Mathématiques, équation différentielle, lois normale, binomiale, test, transformée de Laplace, BTS groupe B 2024

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Exercice 1. 10 points.
On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.
On note f (t ) la résistance du béton à l’instant t .
f (t ) est exprimée en mégapascal (MPa) et t désigne le nombre de jours de séchage.Partie A. Résolution d’une équation différentielle
On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle :
(E) : y′ +0,06y = 2,1,
où y est une fonction inconnue de la variable réelle t , définie et dérivable sur [0 ; +∞[ et où y′ est la dérivée de y.
1. Résoudre sur [0 ; +∞[ l’équation différentielle :
(E0) : y′+0,06y = 0.
y = A e-0,06t avec A une constante.
2. On considère la fonction constante g définie sur [0 ; +∞[ par g(t )= 35.
Vérifier que la fonction g est solution de l’équation différentielle (E).
g'(t) =0 ; 0+0,06 *35 =2,1.
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
y = A e-0,06t +35.
4. À l’instant t = 0, on considère que la résistance du béton est nulle.
En déduire que la fonction f est définie sur [0 ; +∞[ par : f (t )= −35e−0,06t +35.
0 = A+35 ; A = -35.
f (t )= −35e−0,06t +35.

Partie B. Étude de fonction
On considère à nouveau la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f (t ) =−35e−0,06t +35.
On rappelle que f (t ) désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à l’issue de t jours de séchage.
1. Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? Arrondir au dixième.
f(7) = -35 exp(-0,06x7) +35 =12,0 MPa.
f(3) = -35 exp(-0,06x3) +35 =5,8 MPa.
2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
Vérifier que, pour tout réel t appartenant à [0 ; +∞[, on a :
f ′(t ) =2,1e−0,06t .
f '(t) = -35 x(-0,06) exp(-0,06t) = 2,1 exp(-0,06t).
3. Déterminer le signe de f ′(t ) sur [0 ; +∞[ et en déduire le sens de variations de f .
exp(-0,06t est positif ; f '(t) >0 et f(t) est strictement croissante.
4. Déterminer la limite de f (t ) lorsque t tend vers l’infini.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(t) tend vers 35 MPa.
Au bout d'un temps suffisamment long la résistance du béton atteint 35 MPa.
5. Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80% de la résistance finale.
Cette affirmation est-elle juste ?
f(28)=-35 exp(-0,06 x28) +35 =28,5 MPa.
35 x0,8 =28 MPa. l'affirmation est correcte.
6. On considère la fonction F définie sur [0 ; +∞[ par
F(t )= (1750 / 3)e−0,06t +35t .
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
 F '(t) = 1750 / 3 x(-0,06)e−0,06t +35 =−35e−0,06t +35 = f(t). 
7. Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours.
µ =( F(28)-F(0) ) / 28 ; F(28) =1750 / 3 exp(-0,06 x28)+35 x28 =871,3.
F(0) =1750 /3 =583,3 ; µ = (871,3-583,3) /28=10,3 MPa.

Partie C. Algorithme
On note N le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage permettant d’obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.
1. Recopier l’algorithme ci-dessous et compléter les lignes 3 et 4.
Ligne 1 :  t ←0
Ligne 2 :  R ←0
Ligne 3 :  Tant que R < =21
Ligne 4 :  t ←t+1
Ligne 5 : R ← -35e−0,06t +35
Ligne 6 : Fin Tant que
2. Donner la valeur de N. Expliquer la démarche suivie.
-35e−0,06t +35 > 21 ;
(35-21) /35 > e−0,06t ; 0,4 > e−0,06t ; 
ln(0,4) > -0,06 t ; t > -ln(0,4) / 0,06  ; t >15,3 ; N = 16.

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 Exercice 2 10 points
Partie A. Loi normale.
Une entreprise produit des tiges métalliques cylindriques.
On note X la variable aléatoire qui, à toute tige prélevée au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres.
On admet que X suit la loi normale de moyenne μ = 32 et d’écart-type s= 0,6.
1. Donner la probabilité, arrondie au millième, que le diamètre de la tige prélevée ait un diamètre compris entre 31 et 33 mm.
P(X < 33)=0,9522. P(X < 31)=0,0478.
P(31 < X < 33) = 0,904.
2. Déterminer, aumillième près, le réel h tel que :
P(X > 32−h) = 0,975.
P(X >32-h)=1-P(X <32-h) =0,975 ; P(X <32-h)=0,025. 32-h =30,824 ; h = 1,176 mm.

Partie B. Loi binomiale.
Une entreprise dispose de 15 imprimantes fonctionnant indépendamment les unes des autres.
On se place un jour donné.
On considère une imprimante quelconque. La probabilité qu’elle tombe en panne ce jour est égale à 0,07.
On considère la variable aléatoire Y qui compte le nombre d’imprimantes qui tombent en panne ce jour.
1. Donner la loi suivie par Y , ainsi que ses paramètres et son espérance.
Les pannes sont indépendantes. Y suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0,07.
Espérance E = np = 15 x0,07=  1,05.
2. Calculer la probabilité qu’exactement 12 imprimantes ne tombent pas en panne ce jour.
Probabilité qu'exactement 3 imprimantes tombent en panne = (15 3) x0,073 x(1-0,07)15-3 ~0,065.
3. Calculer la probabilité qu’au moins 3 imprimantes tombent en panne ce jour.
P(Y >3) = 1 -P(Y< 2)=0,083.

