Thermique, anode sacrificielle, nombre complexe, mise au diapason d'un piano, bac STI2D Polynésie 2024.

Exercice 1 Evolution de la température d'un soda. .4 points.
On verse, dans une tasse en porcelaine, du soda tout juste sorti du réfrigérateur. La tasse est ensuite posée sur une table. La température de l’air ambiant est supposée constante et égale à 21 °C.
On mesure la température du soda à différents instants et on trace, en utilisant les données obtenues, le graphique ci-dessous.

1. Rappeler les trois modes de transfert thermique. Citer un exemple pour chacun d’eux.
Conduction dans une barre métallique chaufée à une extrémité.
Convection dans un liquide ou dans un gaz.
Rayonnement solaire.
On admet que la fonction f qui modélise l’évolution de la température (en degré Celsius) du contenu de la tasse en fonction du temps t écoulé (en minute) depuis la première mesure vérifie l’équation différentielle (E) :
y'= -1/ 90 y+7 / 30.
2. Sachant que f(0)= 7, démontrer que, pour tout réel 𝑡 positif ou nul :
f(t) =-14 exp(-t/90)+21.
Solution générale de y'+1/ 90 y=0 : y = A exp(-t/90) avec A une constante réelle.
Solution particulière de (E) : f(t) = 21.
Solution générale de (E) : y = A exp(-t/90)+21.
A l'instant initial : 7 = A+21 ; A = -14.
3. Calculer la limite de f(t) en plus l'infini.
Le terme en exponentielle tend vers zéro ; f't) tend vers 21°C, la température de la pièce.
4. Déterminer, à partir de ce modèle, la valeur du temps t pour lequel la boisson atteint la température de 20 °C. Arrondir le résultat (en minute) à l’unité.
20=-14 exp(-t / 90) +21 ; 14 exp(-t/90) = 1 ; exp(-t/90) = 1 /14.
-t/90 = ln(1/14) ; t = 90 ln(14) ~238 minutes.

On renouvelle l’expérience en remplaçant la tasse en porcelaine par un gobelet en acier de mêmes dimensions.
Données :
 conductivité thermique de la porcelaine : 1,0 W⋅ m^-1 ⋅ K^-1 ;
 conductivité thermique de l’acier : 45,6 W⋅ m^-1 ⋅ K^-1 .
5. Identifier, parmi les courbes C1 et C2 figurant ci-dessous, celle qui représente l’évolution, en fonction du temps, de la température du soda versé dans un gobelet en acier. Expliciter le raisonnement utilisé.

L'acier est bien meilleur conducteur que la porcelaine.

Exercice 2 (6 points).
Protection cathodique par anode sacrificielle.
La cuve interne d’un chauffe-eau est constituée d'acier. Elle est sujette à la corrosion provoquée par l'oxydation du fer par le dioxygène dissout dans l'eau. Il est donc nécessaire de mettre en place des mesures de protection pour prévenir la détérioration de la cuve.
Dans le cas d’un chauffe-eau électrique, pour une utilisation optimale, il est préconisé de changer ces anodes sacrificielles lorsqu’elles sont consommées à 50 %. Ce qui correspond à changement tous les 5 à 10 ans.
On cherche dans la suite de cet exercice à vérifier cette durée d’utilisation.
Étude de l’oxydation du fer.
On se propose tout d’abord d’étudier la réaction d’oxydo-réduction entre le fer Fe et le dioxygène O₂ dissout dans l’eau.
Les couples oxydant/réducteur mis en jeu sont Fe²⁺aq / Fe (s) et O₂aq / H₂O(l).
2 fois { Fe(s) = Fe²⁺aq + 2e^-}.
2H₂O(l) +O₂aq+4e^-=4HO^-aq.
1. Établir, à partir des deux demi-équations l’équation de la réaction d’oxydation du fer par le dioxygène.
2Fe(s) + 3H₂O(l) +O₂aq+4e^-= 2Fe²⁺aq +4HO^-aq +4e^-.
Simplifier : 2Fe(s) + 2H₂O(l) +O₂aq= 2Fe²⁺aq +4HO^-aq .
On dépose dans une boîte de Pétri un clou en fer que l’on recouvre d’une solution aqueuse S saturée en chlorure de sodium contenant quelques gouttes de phénolphtaléine, une pointe de ferricyanure de potassium et de l’agaragar.
On précise que :
- le chlorure de sodium permet d’accélérer en laboratoire la réaction d’oxydation ;
- l’agar-agar permet de gélifier la solution, il est neutre vis-à-vis de toute réaction chimique ;
- la phénolphtaléine est un indicateur coloré acido-basique, qui devient rose vifen présence d’ions hydroxydes.
- le ferricyanure de potassium est un indicateur coloré faisant apparaître une
coloration bleue en présence d’ions fer(II).
Les résultats obtenus au bout d’une heure d’expérience apparaissent sur la photo ci-dessous :

