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électrique modulable,
Concours ENAC 2024.
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d’intérêts.
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Un
filtre composé d’un résistor de résistance R, d’une bobine d’inductance
L et de deux condensateurs identiques de capacités C, est alimenté par
une tension d’entrée sinusoïdale ue(t), de pulsation w, et d’amplitude complexe ue,m. On se place en régime sinusoïdal forcé établi (i.e. permanent) et on prélève la tension de sortie us aux bornes du résistor. On désigne par us,m l’amplitude complexe de la tension us.
Deux interrupteurs K1 et K2 permettent de modifier la constitution du circuit . On note H = us,m /ue,m la fonction de transfert du filtre et j, l’unité imaginaire (j2 = −1).
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1. K1 et K2 étant ouverts, la fonction de transfert se met sous la forme :
H =(a + jbx) / (1+ jx)
avec x =w / w0.
Où a, b et w0 sont des constantes indépendantes de w.
Il s'agit d'un filtre RL. Le pont diviseurde tension conduit à :
us = ue R / (R+jLw).
H = R / (R+jLw)=1 / (1+jLw / R).
2. K1 est fermé et K2 ouvert. En notant w1 et Q1 deux constantes positives indépendantes de w, et si w1 = w / w1, comment peut s’écrire la nouvelle expression H de la fonction de transfert ?
3. Exprimer w1. Exprimer Q1.
Il suffit de remplacer R par l'impédance équivalente du circuit R || C en dérivation.
4. K1 et K2 sont tous les deux fermés. Si Q2 et w2 sont deux constantes indépendantes de w, et si w2 = w / w2, que devient H ?
5. Exprimer Q2.
Même circuit qu'à la question précédente en remplaçant le condensateur unique C par 2C ( deux condensateurs en dérivation).
Q2 = R (2C / L)½ = 2 Q1.
w2 = 1 / (2LC)½.
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