Partie C. Test d’hypothèse
Une entreprise commercialise des blocs de béton de chanvre. Elle affirme que la résistance moyenne μ de ces blocs est égale à 50 mégapascals (MPa).Désirant vérifier la validité de cette affirmation, un contrôleur met en place un test d’hypothèse bilatéral.
On note Z la variable aléatoire qui, à chaque bloc prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, exprimée enMPa.
La variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne inconnue μ et d’écart-type s= 0,35.
Soit n un entier naturel. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de n blocs prélevés dans la production, associe la moyenne des résistances de ces blocs.
On rappelle que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne μ et d’écart-type s/n½.
L’hypothèse nulle H0 est : « μ = 50 ».
L’hypothèse alternative H1 est : « μ diffère de 50 ».
Le seuil de signification du test est fixé à 5%.
On se place dans le cas où n = 80.
1. Sous l’hypothèse nulle H0, justifier que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 50 et d’écart-type 0,04.
La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne μ =50 et d’écart-type s/n½=0,35 /80½ ~0,04.
2. On souhaite déterminer sous l’hypothèse H0, le réel positif h tel que :
P(50−h < X < 50+h) =0,95.
La valeur du nombre réel h est :
0,05;  0,04 ; 0,08 ; 0,12.
Au seuil de risque de 5 %, h =1,96 x 0,04~0,08.
3. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
[ 50-0,08 ; 50 +0,08 ] soit [ 49,92 ; 50,08 ].
Si la résistance du bloc appartient à cet intervalle, H0 est vraie, sinon on retient H1.
4. Le contrôleur a prélevé un échantillon de 80 blocs.
Les résistances obtenues ont été notées dans le tableau ci-dessous.
Résistance (MPa)
 49,7
 49,8
 49,9
 50
 50,2
 50,4
 50,5
 Total
Effectif
 2
 5
 15
 24
 17
 13
 4
 80
Résistance x effectif
 99,4
 249
 748,5
 1200
 853,4
 655,2
 202
 4007,5
Appliquer le test et conclure.
4007,5 /80=50,09.
Cette valeur n'appartient pas à  [ 49,92 ; 50,08 ]. On retient l'hypothèse H1.

On considère un circuit LC.
Le signal d’entrée est noté e(t ). Le signal de sortie est noté s(t ).

Le système est régi par l’équation différentielle
(E) : LCs′′(t )+s(t )= e(t ).
Les conditions initiales sont : s (0+)=0 et s′ (0+)= 0.
1. On sait que L =10 H et C = 10−5 F.
Réécrire alors l’équation différentielle (E).
10-4 s"(t)+s(t) =e(t).
2. On suppose que :
La fonction e(t ) admet une transformée de Laplace notée E(p)
La fonction s(t ) admet une transformée de Laplace notée S(p).
Démontrer que l’on a :(10−4p2 +1)S(p)= E(p).
Fonction s"(t) : transformée de Laplace : p2S(p)
Fonction s(t) : transformée de Laplace : S(p).
Fonction e(t) : transformée de Laplace : E(p).
(10−4p2 +1)S(p)= E(p).
3. La fonction de transfert H(P) est définie par : S(p)= H(p)×E(p).
Démontrer que l’on a :H(p)=104/(p2 +104) .
H(p) = S(p) / E(p) = 1 / (10−4p2 +1)=104/(p2 +104)
4. On note U(t ) la fonction échelon unité définie ainsi :  U(t )= 0 si t < 0 ; U(t )= 1 si t >0
On suppose désormais que l’on a : e(t )=U(t ).
Représenter graphiquement sur votre copie le signal e(t ) en prenant pour échelle 1 cm pour chaque axe.

5. Donner l’expression de E(p).
E(p) = 1 / p.
6. À l’aide des questions précédentes, déterminer S(p) puis démontrer que l’on a : S(p) =3 / p-3p /(p2 +104).
S(p)= 104/(p2 +104) E(p)

7. En déduire l’expression de s(t ).
Transformée de Laplace : p / (p2 +104) ; fonction : cos(100 t).
Transformée de Laplace : 1/p ; fonction : U(t).
s(t) = 3 U(t) [1- cos(100t)].
8. On admet que l’on a :
s(t )= 3U(t )[1−cos(100t )].
Indiquer, sans justifier, lequel des croquis ci-dessous représente la courbe de la fonction s(t ).

U(t) > 0.
Si t = 0 ; cos(100t) = 1 ; 1-cos(100t) = 0; s(0) = 0. Croquis 3 et 4 éliminés.
-1 < -cos(100t) < 1 ; 0 < 1-cos(100t) < 2 ; s(t) est positif : croquis 1 éliminé.
ane.

  
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