2. Identifier des espèces chimiques formées par la réaction d’oxydation du fer réalisée dans l’expérience décrite. Justifier.
La coloration rose met en évidence les ions hydroxydes.
La coloration bleue met en évidence les ions fer(II).
Étude de l’oxydation du zinc.
Lorsque l’on plonge un ruban de zinc métallique dans de l’eau, le métal zinc 𝑍𝑛(s) s’oxyde en ion Zn²⁺aq.
3. Indiquer, sans calcul, comment évoluent lors de cette réaction :
-la masse de métal zinc ;
- la concentration massique des ions zinc Zn²⁺aq.
- la concentration massique des ions hydroxyde HO^-aq.
2 fois { Zn(s) = Zn²⁺aq + 2e^-}.
2H₂O(l) +O₂aq+4e^-=4HO^-aq.
2Zn(s) + 2H₂O(l) +O₂aq= 2Zne²⁺aq +4HO^-aq .
La masse de zinc diminue ; la concentration massique des ions zinc Zn²⁺aq augmente ; la concentration massique des ions hydroxyde HO^-aq augmente..
Protection du fer par ajout de zinc.
On dispose au laboratoire de clous en fer, de rubans de zinc métallique, de la solution S utilisée dans l’expérience ainsi que de la verrerie de laboratoire.
Dans une solution, lorsque des ions hydroxydes HO^-aq sont en présence d’ions zinc Zn²⁺aq , un précipité blanc d’hydroxyde de zinc de formule Zn(OH)₂ apparaît.
4. Proposer une expérience, en vous aidant éventuellement d’un schéma, permettant de montrer que le zinc s’oxyde à la place du fer lorsqu’il sont reliés électriquement.
On dépose dans une boîte de Pétri un clou en fer entouré partiellement de zinc que l’on recouvre d’une solution aqueuse S saturée en chlorure de sodium contenant quelques gouttes de phénolphtaléine, une pointe de ferricyanure de potassium et de l’agaragar.
5. Indiquer les observations qui permettraient de valider le rôle d’anode sacrificelle du zinc.
Apparition d'une coloration bleue sur le fer non recouvert de zinc.
Absence de la coloration bleue sur le fer recouvert de zinc.
Le zinc s'oxyde à la place du fer.

Protection du fer par anode sacrificielle de zinc dans le chauffe-eau.
On choisit d’installer dans le chauffe-eau une anode sacrificielle de longueur 50 cm et de masse 1,1 kg.
La quantité Q d’électricité stockée dans cette anode de zinc vaut 9,0 x 10² Ah.
On rappelle que la quantité d’électricité stockée Q , l’intensité du courant I en ampère qui circule dans un circuit et la durée Dt de fonctionnement du dispositif sont liées par la relation Q = I Dt..
6. Calculer la durée de vie de l’anode en supposant que le courant électrique entre l’anode en zinc et la cathode en fer est constant et égal à 5,0 mA.
Quantité de matière de zinc : n = m / M(Zn) = 1,1 10³ / 65,4 =16,8 mol.
Zn(s) = Zn²⁺aq + 2e^-.
Quantité de matière d'électrons : 2n = 33,6 mol.
Q = 2 n F = 33,6 x96500 =3,25 10⁶ C.
Dt = Q / I = 3,25 10⁶ / (5 10^-3) =6,5 10⁸ s ou 1,8 10⁵ heures ou 7,5 10³ jours ou 20 ans.
7. Commenter votre résultat vis-à-vis des préconisations du constructeur concernant la durée d’utilisation optimale d’une anode sacrificielle.
10 ans plus tard, la masse de zinc est divisée par deux. Les préconisations du constructeur sont correctes.