Mathématiques, bac Asie 2024

Exercice 1. 5,5 points.
Partie A.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x² −x ln(x).
On admet que f est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f et f ′′ la fonction dérivée de la fonction f ′.
Partie A : Étude de la fonction f
1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
En zéro : x² tend vers zéro ; d'après la ppropriété des croissances comparée x ln(x) tend vers zéro.
Somme des limites : f(x) tend vers zéro.
En +oo : f(x) = x² (1-ln(x) /x).
Par croissance compérée ln(x) / x tend vers zéro ; 1-ln(x) / x tend vers 1.
x² tend vers +oo ; par limite du produit, f(x) tend vers +oo.
2. Pour tout réel x strictement positif, calculer f ′(x).
Dérivée de x ln(x) : u = x ; v = ln(x) ; u' =1 ; v' = 1 /x ; u'v+v'u = ln(x)+1
f '(x) =2 x-ln(x) -1.
3. Montrer que pour tout réel x strictement positif :
f ′′(x) =(2x −1) /x.
.f "(x) = 2 -1 /x = (2x-1) / x.
4. Étudier les variations de la fonction f ′ sur ]0 ; +∞[, puis dresser le tableau des variations de la fonction f ′ sur ]0 ; +∞[.
On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extremum de la fonction f ′ sur ]0 ; +∞[.
Les limites de la fonction f ′ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2x-1 >0 si x > 0,5.

5. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Sur cet intervalle, le minimum de f '(x) est ln(2) >0. f '(x) >0 et f(x) est strictement croissante.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation f (x) = x
On considère dans cette partie la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x −ln(x).
On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 ; +∞[, on note g′ sa dérivée.
1. Pour tout réel strictement positif, calculer g′(x), puis dresser le tableau des variations de la fonction g.
Les limites de la fonction g aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
g '(x) = 1-1 /x = (1-x) / x.

2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation g(x) = 1.
Résoudre, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, l’équation f (x) = x.
f(x) = x ; x = x²-x ln(x). ; 0 = x( x-1-ln(x). x >0 donc différent de zéro.
x-1-ln(x) =0 ; x-ln(x) = 1 ; g(x) = 1 soit x = 1.

Partie C : Étude d’une suite récurrente
On considère la suite (u_n) définie par u₀ =0,5 et pour tout entier naturel n,
u_n+1 = f (u_n) = u²_n−u_n ln(u_n) .
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0,5 < u_n < u_n+1 < 1.
Initialisation : u₁ = f(u₀) = f(0,5) =0,5²-0,5 ln(0,5) =0,25 +0,5 ln(2) ~0,597.
La propriété est vraie pour n =0.
Hérédité : 0,5 < u_n < u_n+1 < 1 est supposée vraie.
f étant strictement croissante : f(0,5) < f(u_n) < f(u_n+1) < f(1).
f(0,5) < u_n+1) < u_n+12) < 1. or f(0,5) ~0,60 > 0,5.
0,5< u_n+1 < u_n+12 < 1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
2. Justifier que la suite (u_n) converge.
u_n < u_n+1 : la suite est croissante.
La suite est bornée par 0,5 et par 1.
La suite étant croissante et majorée, donc elle converge. Sa limite vérifie 0,5 < l < 1.
On appelle l la limite de la suite (u_n) et on admet que l vérifie l’égalité f (l) = l.
3. Déterminer la valeur de l.
D'après le théorème du point fixe, la limite est solution de l'équation f(x) = x dans l'intervalle ]0 ; +oo[.
Cette équation n'a qu'une solution 1 ( question2 Partie B)
La suite (u_n) converge vers 1.

EXERCICE 2 5,5 points
Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70% des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d’après elle, la probabilité qu’elle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s’appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel n non nul, on définit les évènements suivants :
• G_n : « Léa gagne la n-ième partie de la journée »;
• D_n : « Léa perd la n-ième partie de la journée ».
Pour tout entier naturel n non nul, on note g_n la probabilité de l’évènement G_n.
On a donc g₁ =0,5.
1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle p_G1 (D₂) ?
Léa a gagné la première partie et perd la seconde : p_G1 (D₂) =0,2.
2. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée .
3. Calculer g₂.

4. Soit n un entier naturel non nul.
a. Recopier et compléter l’arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les n-ième et (n +1)-ième parties de la journée.
b. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, g_n+1 = 0,5g_n +0,2.

5. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v_n = g_n −0,4.
a. Montrer que la suite (v_n) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
v_n+1 = g_n+1 -0,4 =0,5 g_n -0,2 =0,5(g_n-0,4)=0,5 v_n.
v₁ =g₁ −0,4 = 0,5-0,4 = 0,1. Raison q = 0,5.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :g_n =0,1×0,5ⁿ⁻¹ +0,4.
v_n= 0,1 * 0,5^n-1 = g_n −0,4.
g_n =0,1×0,5ⁿ⁻¹ +0,4.
6. Étudier les variations de la suite (g_n).
g_n+1-g_n =0,1×0,5ⁿ -0,1×0,5ⁿ⁻¹ =0,1×0,5ⁿ⁻¹ (0,5-1) =-0,1 x0,5ⁿ.
g_n+1-g_n < 0 ; la suite est strictement décroissante.
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite (g_n).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
-1 < 0,5 < 1; 0,5ⁿ tend vers zéro si n tend vers l'infini.
Par limite du produit et de la somme, g_n tend vers 0,4.
Au bout d'un temps assez long, Léa gagnera le match dans 40 % des cas.
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier n tel que g_n −0,4< 0,001.
0,1×0,5ⁿ⁻¹ < 0,001.
0,5ⁿ⁻¹ < 0,01.
(n-1) ln(0,5) < ln(0,01) ; n-1 > ln(0,01) / ln(0,5) ; n > ln(0,01) / ln(0,5) +1 ~7,64 ; n = 8.
9. Recopier et compléter la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu’elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite(g_n) sont tous inférieurs ou égaux à 0,4+e, où e est un nombre réel strictement positif.
def seuil(e) :
g=0.5
n=1
while g >0.4+e :
g = 0.5*g+0.2
n =n+1
return (n)