Isolation phonique, pollution atmosphérique, mouvement d'un drone, mathématiques, bac STI2D Métropole 09 / 2024.

Isolation phonique et réverbération.
La réverbération est un phénomène acoustique qui désigne la persistance d’un son dans un espace clos lorsque sa source a cessé d’émettre. Pour atténuer ce phénomène, une solution consiste à installer des panneaux de matériaux absorbants acoustiques sur les murs. Cet exercice étudie les propriétés d’absorption acoustique de deux matériaux, la mousse de mélamine et le feutre acoustique.
Donnée : On rappelle la relation entre niveau sonore et intensité acoustique :
L = 10log(I / I₀) où : - L est le niveau sonore en dB ; - I est l’intensité acoustique du son considéré en W·m^-2 ; - I₀ est l’intensité acoustique correspondant au seuil conventionnel d’audibilité, soit 10^-12 W·m^-2 ; - log désigne le logarithme décimal.
Q1. Calculer la valeur de l’intensité acoustique I₁ correspondant à un son de niveau sonore L₁ = 85 dB.
I₁ =I₀x 10^{-I1 /10} =10^-12 x 10^8,5=3,16 10^-4 W m^-2.
Pour caractériser l’absorption des ondes sonores dans la mousse de mélamine, on place une source d’ondes sonores en contact avec une plaque de ce matériau. On note I(x) l’intensité acoustique de l’onde sonore après traversée d’une épaisseur x de matériau absorbant.
Dans un modèle simple, on montre que l’intensité sonore I(x) dans la mousse de mélamine vérifie la relation : dI/dx=−µ I(x)
où µ est un coefficient caractéristique du matériau.
Pour la mousse de mélamine, on a :µ = 0,262 cm^-1.
Pour des valeurs de x, en cm, l’intensité acoustique I(x) peut donc être obtenue en résolvant l’équation différentielle :
(E) : y ' = − 0,262 y
Q2. Déterminer les solutions sur [0 ; +∞[ de l’équation différentielle (E).
y = A exp(-0,262 x) avec A une constante.
Q3. Montrer que la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = 3,2.10⁻⁴exp(−0,262x) est la solution particulière de (E) vérifiant la condition initiale f(0) = 3,2.10^-4.
f '(x)=-3,2 10^-4 x0,262 exp(−0,262x)= -8,384 10^-5 exp(−0,262x).
Repport dans (E) :
f '(x)=-3,2 10^-4 x0,262 exp(−0,262x)= -0,262 x 3,2.10⁻⁴exp(−0,262x) est vérifiée qu'elle que soit x.
De plus f(0) =3,2 10^-4.
Q4. Résoudre sur [0 ; +∞[ l’équation exp(−0,262 x) = 0,5. Déterminer la distance de propagation d au bout de laquelle l’intensité acoustique de l’onde est divisée par 2.
-0,262 x=ln(0,5) ; x =2,65 cm.
d = 2,65 cm.

On étudie par ailleurs expérimentalement les propriétés d’une plaque d’isolant acoustique constituée de feutrine de polyester, selon le protocole suivant.
Dans une première expérience, le signal sonore est reçu directement par un récepteur après propagation dans l’air.
Dans une deuxième expérience, on intercale une plaque de feutrine de polyester entre l’émetteur et le récepteur.
Le signal reçu est, dans les deux cas, visualisé à l’oscilloscope.
La puissance de l’onde émise par l’émetteur est identique dans les deucas. Au cours des deux expériences, on néglige l’atténuation du son dans l’air.

On note U_a l’amplitude du signal reçu dans la première expérience, et U_b celle du signal reçu dans la deuxième expérience, en présence de la plaque absorbante. Les intensités acoustiques correspondantes sont respectivement notées I_a et I_b. On précise que le rapport des intensités acoustiques est donné par la relation : Ib/I_a = (U_b/U_a)²
Q5. Calculer le rapport des amplitudes U_b/U_a .
U_a=1,2 V ; U_b =0,9 V ; U_b/U_a =0,9/1,2=0,75.
Pour une plaque d’isolant acoustique, on définit le coefficient d’absorption acoustique a= 1- Ib/I_a , de valeur comprise entre 0 et 1, qui correspond au rapport entre l’intensité absorbée par la plaque et l’intensité incidente. Plus le coefficient a est élevé, plus la plaque absorbe efficacement les ondes sonores.
Q6. Montrer que la plaque étudiée est de classe D.
a =1-0,75 =0,25, valeur comprise entre 0,30 et 0,60. Donc classe D..

