Mathématiques, DNB Métropole 2024

Exercice 1 QCM (20 points)
1. Lequel de ces 4 nombres est premier ?
1 ; 21 ; 37 exact.; 54.
2. L’aire totale du patron d’un cube d’arête 5 cm est égale à :
6 x aire d'une face = 6 x5 x5 =150 cm².
3. Une forme factorisée de l’expression littérale 4𝑥² − 9 est :
Différence de deux carrs : (2x-3) (2x+3).
4. Un écran de télévision est au format 16 : 9 ce qui signifie que la longueur et la largeur de l’écran sont dans le ratio 16 : 9. Dans ce cas, si la longueur de l’écran est de 110 cm, sa largeur est d’environ :
110 / 16 x9 ~ 62 cm.
5 On considère la série de valeurs : 4,1 ; 3,67 ; 4,23 ; 4,5 ; 3,4. Quelle est la médiane de cette série ?
3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5.

Exercice 2. 18 points.
Voici trois affirmations. Pour chacune d’entre elles, justifier si elle est vraie ou fausse.
1) Voici un assemblage de quatre cubes identiques représenté en perspective cavalière.

Affirmation n°1 : « La vue de droite est représentée par le dessin ci-dessous. » Le dessin n’est pas à l’échelle.

2 . On considère le schéma suivant qui n'est pas à l'échelle.

Affirmation n°2 : « Les droites (NU) et (OD) sont parallèles. Faux.
Dans l'hypothèse où ces droites sont parallèles :
OS / NS = 12 / 6 = 2 ; SD / SU = 11 / 5 diffère de OS / NS.
D'après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (NU) et (OD) ne sont pas rarallèles.

3. On considère deux expériences aléatoires. Dans la première expérience aléatoire, on tire une boule dans une urne opaque et on annonce sa couleur. Dans l’urne, il y a 4 boules rouges et 6 boules bleues indiscernables au toucher.
Dans la seconde expérience aléatoire, on lance un dé non truqué avec des faces numérotées de 1 à 6 et on annonce le nombre qui apparaît sur la face du dessus.
Affirmation n°3 : « La probabilité d’obtenir une boule bleue dans l’urne est supérieure à la probabilité d’obtenir un nombre pair avec le dé ». Vrai.
Probabilité d'obtenir un nombre pair (2 ; 4 ; 6) avec le dé : 3 / 6 = 0,5.
Probabilité de tirer une boule bleue : 6 / 10 = 0,6.

Exercice 3. 20 points.
Trois élèves construisent chacun en vraie grandeur une même figure puis la découpent. Ils obtiennent ainsi, à eux trois, 3 pièces identiques.

Le schéma ci-dessous représente la pièce construite par chaque élève avec les indications suivantes :
Les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires.
Les points A, C et B sont alignés.
L’arc de cercle qui relie le point A au point B a pour centre le point G.
AC = CB ; CG = 10 cm et BG = 20 cm.

1) Démontrer que la longueur BC mesure environ 17,3 cm.
Relation de Phytagore dans le triangle BCG rectangle en C :
BC² = BG² -CG² =20²-10² = 300 ; BC ~17,3 cm.
2) Quelle est l’aire du triangle BAG ? On donnera une valeur arrondie à l’unité.
AB x CG / 2 =2 xBC xCG / 2 = BC xCG= 17,3 x10 =173 cm².
3) a. Montrer que l’angle CGB ̂ mesure exactement 60°.
Dans le triangle BCG rectangle en C, cos(CBG) = CG / BG = 10 / 20 =0,5.
L'angle CBG mesure 60°.
b. En déduire la mesure de l’angle AGB̂
Cet angle est égal à 2 fois l'angle CGB et vaut 2 x60 = 120 °.
4) Les trois élèves pensent qu’ils peuvent former un disque complet avec leurs 3 pièces. Expliquer pourquoi ils ont raison.
Un disque complet correspond à un arc de 360°. Ils possèdent trois portions de disque avec des angles au centre de 120°. En mettant les trois pièces ensemble ils constituent un disque complet.
5) En déduire l’aire de la pièce obtenue par chacun des élèves. O.
Aire du disque complet : p BG² = 3,14 x20² ~1256,6 cm².
Aire de chaque pièce : 1256,6 / 3 ~419 cm².