Mathématiques, Concours EMIA 2024.

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Exercice 1. Nombres complexes..
1- Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.
z1 = (2-i)  / (1+2i)=[(2-i)(1-2i)] / [(1+2i)(1-2i)] =(2-4i-i+2i2) / (1-4i2)= (-5i) / 5= -i.
z2=exp(ip/2) / exp(ip/3)=exp(i (p/2 -p/3)=exp(i p/6) = cos (p/6) +i sin(p/6)=3½ / 2 +0,5 i.
2. a. Déterminer un réel b tel que pour tout z complexe on ait : (z2+bz+4)(z2-bz+4)=z4+16.
(z2+bz+4)(z2-bz+4)=z4-bz3+4z2+bz3-b2z2+4bz+4z2-4bz+16=z4-(8-b2)z2+16= z4+16.
8-b2 = 0 ; b = ±2 x2½.
b. En déduire les solutions réelles ou complexes de z4+16 = 0.
z2+8½z+4 =0 ; D = 8-16=-8 = 8 i2 ; z =(-8½±8½i) / 2 = 2½(-1±i).
z2-8½z+4 =0 ; D = 8-16=-8 = 8 i2 ; z =(8½±8½i) / 2 = 2½(1±i).

Exercice 2. Equations, inéquations.
 1. Résoudre sur R :4x /(2x-3) > (2x+3) / (x-1).
x doit être différent de zéro et de 1.
4x(x-1) >(2x+3)(2x-3) ; 4x2-4x > 4x2-9 ; -4x > -9 ; 4x < 9 ; x < 9 /4.
]-oo ; 0 [ union ] 0 ; 1 [ union  ]1 ; 9 /4 ].

2. Donner les solutions de l'équation suivante dans R : |x+2| +|x-5| = 11.
Si x < -2 : |x+2| = -x-2 et |x-5| =5-x ;  -x-2+5-x = 11 ; -2x= 8 ;  x= -4.
Si -2 < x < 5 : |x+2| = x+2 et |x-5| =5-x ; x+2 +5-x = 11 ; aucune solution.
Si > 5 : |x+2| = x+2 et |x-5| =x-5 ; x+2+x-5 =11 ; 2x-3=11 ; x = 7.

3. Polynômes :
1. P(x) = 2x2-(m+2)x +m-2 où m est un réel.
Calculer m pour que 3 soit racine de P.
Donner alors l'autre racine notée ß de P.
P(x) = 2(x-3)(x-ß)=2(x2-3x-ßx+3ß) =2x2-2x(3+ß)+6 ß.
On identifie : m+2 = 6+2ß  et  m-2 = 6 ß.
Soustraire : 4=6-4ß ; ß =0,5 et m =6ß+2 = 5.

2. Déterminer les racines du polynôme 2x2+5x+2.
En déduire à l'aide d'un changement de variable les solutions de l'équation :
2 / (x-1)2 +5 /(x-1) +2 = 0.
 2x2+5x+2 =0 ; D = 52-4*2*2=9=32.
Solutions x1 =(-5 +3) / 4= -0,5 et x2 =(-5-3) / 4= -2.
On pose X = x-1 ; 2 / X2 +5 / X +2=0 ; 2 +5X +2X2 = 0
X = -0,5 ; X = -2 ; x = 0,5 ; x= -1.
Exercice 4. Dérivées, primitives, intégrales.
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
f1(x)= (ln(x)+1)2 ; On pose u = ln(x)+1) ; u' = 1 /x ; (u2)' = 2 uu' = 2[ln(x)+1) / x.
f2(x)=ln(x2) +1 ; on pose u = x2 ; u' = 2x ; (ln(u)+1)' =u' / u = 2x / x2 = 2 /x.
 f3(x)=cos(ex) ; on pose u = ex ; u' = ex ; cos(u) ' = -u' sin(u) = -ex sin(ex).
 f4(x)=exp(cos(x)) ; on pose u = cos(x) ; u' = -sin(x) ; (eu ) ' = u' exp(u) = - sin(x) exp(cos(x).
Exercice 6. matrices.
1. Montrer que B2 = 3 B.

Puis établir l'égalité A B=A2-2A = 5(A-2I3).

2. En déduire que A est inversible et exprimer son inverse en fonction des matrices A et I3.
Déterminant de A = 3*3*3+1*1*1+1*1*1-1*3*1-1*1*3-3*1*1=29-9=20.
Le déterminant de A étant différent de zéro, A est inversible. 
A*A-2A=5(A-2I3) ; A-1A*A-2A-1A=5(A-1A-2A-1I3) ; I3A-2I3=5(I3 -2A-1I3)=.5I3 -10A-1I3.
 -I3A+7I3=10A-1I3 ; -A+7I3=10A-1 ;  A-1 = (-A+7I3) / 10.

