Mathématiques, limitation de vitesse et climat, bac  STI2D Métropole 2024. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Mathématiques. Un parachutiste est en chute libre dans l’air jusqu’à l’instant t = 0 où il ouvre son parachute. Sa vitesse est alors de 50 m. s−1. On admet par la suite que sa vitesse v, en m. s−1, en fonction du temps t en s, est solution de l’équation différentielle sur l’intervalle [0; +∞[ : (E) : y′ = − 5y + 10 . Question 1 La fonction constante g définie sur l’intervalle [0; +∞[ par g(t) = 2 est-elle une solution de l’équation différentielle (E) ? Justifier la réponse. g'(t) = 0 , repport dans (E) : 0 = -10+10 est vérifié. g(t) = 2 est solution de (E). Question 2 Montrer que les solutions de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0; +∞[ sont les fonctions f définies sur cet intervalle par f(t)= k exp(-5t) + 2, où k est un nombre réel donné. Solution générale de y' +5y = 0 : f(t) = k exp(-5t). Solution générale de (E) : f(t)= k exp(-5t) + 2, Question 3 En admettant le résultat de la question précédente, montrer que la fonction v est donnée sur [0; +∞[ par v(t) = 48exp(-5t) + 2. A t = 0 : 50 = k exp(0) +2 = k+2 ; k = 48. v(t) = 48exp(-5t) + 2. Question 4 La distance parcourue, en mètre, par le parachutiste pendant les 10 premières secondes après ouverture du parachute est donnée par l’intégrale suivante. La calculer. ... .... Limitation de vitesse et climat En 2020, lors de la convention citoyenne pour le climat, il a été proposé de baisser la vitesse maximale autorisée sur l’autoroute de 130 km∙h-1 à 110 km∙h-1 afin de réduire les émissions de CO2 des moteurs thermiques, en partie responsables du réchauffement climatique. Cet exercice étudie quantitativement les effets que l’on pourrait attendre d’une telle mesure. Q1. Montrer que l’énergie cinétique que possède une voiture de masse m = 1260 kg lorsqu’elle roule à la vitesse de 110 km∙h-1 est voisine de 163 Wh.. 110 / 3,6 =30,55 m /s. ½mv2 = 0,5 x1260 x30,552 =5,9 105 J. 5,9 105 / 3600 =163 Wh. Q2. L’énergie cinétique de la même voiture roulant à 130 km∙h-1 vaut 228 Wh. Conclure sur l’impact de la diminution de limitation de la vitesse du véhicule sur les dégâts possibles lors d’un accident. A 130 km /h, lors d'un accident, l'énergie à dissipée est de 228 wH, bien supréieur à 163 Wh : les dégats seront donc plus importants. Les frottements de l’air sur la voiture sont des forces de résistance aérodynamique qui peuvent être représentées par une force  F de même direction que le déplacement du véhicule et de sens opposé à celui-ci. La valeur F de cette force est proportionnelle au carré de la vitesse du véhicule v. On donne la relation : F = k × v2 , où k est une constante. Pour la voiture considérée on a : k = 0,404 kg·m-1. Dans cette relation, la force est en Newton et la vitesse en m·s-1. Q3. Montrer que le travail W de la force de frottement de l’air sur la voiture, pour un trajet rectiligne de 100 km parcouru à la vitesse constante de 110 km∙h-1, est voisin de - 38 MJ. W = - F d = -0,404 x30,552 x100 x103 = -3,8 107 J = -38 MJ. Le travail de la force de frottement de l’air sur la même voiture roulant à la vitesse constante de 130 km∙h-1 sur une distance de 100 km vaut - 53 MJ. La diminution de la vitesse de 130 km∙h-1 à 110 km∙h-1 correspond donc à une diminution relative de la vitesse de 15 % environ. Q4. Montrer que cette diminution de vitesse entraîne une diminution relative d’environ 28% de l’énergie nécessaire pour compenser le travail de la force de frottement de l’air. (53-38) / 53 ~0,28 ou 28 %. Vitesse et émission de CO2. La consommation d’essence d’une voiture, qui se déplace à vitesse constante, dépend de sa vitesse de déplacement et du rapport de la boîte de vitesse utilisé. Q5. On utilise le 5ème rapport de la boite de vitesse. Déterminer les volumes de carburant consommés pour un trajet de 100 km parcouru, d’une part à la vitesse constante de 110 km∙h-1 et d’autre part, à la vitesse constante de 130 km∙h-1. En déduire que le volume de carburant économisé par une baisse de la vitesse de 130 à 110 km∙h-1 est de l’ordre de 1,2 L pour un trajet de 100 km. A 110 km /h, consommation aux 100 km : 6 litres ; à 130 km /h, consommation aux 100 km, 7,2 litres. 7,2 -6 = 1,2 litres. La diminution relative de consommation d’essence associée à cette diminution de vitesse, est voisine de 17 %. Q6. Comparer cette diminution relative à celle calculée à la question Q4. Commenter l’écart constaté. La diminution relative de carburant est inférieure à la diminution relative d'énergie nécessaire pour compenser le travail de la force de frottement.  Cette énergie est proportionnelle au carré de la vitesse. Combustion de carburant et émission de CO2. La combustion du carburant dans le moteur produit du dioxyde de carbone CO2, qui est le principal gaz à effet de serre issu de l’activité humaine. On considère que le carburant utilisé est équivalent à de l’octane, de formule C8H18. L’équation de sa combustion dans le moteur est : C8H18 (l) + 12,5 O2(g) -->8 CO2(g) +9H2O(g). Q7. Montrer que la quantité de matière d’octane (de masse molaire M = 114 g∙mol-1) présente dans V=1,2 L d’essence de masse volumique µ = 750 g∙L-1, a une valeur de 7,9 mol. n = masse / M = V µ / M =1,2 x750 / 114 =7,9 mol. Q8. Établir, à l’aide de l’équation donnée, la relation entre les quantités de matière d’octane consommé et de dioxyde de carbone produit. n(CO2) = 8 n(octane). Q9. En déduire que la combustion de 1,2 L d’essence produit un peu plus de 63 mol de CO2. n(CO2) =8 x7,9 =63,2 mol. Q10. Calculer la masse de CO2 qu’on évite ainsi de produire, pour 100 km parcourus, en diminuant la vitesse des véhicules de 130 km∙h-1 à 110 km∙h-1 (on donne la masse molaire du dioxyde de carbone : M(CO2) = 44 g∙mol-1). 63,2 x44 =2,8 103g = 2,8 kg D’après le rapport de l’Association des Sociétés Françaises d’Autoroutes, 83 milliards de kilomètres ont été parcourus sur les autoroutes par des voitures en 2022. Q11. Estimer la diminution de masse de CO2 rejetée dans l’atmosphère, par an en France, correspondant à une baisse de la vitesse maximale sur autoroute de 130 km∙h-1 à 110 km∙h-1. Pour ce calcul en ordre de grandeur, on admettra que les véhicules roulent tout le temps à la vitesse limite autorisée et qu’ils sont tous identiques à celui étudié. 83 109 / 100 =83 107 centaines de km. 83 107 x2,8 =2,3 109 kg ou 2,3 106 tonnes. Q12. Déterminer quel type d’agglomération émet, par an, une masse de CO2 équivalente à celle déterminée dans la question Q11, sachant qu’en France l’empreinte carbone moyenne annuelle est d’environ 8 tonnes d’équivalent CO2 par habitant. Nombre d'habitants : 2,3 106 / 8 =2,9 105 > 200 000 ( métropole).

menu