Impact de la pollution atmosphérique sur les bâtiments historiques
Les sculptures et monuments historiques construits en pierres calcaires souffrent de l’action de la pollution atmosphérique des villes. Ainsi, la dissolution du dioxyde de soufre présent dans l’air dans les eaux de pluies entraîne la formation d’acide sulfurique H₂SO₄(aq) .
Celui-ci se dissocie totalement dans l’eau en libérant des ions H₃O⁺(aq). Le pH des eaux de pluie peut alors être inférieur à 5.
Données :
• Formule du calcaire : CaCO₃(s) ou (Ca²⁺,CO₃^2-)(s).
• Les couples acides bases à considérer dans cette étude sont :
HCO₃^-(aq) / CO₃^2-(aq)
H₃O⁺(aq) / H₂O(l)
Q1. À partir des informations données en début d’exercice, justifier le caractère acide des eaux de pluies dans lesquelles le dioxyde de soufre présent dans l’air s’est dissout.
Le dioxyde de soufre se dissocie totalement dans l’eau en libérant des ions H₃O⁺(aq).
Q2. Écrire l’équation de la réaction acide-base qui a lieu lorsque les ions oxonium H₃O⁺(aq) réagissent avec les ions carbonate CO₃^2-(aq) du calcaire. Les ions calcium Ca²⁺ sont spectateurs, ils n’interviennent pas dans le bilan de la réaction.
HCO₃^-(aq) +H₂O(l) = CO₃^2-(aq) +H₃O⁺(aq).
Étude expérimentale
Pour étudier au laboratoire l’action de l’eau acidifiée par l’acide sulfurique sur la pierre composant les immeubles on met en présence un morceau de calcaire cylindrique calibré et une solution d’acide sulfurique dont le pH vaut 4,5.
À l’instant initial, on plonge le morceau de calcaire dans la solution, on déclenche le chronomètre et on mesure la diminution de la masse de calcaire au cours du temps, au milligramme près.

temps (min)	0	30	60	90	150	210	270	495	1000
m_calcaire (g)	4,622	4,622	4,622	4,621	4,622	4,620	4,610	4,605	4,600

Q3. Calculer la concentration en ions H₃O⁺(aq) dans la solution à l’instant initial.
[H₃O⁺] = 10^-pH = 10^-4,5 =3,16 10^-5mol / L.
Q4. À l’aide des données du tableau, calculer la perte de masse de calcaire a diminué pour une durée d’expérience de 4,5 h.
4,5 h = 4,5 x60 =270 min.
4,622 -4,610 = 0,012 g.
La surface du morceau de pierre en contact avec la solution d’acide sulfurique est S = 6,7 × 10^-4 m² et la masse volumique du calcaire est r = 2,500 × 10⁶ g·m^-3.
Q5. Calculer la diminution du volume de la pierre, notée DV, au bout d’une durée de présence dans la solution de 4,5 h.
DV = perte de masse (g) / r =0,012 / (2,500 10⁶)=4,8 10^-9 m³.
Q6. Sachant que la variation de volume de la pierre entraine une diminution de l’épaisseur De=DV / S, montrer que la diminution d’épaisseur de la partie de la pierre en contact avec la solution d’acide sulfurique vaut : De = 7,2 μm.
De =4,8 10^-9 /(6,7 10^-4) =7,2 10^-6 m = 7,2 µm.
En admettant que la vitesse d’attaque du calcaire par l’acide reste constante, calculer le temps nécessaire pour que la réaction ait enlevé une couche de 1 mm d’épaisseur au calcaire.
7,2 10^-3 mm enlevé en 4,5 h.
4,5 /(7,2 10^-3) ~625 heures.

La formation de gypse
La présence de dioxyde de soufre dans l’air entraîne également la formation de gypse (sulfate de calcium) sur les pierres calcaires. Ce dépôt de gypse protège le calcaire de l’action des pluies acides mais il forme des dépôts noirs sur les façades.
Q7. Expliquer en quoi la formation de gypse peut limiter l’action des pluies acides sur la pierre.
Le gypse forme une fine couche protectrice sur le calcaire.
Afin de redonner aux pierres leur couleur d’origine, on peut ôter le gypse à l’aide d’une source laser ( longueur d'onde l =1064 nm = 1,064 10^-6 m). Ce laser émet des impulsions lumineuses..
Q8. Montrer que l’énergie d’un photon émis par ce laser a pour valeur E = 1,87 × 10^-19 J.
On donne h = 6,63 × 10^-34 J·s^-1 et c = 3,00 × 10⁸ m·s^-1.
E = h c / l =6,63 10^-34 x3,00 10⁸ /(1,064 10^-6)=1,87 10^-19 J.
Q9. À partir de la question précédente et des caractéristiques de la source laser utilisée, montrer que l’énergie émise lors d’une impulsion vaut environ 7,5 × 10^-5J.
4,00 10¹⁴ photons émis par impulsion : 1,87 10^-19 x4,00 10¹⁴=7,5 × 10^-5J.
Q10. Si le laser émet n impulsions par seconde, montrer que sa puissance moyenne P vérifie : P = n x E_impulsion.
Energie de n impulsion = 7,5 10^-5 n joule.
Durée = 1 seconce ;
Puissance (watt)= énergie(J) / durée(s) = n x E_impulsion=300 watts.
Calculer la valeur du nombre d’impulsions par seconde.
n = 300 / (7,5 10^-5) =4,0 10⁶.
L’utilisation de ce laser nécessite le port de verres de protection par l’opérateur.
Le choix du type de verre à utiliser dépend de l’énergie émise par impulsion mais aussi de l’irradiance (en W·m^-2) du faisceau laser.
Q11. En considérant uniquement l’énergie émise par une impulsion, indiquer le numéro d’échelon des verres de protection nécessaires.
7,5 10^-5 J correspond à un verre de type R3.
Q12. Calculer l’irradiance moyenne pour la source laser utilisée.
Expliquer pourquoi l’opérateur doit au minimum porter des protections de type R4 lors de l’utilisation du laser.
Irradiance ( W m^-2) =Puissance du laser / section du laser (m²) =300 / (1,4 10^-2)=2,1 10⁴ W m^-2. ( donc protection de type R4).