3. Montrer par récurrence que An = 2nI3 +(5n-2n) / 3 B pour tout n entier naturel.
Initialisation : A = 2I3 +(5-2) / 3  B= 2I3 +B ; B = A-2I3 est vérifiée.
Hérédité : Au rang n la relation est supposée vraie.
An = 2nI3 +(5n-2n) / 3 B.
A An = 2n A I3+(5n-2n) / 3 A B .....


Exercice 7. Suite numérique.
(un) est définie par u0 = 1 et un+1 = ln(1+un) pour tout entier naturel n.
1. Montrer que un existe et est strictement positif.
u1 = ln(2) >0 ; u2 = ln(1 +ln(2)) >0 ;
sur l'intervalle ]1 ; +oo[, la fonction logarithme népérien est positive et strictement croissante.
2. Etudier les variations de la fonction h(x) = ln(1+x)-x sur [0 ; +oo[. En déduire son signe.
h'(x) = 1 /(1+x) -1 = (1-1-x) / (1+x) = -x /(1+x).
La dérivée est négative ou nulle sur cette intervalle ; h(x) est décroissante de 0 à -oo.
3. Montrer que la suite est décroissante.
un+1 -un =ln(1+un) -un = f(un) < 0. La suite est décroissante.
4. En déduire que la suite converge et déterminer sa limite.
Lorsque n devient grand, un tend vers ln(1) =0.
La suite est décroissante et bornée, donc elle converge. Sa limite est ln(1) = 0.

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 Exercice 8 :  géométrie.
1.a Montrer que les vecteurs suivants sont orthogonaux.

1.b. Déterminer a pour que les vecteurs suivants soient orthogonaux.

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2. Soit F ={(x, y, z) appartenant à R3 tel que x+y+z=0}
a. Les vecteurs suivants sont-ils éléments de F ?

b. Montrer que si un vecteur de R3 est combinaison linéaire des vecteurs suivants, alors il est élément de F.
c. Réciproquement montrer que tout élément de F est combinaison linéaire des vecteus définis à la question précédente.


Exercice 9 . Fonction.
f(x) = (x2+x+1) / (x-1) définie sur R-{1}.
1. Justifier que f est dérivable ; déterminer f ' et étudier les variations de f.
Le dénominateur n'est pas nul et f est le quotient de fonctions dérivables, donc f est dérivable.
On pose u = x2+x+1 et v = x-1.
u' = 2x+1 ; v' = 1 ; (u'v-v'u) / v2=[(2x+1)(x-1) -(x2+x-1) ] / (x-1)2 =(x2-2x)/ (x-1)2 .

 
2. Déterminer trois réels a, b, c tels que f(x) = ax+b+c/(x-1)
f(x) = [ax(x-1) +b(x-1) +c] / (x-1) =[ax2-ax+bx-b+c] / (x-1) = [ax2+x(b-a)x-b+c] / (x-1).
On identifie : a = 1 ; b-a = 1 soit b = 2 ; -b+c = 1 soit c = 3.
3. En déduire que la droite d'équation y = x+2 est asymptote à la courbe.
f(x) = x+2+3/(x-1).
Quand x tend vers ±oo, le terme 3/(x-1) est nul ; f(x) tend alors vers x+2.
4. Résoudre l'équation f(x) = x.
x+2+3/(x-1) = x ; 2+3/(x-1) = 0 ; 2 = 3 /(1-x) ; 2(1-x) = 3 ; 2-2x=3 ; x = -0,5.

Exercice 10. Probabilités.
Une urne contient 3 boules jaunes, 2 boules bleues, une boule rouge et 4 boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne.
1. Calculer le probabilité des événements suivants:
J= tirer une boule jaune.
B = tirer une boule bleue.
R = tirer une boule rouge.
V = tirer une boule verte.
P(J) = 3/10 = 0,3 ; P(B) = 2/10 =0,2 ; P(R) = 1/10 = 0,1 ; P(V) = 4 /10 = 0,4.
2. Si la boule tirée est rouge on gagne 10 € ; si elle est verte on gagne 2 €, si elle est jaune ou bleue on gagne 3€ .
On noter X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le gain.
a. Calculer P(X=2), P(X=3, P(X=10).
P(X=2) = 4 /10 = 0,4 ; P(X =3) = 5/10 = 0,5 ; P(X=10) =1/10 = 0,1.
b. Calculer l'espérance de X.
2 x0,4 + 3 x0,5 +10 x0,1 =2,4 .
3. Si la boule tirée est rouge on gagne 10 € ; si elle est verte on gagne 2 €, si elle est jaune  on gagne 3 € et m € si elle est bleue.
Calculer m pour que le gain moyen soit 4,5 €.
P(X=2) = 4 /10 = 0,4 ; P(X =3) = 3/10 = 0,3 ; P(X=10) =1/10 = 0,1; P(X=m) =2/10=0,2.
2x0,4 + 3 x0,3 +10 x0,1 +0,2 m = 4,5 ; m =9. .
 
  
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