La
protonthérapie sauve la vue,
bac Polynésie 2024.
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L’objectif de cet exercice est de décrire le mouvement d’un proton dans les différentes zones du cyclotron.
Données :
Un cyclotron est constitué des zones B et C qui sont des cavités semi-circulaires de rayon Rmax = 69 cm, séparées par un intervalle étroit qui correspond à la zone A.
Un cyclotron est un accélérateur de particules qui utilise l'action
successive d’u champ électrique E (dans la zone A) et d'un champ
magnétique B (dans les zones B et C).
Dans le cadre de l’exercice on supposera que lle proton étudié est
injecté au point O sans vitesse initiale, et suit les lois de Newton.
Mouvement du proton dans la zone A de O à M1.
La zone A, est modélisée par un condensateur plan alimenté par une tension U(t) alternative.
Il y règne un champ électrique E uniforme, qui a pour valeur :E = |U| / d.
À t = 0, un proton entre dans la zone A, en O, sans vitesse initiale.
Il arrive sur l’autre armature en M1, avec une vitesse de valeur v1.
Données :
Charge électrique du proton : e = 1,6 × 10 –19 C ;
Le poids du proton est négligeable devant la force électrique ;
Masse du proton : m = 1,67 × 10 –27 kg ;
La largeur de la zone A est : d = 1,0 cm ;
Le repère d’étude dans la zone A est le repère (O,x,y) ;
Unité d’énergie : 1 eV = 1,6 × 10 –19 J ;
Tension appliquée dans la zone A : U = 50 kV.
Q1. En appliquant
la deuxième loi de Newton, déterminer l’expression du vecteur
accélération du proton dans la zone A, en fonction de e, m et E ,
et en déduire ses caractéristiques : direction, sens et valeur.
Conclure quant à la nature du mouvement
du proton dans la zone A.
Le poids étant négligeable devant la force électrique, le proton n'est soumis qu'à la force électrique :
L'accélération est horizontale, vers la droite, valeur a = e / m E.
Le mouvement du proton est uniformément accéléré.
Q2. Établir la coordonnée vx(t) du proton dans le repère (O,x,y) et montrer, avec la méthode de votre choix, que la valeur du vecteur vitesse v1 du proton au point M1, a pour expression : v1 = (2eU / m)½.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v(t) = e / m E +Cste.
La vitesse initiale est nulle : v(t) = e / m E t.
Travail de la force électrique entre O et M1 : W = e U.
Théorème de l'énergie cinétique : ½mv12 -0 = e U.
v1 = (2eU / m)½.·
Q3. En déduire les caractéristiques, direction, sens et valeur, du vecteur vitesse au point M1.
Horizontale, vers la droite, valeur (2eU / m)½= (2x1,6 10-19 x 50 103 / (1,67 10-27))½ =3,1 106 m /s.
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Mouvement du proton dans la zone B de M1 à N1.
Le proton atteint la zone B au point M1, avec la vitesse v1 où règne uniquement un champ magnétique B uniforme. Il est soumis à une force magnétique Fm ainsi qu’à son poids.
Données
La trajectoire du proton dans la zone B est circulaire, il parcourt un demi-cercle de
rayon : R1 = C1P1 = 1,9 cm ;
Le repère d’étude pour la zone B est le repère de Frenet (P1,t ,n) ;
Force du champ magnétique uniforme sur le proton : Fm.
Dans la zone B, le champ magnétique a une valeur constante : B =
1,7 T où T est le symbole du tesla, unité de champ magnétique ;
On néglige le poids du proton devant la force magnétique.
Q4. En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l’expression littérale du vecteur accélération a du proton en P1 et donner ses caractéristiques : direction et sens.
Le proton n'est soumis qu'à la force magnétique.
Accélération centripète, valeur v2 / R.
Q5. Montrer que le mouvement circulaire du proton est uniforme et établir que l’expression de la valeur de sa vitesse est : v =e∙R1∙B / m.
dv / dt = 0 ; v = constante, le mouvement est uniforme.·
Q6. Calculer la valeur de la vitesse v et expliquer pourquoi on retrouve la valeur v1 de la question Q3.
v = 1,6 10-19 x1,9 10-2 x1,7 / (1,67 10-27) =3,1 106 m/s.
Le mouvement étant uniforme, on retrouve la valeur v1 de la question Q3.
Retour du proton dans la zone A puis entrée dans la zone C.
Le proton quitte la zone B et revient dans la zone A en N1.
Pendant que le proton était dans la zone B, le signe de la tension U(t)
a changé pour inverser le sens du champ E, ce qui lui permet de subir
une nouvelle accélération jusqu’au point M2. Il entre dans la zone C, où il décrit un demi-cercle de rayon C2P2 = R2 tel que : R2 > R1, pour en ressortir en N2.
La figure suivante représente la valeur de la vitesse du proton en
fonction du temps, lorsqu’il parcourt un tour dans le cyclotron : du
point O, au point N2.
Données :
Les repères d’étude sont : le repère orthonormé (O,x,y) pour la
zone A et le repère local de Frenet (P,t ,n ) pour les zones B et C
avec P le centre du proton ;
Zone C : Rayon de la trajectoire circulaire: R2 = 3,9 cm.
Q7. Déterminer à l’aide des figures la valeur du vecteur accélération :
- Entre les points N1 et M2 : retour dans la zone A, la valeur du vecteur accélération sera notée aA ;
aA = Dv /Dt = (4,4 -3,1) 106 / (0,26 10-8)=5,0 1014 m s-2.
- Entre les points M2 et N2 : passage dans la zone C, la valeur du vecteur accélération sera notée aC.
aC = v22 / R2=(4,4 106)2 / 0,039 ~5,0 1014 m s-2.
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