = 2,0∙10-4 mol·L-1, par dilution dans une solution-tampon à pH = 7,0.
- On prépare ensuite une série de cinq solutions-filles F1 à F5 de concentration 2,0.10-6 à 10,0.10-6 mol·L-1, en diluant la solution F0.
27. Proposer un protocole pour préparer la solution F0 à partir de la solution-mère. Le matériel utilisé sera précisé.
Facteur de dilution F = c0 /c’0 =50.
Dans une fiole jaugée de 1,0 L contenant 1 /3 d'eau distillée ajouter 1000 / 50 = 20,0 mL de solution mère à l'aide d'une pipette jaugée. Agiter. Compléter avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge. Agiter pour rendre homogène.
Les résultats de mesure d’intensité de fluorescence émise pour les solutions-filles, ainsi que la courbe d’étalonnage associée sont donnés ci-dessous :
Solution
 F1
 F2
 F3
 F4
 F5
concentration (mol/L)
 2,0 10-6
 4,0 10-6 6,0 10-6 8,0 10-6 10,0 10-6
IF
 13,1
 25,5
 36,4
 49,9
 63,5

28. Commenter l’allure de la courbe d’étalonnage.
IF est proportionnelle à la concentration.
 29. À partir de cette courbe, déterminer la valeur de la constante k définie en début de cette sous-partie
k = coefficient directeur de la droite =50 / (8,0 10-6) =6,25 106 L mol-1.
B.1.2. Chacun des 15 étudiants a ensuite mesuré l’intensité de fluorescence d’une solution de Synthol® dilué 100 fois.
Donnée : densité du Synthol, d = 0,93.
 Expliquer pourquoi il a été nécessaire de diluer le Synthol®. La réponse devra être justifiée par un calcul.
Acide salycilique 0,0105 g pour 100 g de solution.
Volume de 100 g de solution : 100  / 0,93 = 107,5 mL.
M(acide salycilique) = 138 g/mol.
Quantité de matière en acide salycilique : 0,0105 / 138 = 7,6 10-5 mol.
Concentration en acide salycilique : 7,6 10-5 / 0,1075 =7,1 10-4 mol/ L valeur très supérieure aux concentrations de la gamme d'étalonnage.
Il faut donc diluer environ 100 fois le Synthol.
31. Un des étudiants a mesuré une intensité de fluorescence IF égale à 45,1 u.a. Déterminer la masse d’acide salicylique pour 100 g de Synthol® correspondant à cette mesure.
c = IF / k =45,1 /(6,25 106) = 7,216 10-6 mol / L.
7,216 10-6 x 138 =9,96 10-4 g / L.
Masse de 1 L =930 g.
Masse d'acide salycilique dans 100 g de synthol : 9,96 10-4 x100 / 930=1,07 10-4 g.
Tenir compte de la dilution :1,07 10-4 x100=0,0107 g.
La prise en compte des résultats des 15 étudiants conduit à une valeur moyenne de 0,01073 g d’acide salicylique pour 100 g de Synthol®, avec un écart-type de 0,0005 g. On rappelle que l’incertitude-type sur la moyenne d’une série de valeurs est égale à l’écart-type de cette série divisée par N½ où N est le nombre de mesures.
32. Exprimer le résultat de mesure moyen des 15 étudiants avec le nombre de chiffres significatifs adaptés et l’incertitude-type associée.
Incertitude type = 0,0005 / 15½ =1,3 10-4 g.
0,0107 ±2 10-4 g.
33. Evaluer la différence entre le résultat obtenu expérimentalement et la valeur de référence de l’emballage en nombre d’incertitudes-types. Conclure.
Acide salycilique 0,0105 g pour 100 g de solution.
Différence : 0,0107 -0,0105 =2 10-4 soit une incertitude-type.

B.2 Valorisation en polycarbonate.
Outre la production d’urée et d’acides carboxyliques comme l’acide salicylique, le CO2 est utilisé dans l’industrie chimique pour produire des polycarbonates qui sont des composés conduisant à de nombreuses applications du fait de leurs propriétés thermiques, optiques et mécaniques. En particulier, le polycarbonate de bisphénol A (appelé plus couramment polycarbonate) possède une grande résistance aux chocs, permettant son utilisation dans de nombreux objets du quotidien comme des casques de moto ou des coques de smartphones.
B.2.1 Résistance aux chocs lors d’une chute libre sans frottements
Pour être homologuées, les coques de téléphones doivent vérifier certaines normes. En particulier, il existe une certification MIL-STD-810G délivrée par le laboratoire de test de développement technologique de l’armée Américaine, qui assure entre autres une résistance à 26 chutes de 1,2 mètre.
Le polycarbonate présente une résistance aux chocs de 10 kJ·m-2.
À titre de comparaison, dans cette partie on cherche à estimer l’énergie surfacique (exprimée en J.m-2) libérée lors d’un choc consécutif à la chute d’un smartphone d’une hauteur de 1,20 m. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on étudie la chute d’un smartphone de masse m = 210 g. On le laisse tomber depuis une hauteur du sol h = 1,2 m, sans vitesse initiale. Il est dans une position horizontale lors du lâcher. On considère dans cette première étude que les frottements dus à l’air lors de la chute du smartphone sont négligeables.
Donnée : intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m·s-2.
34. En prenant comme référence une énergie potentielle nulle au niveau du sol, exprimer l’énergie potentielle de pesanteur du smartphone à l’instant initial.
Ep = mgh = 0,210 x9,81 x1,2 =2,47 J.
35. Indiquer la valeur de l’énergie cinétique initiale du smartphone.
Ec = 0 la vitesse initiale étant nulle.
36. À l’aide d’un bilan d’énergie mécanique, en déduire la valeur d’énergie cinétique acquise par le téléphone au moment où il touche le sol.
Conservation de l'énergie mécanique :
Ep+Ec = 2,47 J.
L'énergie potentielle étant nulle au sol, l'énergie cinétique au sol est de 2,47 J.
37. En proposant des estimations raisonnables pour les valeurs des différentes surfaces du smartphone, donner une estimation de l’énergie cinétique surfacique (en J·m-2), dans le cas où le smartphone tombe à plat, puis dans le cas où il est lâché en position verticale et tombe sur la tranche.
Il tombe à plat : surface : 0,20 x0,10 = 0,02 m2.
2,47 / 0,02 =124 J m-2. (124 x26~3 kJ m-2)
Il tombe sur la tranche : surface = 0,20 x 0,02 =0,004 m2.
2,47 /0,004=617 J m-2. (617 x26~16 kJ m-2)
38. Comparer ces valeurs à la résistance aux chocs annoncée pour le polycarbonate. Commenter.
Le smartphone résiste bien à 26 chutes s'il tombe à plat.
B.2.2 Amélioration du modèle de la chute.
Le modèle de la chute libre sans frottement est questionné. Dans cette partie, on cherche à vérifier si la force de frottement f est négligeable lors de la chute ou si elle est modélisable.
À l’aide de l’accéléromètre du smartphone, on a relevé, lors de sa chute, les valeurs expérimentales de son accélération verticale en fonction du temps pour une durée totale de 1 s, l’instant t = 0 correspondant au moment où le smartphone est lâché, sans vitesse initiale depuis une hauteur du sol h = 1,20 m. Un coussin est placé au sol pour réceptionner l’appareil. La courbe obtenue est donnée ci-dessous.

