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Exercice 1. 5
points.
Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition
écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022
contiennent les informations suivantes :
• 22,86% des véhicules étaient des véhicules neufs;
• 8,08% des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
• 1,27% des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs)
étaient des hybrides rechargeables.
Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.
Partie I
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en
France en 2022.
On note :
• N l’évènement « le véhicule est neuf »;
• R l’évènement « le véhicule est hybride rechargeable »;
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride
rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité
que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,028 3.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est
hybride rechargeable.
PR(N)=P(R n N) / P(R)=0,0185 / 0,0283=0,6537.
Partie II
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
n = 500 ; p = 0,65.
2. Déterminer la probabilité qu’exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
P(X = 325) =(500 325) x0,65325 x0,35175 =0,0378.
3. Déterminer la probabilité p(X > 325) puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
p(X > 325)= 1 -P(X < 324) =1-0,477944 =0,5206.
Partie III
On choisit désormais n véhicules particuliers hybrides rechargeables
immatriculés en France en 2022, où n désigne un entier naturel
strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces n véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
1. Donner l’expression en fonction de n de la probabilité pn que tous ces véhicules soient d’occasion.
pn=(1-0,65)n =0,35n.
2. On note qn
la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant
une inéquation, déterminer la plus petite valeur de n telle que qn >0,9999.
qn = 1-pn ; 1-pn > 0,9999 ; pn < 0,0001 ; par croissance de la fonction logarithme népérien :
n ln(0,35) < ln(0,0001) ; n > 9.
Exercice 2. 5 points.
On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB = 3 et AD = AE = 1 représenté ci-dessous.
On considère le point I du segment [AB] tel que [AB] = 3 [AI]
On appelle M le milieu du segment [CD].
1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.
F(3 ; 0 ; 1) ; H(0 ; 1 ; 1) ; M(1,5 ; 1 ; 0).
2. a. Montrer que le vecteur n de coordonnées (2 ; 6 ; 3 ) est un vecteur normal au plan (HMF).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (HMF) est : 2x +6y +3z −9 = 0.
2x+6y+3z+d=0 ;
H(0;1,1) appartient à ce plan : 0+6+3+d=0 ; d = -9.
c. Le plan P dont une équation cartésienne est 5x+15y −3z+7= 0 est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
Coordonnées d'un vecteur normal à ce plan P : (5 ; 15 ; -3 ) diffère de (2k ; 6k ; 3k) avec k réel.
Ces deux plans ne sont pas parallèles.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
Coordonnées du vecteur DG : (3 ; 0 ; 1) ;
x =3t+xD =3t ; y = yD =1 ; z=t+zD = t avec t réel.
4. On appelle N le point d’intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).
Déterminer les coordonnées du point N.
N appartient à la droite (DG) et au plan (HMF) ; ces coordonnées vérifient :
2x+6y+3z-9=0 ; 6t +6+3t-9=0 ; t =1 /3.
N( 1 ; 1 ; 1 /3).
5. Le point R de coordonnées (3 ; 0,25 ; 0,5) est-il le projeté orthogonal du point G sur le
plan (HMF) ? Justifier la réponse.
Si R appartient au plan (HMF) : 2xR+6yR+3zR-9 =6 +1,5 +1,5 -9 = 0.
R appartient au plan ( HMF).
Coordonnées du vecteur RG : ( 0 ; 0,75 ; 0,5) diffère de (2k ; 6k ; 3k) avec k réel.
R n'est pas le projeté orthogonal de G sur le plan ( HMF).
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Exercice 3. 6 points.
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 1] par
g(x) = 2x −x2.
1. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 1] et préciser les valeurs de g(0) et de g(1).
g '(x)= 2-2x=2(1-x) > 0 sur [0 ; 1]. g(0) = 0; g(1) =1.
On considère la suite (un) définie par :
u0 =0,5 ; un+1 = g (un) pour tout entier naturel n.
2. Calculer u1 et u2.
u1 =g(0,5)=2 x0,5 -0,52 =0,75.
u2.=g(0,75) =2 x0,75-0,752 =0,9375.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0 < un < un+1 <1.
Initialisation : 0 < u0 < u1 <1. La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : 0 < un < un+1 <1 est supposée vraie.
Par croissance sur [0 ; 1] de la fonction g : g(0) < g(un ) < g(un+1 )< g(1).
0 < un+1 < un+2 <1. La relation est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
4. En déduire que la suite (un) est convergente.
D'après le résultat précédent, la suite est croissante et majorée par 1, donc elle converge.
5. Déterminer la limite l de la suite (un).
A la limite : un+1=un ; 2l-l2 = l ; l(1-l)=0 ; la suite étant croissante à partir de zéro, la seule solution retenue est l = 1.
On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn =ln(1−un).
6. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
vn+1 =ln(1−un+1)= ln (1-2un+un2)=ln(1-un)2 = 2 ln(1-un)=2 vn.
v0 = ln(1-u0) =ln(0,5) = - ln(2).
7. En déduire une expression de vn en fonction de n.
vn = -ln(2) x 2 n.
8. En déduire une expression de un en fonction de n et retrouver la limite déterminée à la question 5.
1-un = exp(vn) =exp(-ln(2) x 2 n) ; un = 1 -exp(-ln(2) x 2 n).
Quand n tend vers +oo, le terme en exponentielle tend vers zéro et un tend vers 1.
9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang n à partir duquel la suite dépasse 0,95.
def seuil()
n=0
u =0,5
while u <0,95 :
n = n+1
u =2*u-u**2
return n
Exercice 4 4 points
Soit a un réel strictement positif.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +1[ par f (x) = a ln(x).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit x0 un réel strictement supérieur à 1.
1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses.
f(x) =0 ; a ln(x) ; a diffère de zéro ; x = 1.
2. Vérifier que la fonction F définie par F(x) = a[x ln(x)−x] est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +1[.
Calcul de la dérivée F '(x) :
on pose u =x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1/x ; dérivée de x ln(x) : ln(x)+1.
F '(x) = a[ln(x)+1-1)= a ln(x) =f(x).
3. En déduire l’aire du domaine bleuté en fonction de a et de x0.
Aire = F(x0)-F(1) =a[x ln(x0)−x0] +a.
On note T la tangente à la courbe C au point M d’abscisse x0.
On appelle A le point d’intersection de la tangente T avec l’axe des
ordonnées et B le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
4. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de x0) que l’on déterminera.
Ordonnée du point B : a ln(x0).
Equation de la tangente à la courbe au point M : y = f '(x0)x+b =a x / x0+b.
M appartient à la tangente : a ln(x0) =a+b ; b = a ln(x0) -a
Ordonnée du point A : a ln(x0) -a.
AB = a ln(x0) -(a ln(x0) -a) = a.
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ane.
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