39. À partir de cette courbe, estimer la durée de la chute en repérant le moment de l’impact au sol.
Durée de la chute : 0,046 s.
 40. Justifier le signe de l’accélération au moment de l’impact puis donner une explication aux oscillations visibles en fin d’acquisition.
Accélération au moment de l'impact =( 0 - vitesse juste avant l'impact) / durée de cette variation de vitesse.
Le smartphone rebondit plusieurs fois avant de s'immobiliser.
 On cherche à comparer cette courbe expérimentale avec trois modèles de chute différents.
- Modèle 1. Chute libre sans frottements :f=0.
- Modèle 2. Présence d’une force de frottement fluide f modélisée en norme par : f=kv .
- Modèle 3. Présence d’une force de frottement fluide modélisée en norme  : f=k'v2. où k et k' sont les coefficients de frottement fluide (respectivement en N·s·m-1 et N·s2·m-2). Le smartphone, de masse m = 210 g, est lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur de 1,2 m du sol. Le repère terrestre d’étude (O, x, y) est représenté par le schéma ci-après, l’origine du repère étant placée sur la position initiale du smartphone y(0) = 0 :

On s’intéresse d’abord au modèle 1 sans frottements.
43. Dans le cadre de ce modèle 1, déterminer l’expression de la vitesse verticale vy(t) du smartphone en fonction du temps, puis celle de sa position verticale y(t) en fonction du temps.
vy(t) = gt ; y(t) = ½gt2.
44. Déterminer la valeur de la durée de la chute et conclure si cette valeur est en accord avec la courbe expérimentale.
1,2 = 0,5 x9,81 t2 ; t2 =0,245 ; t ~0,5 s. Accord avec la courbe expérimentale.
45. Commenter l’allure de l’accélération expérimentale avant l’impact en indiquant si elle est en accord avec le modèle 1.
L'accélération diminue  légèrement avant l'impact. Donc désaccord avec le modèle 1.
On cherche maintenant à affiner le modèle en déterminant, le cas échéant, le modèle avec frottements le plus en adéquation avec la courbe expérimentale.
Les mesures expérimentales d’accélération ont été faites à intervalle de temps régulier Dt. On obtient ainsi un ensemble de points discrets, le point 0 correspondant à la mesure à t = 0, le point 1 à t1= Dt , le point 2 à t2 = 2Dt, etc., avec Dt = ti+1-ti.
46. Exprimer ai, l’accélération au point i, en fonction de la vitesse vi au point i, de la vitesse vi+1 au point i+1 et de l’intervalle de temps Dt.
ai = (vi+1-vi) / Dt.
47. En déduire l’expression de la vitesse vi+1 en fonction des caractéristiques en i et de Dt.
vi+1-vi= ai Dt. vi+1-vi= ai Dt +vi
En procédant par itération et en considérant que la vitesse initiale est nulle, on peut ainsi estimer les valeurs de la vitesse pour les différents instants de l’expérience. Le tracé de l’accélération en fonction de la vitesse, obtenu à partir des résultats expérimentaux précédents, est donné ci-dessous, en se limitant aux points correspondants à la durée de la chute avant l’impact.

48. Commenter cette courbe en précisant si les frottements sont négligeables durant toute la durée de la chute. S’ils ne le sont pas, préciser le modèle semblant le plus en adéquation avec l’expérience et estimer une valeur du coefficient de frottement fluide correspondant.
L'acélération n'étant pas constante, il faut prendre en compte les frottements.
La seconde loi de Newton conduit à : a = g -f / m= g- k / m v pour le modèle 2.
a = g-k'/m v2 pour le modèle 3.
Les points sont à peu près alignés, le modèle 2 peut convenir.
Valeur absolue du coefficient directeur de la droite rouge : k=(9,8-7,5) / 3,8 ~0,6 N·s·m-1.


  
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